Смешанное соединение проводников. Расчёт электрических цепей

  Введение

На прошлых уроках мы рассмотрели электрические цепи только с последовательным или только с параллельным соединением проводников. Но существуют такие цепи, в которых присутствует как параллельное, так и последовательное соединение. Этот урок посвящён рассмотрению таких цепей со смешанным соединением проводников, а также расчёту различных электрических цепей.

Повторение. Факты про последовательное и параллельное соединение проводников.

1. При последовательном соединении проводников общее сопротивление участка равно сумме сопротивлений проводников:

 

2. При последовательном соединении проводников силы тока в каждом из проводников равны и равны общей силе тока на участке цепи:

 

3. При последовательном соединении проводников сумма напряжений равна общему напряжению на участке цепи:

 

4. При параллельном соединении проводников общая проводимость участка равна сумме проводимостей проводников:

 

5. При параллельном соединении проводников сумма сил токов равна общей силе тока на участке цепи:

 

6. При параллельном соединении проводников напряжения в каждом из проводников равны и равны общему напряжению на участке цепи:

 

Задача 1

Четыре одинаковые лампы подключены к источнику постоянного напряжения (см. Рис. 1). Определите силу тока в каждой лампе, если напряжение на источнике составляет 30 В.

Дано: ;

Найти: , , ,

Решение

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

На рисунке 1 изображена электрическая цепь со смешанным соединением проводников: лампы 2 и 3 соединены параллельно, а лампы 2 и 4 соединены последовательно с участком цепи, состоящим из ламп 2 и 3.

Проводимость участка цепи, состоящего из ламп 2 и 3, равна:

 

Следовательно, сопротивление этого участка равно:

 

Так как лампы 1 и 4 соединены последовательно с участком цепи, состоящим из ламп 2 и 3, то общее сопротивление ламп будет равно:

 

Согласно закону Ома, сила тока всей цепи равна:

 

Так как при последовательном соединении проводников силы тока в каждом из проводников равны и равны общей силе тока на участке цепи, то:

 

Необходимо найти силу тока на лампах 2 и 3. Для этого вычислим напряжение на участке цепи, который состоит из ламп 2 и 3:

 

Так как лампы 2 и 3 соединены параллельно, то напряжения на этих лампах равны:

 

Отсюда сила тока в каждой лампе равна:

 

 

Ответ:  ;  

Задача 2

Участок цепи, который состоит из четырёх резисторов, подключён к источнику с напряжением 40 В (см. Рис. 2). Вычислите силу тока в резисторах 1 и 2, напряжение на резисторе 3. Сопротивление первого резистора равно 2,5 Ом, второго и третьего – по 10 Ом, четвёртого – 20 Ом.

Дано: ; ; ;

Найти: , ,

Решение

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Через резистор  течёт такой же ток, как и через весь участок (), следовательно, согласно закону Ома:

 

То есть для нахождения  нужно вычислить сопротивление (R) всего участка цепи, который состоит из двух последовательно подключённых частей, одна часть с резистором , другая часть с резисторами :

 

Резистор  соединён параллельно резисторам  и , следовательно:

 

Резисторы  и  соединены последовательно, поэтому:

 

 

 

Следовательно, сопротивление всей цепи равно:

 

Подставим данное значение в формулу для нахождения тока в резисторе :

 

Так как при параллельном соединении проводников напряжения в каждом из проводников равны и равны общему напряжению на участке цепи, то:

 

Отсюда:

 

 

 

При последовательном соединении силы тока одинаковы, поэтому:

 

Получили систему уравнений:

 

Решив эту систему получим, что:

 

 

Так как  и  соединены последовательно:

 

Напряжение на резисторе  равно:

 

Ответ: ;  ;  

Задача 3

Найдите полное сопротивление цепи (см. Рис. 3), если сопротивление резисторов , , . Найдите силу тока, идущего через каждый резистор, если к цепи приложено напряжение 36 В.

Дано: ; ; ;

Найти: , , , , , , ;

Решение

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Резисторы , ,  соединены последовательно, поэтому сопротивление на этом участке равно:

 

Резистор  подключён параллельно участку с резисторами , , , поэтому сопротивление на участке с резисторами ,, ,  равно:

 

Резисторы  и  соединены с участком цепи с резисторами ,, ,  последовательно, то есть общее сопротивление цепи равно:

 

Через резистор  и   () неразветвлённой цепи течёт весь ток цепи, поэтому:

 

По закону Ома этот ток равен:

 

Общее напряжение цепи будет состоять из напряжений , так как ,,  соединены последовательно (, потому что  и  параллельны):

 

 

Согласно закону Ома:

 

Резисторы , ,  соединены последовательно, следовательно:

 

Ответ: ; ; ;   

Задача на бесконечную электрическую цепь

Найдите сопротивление R бесконечной цепи, показанной на рисунке 4.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Решение

Поскольку рассматриваемая в задаче цепь бесконечна, удаление одной «ячейки», состоящей из резисторов  и , не влияет на её сопротивление. Следовательно, вся цепь, находящаяся правее звена , тоже имеет сопротивление R. Это позволяет нарисовать эквивалентную схему цепи (см. Рис. 5) и записать для неё уравнение.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

 

 

Получили квадратное уравнение относительно R. Решая это уравнение и отбрасывая отрицательный корень (отрицательного сопротивления не существует), получаем формулу для общего сопротивления цепи:

 

Проанализировав данную формулу, можно заметить, что если , то общее сопротивление цепи . То есть резистор с малым сопротивление  практически закоротит всю последующую бесконечную цепь.

Ответ:

Задача из ЕГЭ

Сопротивление каждого резистора в цепи (см. Рис. 6) равно 100 Ом. Участок подключён к источнику постоянного напряжения выводами AиB. Напряжение на резисторе  равно 12 В. Найти напряжение между выводами схемы на участке A–B(варианты ответа: а) 12 В; б) 18 В; в) 24 В; г) 36 В.

Дано: ;

Найти:

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Резисторы  расположены последовательно, значит, силы тока на этих резисторах равны:

 

Так как, по условию, , то и напряжения на этих резисторах будут равны:

 

Следовательно, общее напряжения на участке, состоящем из резисторов , будет равно:

 

Так как участок с резисторами  соединён с участком с резисторами  параллельно, то напряжения на этих участках равны между собой и равны общему напряжению на участке A–B:

 

Ответ: г) 36 В

Данную задачу, как видим, можно решить, не зная значений сопротивления, а зная только то, что они равны. Также эту задачу можно решить, зная значение сопротивлений , даже если они не равны.

 

Итоги урока

На этом уроке мы рассмотрели различные задачи на смешанное сопротивление проводников, а также на расчёт электрических цепей.

Список литературы

1. Генденштейн Л.Э, Кайдалов А.Б., Кожевников В.Б. / Под ред. Орлова В.А., Ройзена И.И. Физика 8. – М.: Мнемозина.
2. Перышкин А.В. Физика 8. – М.: Дрофа, 2010.
3. Фадеева А.А., Засов А.В., Киселев Д.Ф. Физика 8. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

1. П. 49, стр. 117, задание 23 (5). Перышкин А.В. Физика 8. – М.: Дрофа, 2010.
2. Участок электрической цепи состоит из трех сопротивлений: ; ;  (см. Рис. 7). Определите показания вольтметров  и амперметров , если амперметр  показывает силу тока 2 А.
   

   

   Рис. 7. Иллюстрация к задаче (Источник)

3. Как нужно соединить четыре резистора, сопротивления которых 0,5 Ом, 2 ОМ, 3,5 Ом и 4 Ом, чтобы их общее сопротивление было 1 Ом?

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал School56.pips.ru (Источник).
2. Интернет-портал Clck.ru (Источник).
3. Интернет-портал Clck.ru (Источник).