Введение
Сегодня на уроке мы потренируемся в решении задач по теме «Тепловые явления». Мы решим несколько задач, в которых описаны агрегатные превращения веществ и тепловой баланс, а также процессы, связанные с влажностью и КПД. При решении задач мы будем придерживаться определенной схемы решения, которую можно применить к решению любой физической задачи:
- Проанализировать условие. Определить, какие процессы происходят.
- Определить закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записать эти закономерности в виде уравнений. Посмотреть на величины, входящие в эти формулы: определить, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости перевести величины в СИ.
- Математическая часть: решить полученную систему уравнений. Получить ответ, подставив численные значения переменных.
Приступим к решению задач и применим этот алгоритм на практике.
Задача 1
В металлической кружке находится 200 мл холодной воды при температуре 22 °С. В кружку доливают 100 мл теплой воды при температуре 40 °С. После этого температура кружки с водой становится равной 26 °С. По результатам этого эксперимента определите теплоемкость кружки. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
Анализ условия
В эксперименте участвуют три тела: холодная вода, теплая вода и кружка (см. рис. 1).
Рис. 1. Холодная вода, теплая вода и кружка
В процессе теплообмена между телами более горячее тело отдает тепло более холодному. Поэтому теплая вода однозначно будет отдавать тепло и остывать, а холодная – получать и нагреваться (см. рис. 2).
Рис. 2. Процесс теплообмена
А что с кружкой: она будет отдавать или получать тепло? В условии сказано, что в кружке уже находилась холодная вода. Значит, их начальные температуры равны и кружка будет нагреваться вместе с холодной водой, получая тепло.
В итоге температура изначально холодной, горячей воды и кружки выровняется, наступит тепловой баланс (см. рис. 3).
Рис. 3. Тепловой баланс
Теплообменом с окружающей средой, по условию, можно пренебречь, значит, переданное системе тепло равно 0.
Физическая часть решения
Запишем в виде уравнения, как передавалась теплота внутри рассматриваемой системы тел. Чтобы различать величины, относящиеся к разным телам, будем ставить соответствующие индексы: теплая вода отдаст 
тепла, холодная вода получит 
тепла, кружка получит 
тепла. Запишем:
Такое уравнение часто называют уравнением теплового баланса.
Запишем количество теплоты для теплой и холодной воды.
Теплая вода отдаст тепла: 
Холодная вода получит тепла: 
для кружки мы так не распишем: мы ничего не знаем ни о материале кружки, чтобы узнать удельную теплоемкость, ни о массе. В условии речь идет о теплоемкости кружки. Это величина, которую ввели для удобства. Удельную теплоемкость ввели как теплоту, которую нужно сообщить каждому килограмму вещества, чтобы нагреть его на 1 градус: 
. А просто теплоемкостью тела (не удельной) называют теплоту, которую нужно сообщить телу, чтобы нагреть его на один градус. Чаще всего теплоемкость обозначают большой буквой 
: 
. Иногда это удобно, как в случае с кружкой: нас не интересует материал и масса кружки, нам важно лишь, что она при нагревании на каждый градус поглощает столько-то джоулей теплоты. Закона физики здесь нет, величина введена для удобства и ее можно использовать при решении задач. Если разделить теплоемкость на массу, получим удельную теплоемкость:
– данная формула связывает эти величины.
Возвращаясь к задаче, теплоту, полученную кружкой, запишем через теплоемкость: 
.
Анализируем величины, входящие в записанные формулы.
Удельную теплоемкость воды 
можно найти по таблице: 
.
Массы теплой и холодной воды 
и 
не даны, но их можно узнать из объемов, они заданы. Помним, что плотность – это, по определению, масса единицы объема вещества, 
, поэтому:
Из таблицы: 
. В единицах измерения плотности видим 
, значит, и заданный объем нужно перевести в :
– это разность конечной и начальной температуры тела, поэтому:
Вычисления делать будем в математической части решения, здесь же мы убедились, что все необходимые нам величины у нас есть и все уравнения, описывающие процесс, выписаны.
Математическая часть решения
Для удобства объяснения пронумеруем выписанные уравнения. Теперь осталось решить полученную систему уравнений и найти 
.
Подставим выражения 5–6 в уравнения 2–3:
Теперь подставим эти выражения в уравнение 1:
В полученном уравнении только одна неизвестная величина: . Выразим ее и найдем ее численное значение:
Ответ: теплоемкость кружки равна 
.
Задача 2
В теплоизолированном сосуде находится лед с водой. Масса льда 0,1 кг, масса воды 0,5 кг. В сосуд добавляют 20 граммов водяного пара при 100
. Определите температуру воды в сосуде после установления теплового равновесия. Обменом тепла с сосудом пренебречь, опыт происходит при нормальных условиях.
Анализ условия
В теплообмене принимают участие 3 тела: лед, вода и пар, теплообменом с самим сосудом сказано пренебречь. Сосуд теплоизолированный, поэтому данная система тел не отдает и не получает тепло извне. Будем записывать уравнение теплового баланса.
Что происходит с телами системы? Сначала в сосуде находились вода со льдом. При нормальных условиях такое возможно только при температуре 0. То есть начальные температуры льда и воды равны 0 (см. рис. 4).
Рис. 4. Начальная температура льда и воды
Пар имеет большую температуру, чем вода со льдом, поэтому лед с водой будет получать тепло, а пар – отдавать (см. рис. 5).
Рис. 5. Нагревание паром воды со льдомo
Пар находится при 100, то есть при температуре кипения. Значит, отдавая тепло, он будет конденсироваться, получится вода при температуре 100. Затем эта вода будет охлаждаться.
Вода, в которой плавал лед, будет только нагреваться.
Лед сначала будет плавиться при 0, затем полученная вода будет нагреваться (см. рис. 6).
Рис. 6. Процесс теплообмена
Физическая часть решения задачи
Мы перечислили процессы, которые будут протекать до достижения теплового баланса. Запишем теплоту, которая при этом выделяется или поглощается.
При конденсации пар отдаст 
теплоты, при дальнейшем охлаждении полученной воды он отдаст 
теплоты. Итого пар отдаст:
Обратите внимание, что перед 
нужно поставить знак «–», чтобы показать, что тепло отдается. Перед выражением этого делать не надо, поскольку там знак уже учтен (в 
).
При нагревании вода получит теплоты:
При плавлении лед получит 
теплоты, а при дальнейшем нагревании уже в состоянии воды еще 
. Итого лед получит:
Общее количество теплоты, отданное и полученное этими телами, равно 0:
Анализируем величины, входящие в записанные формулы.
Удельную теплоемкость воды 
, удельную теплоты плавления льда 
и удельную теплоту парообразования воды 
можно найти в таблицах:
Массы воды, льда и пара заданы в условии. Массу пара переведем в СИ:
Полученная при конденсации пара вода охлаждается от 100 до температуры теплового баланса T, она нам не известна:
Вода нагревается от 0 до T:
Вода, полученная при плавлении льда, также нагревается от 0 до T:
Математическая часть решения задачи
Теперь осталось решить полученную систему уравнений и получить ответ. Математические выкладки будут похожими на те, что были в первой задаче. Вы можете проделать их самостоятельно. В итоге получится ответ: приблизительно 8 °С. Чтобы сверить решение, посмотрите ответвление.
Математическая часть решения задачи 2
Мы записали систему уравнений:
И выражения для изменения температуры:
Подставим их в систему уравнений:
Подставим первые три выражения в четвертое уравнения:
Теперь выразим T. Для этого раскроем скобки и перенесем все слагаемые с T в одну сторону, остальные – в другую:
Уравнение несложное, просто громоздкое, в нем много слагаемых. Если вам так будет легче, вы можете уже сейчас или раньше подставить значения тех величин, которые известны. Мы сделаем это позже. Переносим слагаемые:
Подставим численные значения:
Задача решена.
Мы получили ответ в задаче, зная, что в конце в сосуде будет вода. А что, если это условие не будет задано? Как определить в этом случае, какие процессы будут происходить с паром, льдом и водой? Подробнее в ответвлении.
Решение задачи в общем виде
Пусть мы изначально не знаем, какое состояние вещества получится в конце. Как же решать задачу в таком случае? Для начала нужно нарисовать график состояния воды (см. рис. 7).
Рис. 7. График состояний воды
В нашей задаче сначала в сосуде находился лед с водой. По графику видно, что такое состояние возможно только при 0 (участок между точками B и C). Пар находился при 100, это соответствует точке Е на графике (см. рис. 8).
Рис. 8. Вода находится в состоянии пара
Получение тепла соответствует движению точки вправо по графику, а отдача тепла – влево (см. рис. 9).
Рис. 9. Процесс получения и отдачи тепла
Теплообмен прекратится, когда тела достигнут одинаковой температуры. В общем случае возможны различные варианты. Конечное состояние находится:
1) на участке BC – тогда в сосуде будет лед с водой (см. рис. 10);
Рис. 10. Возможный вариант конечного состояния – лед с водой
2) на участке CD – в сосуде будет вода (см. рис. 11);
Рис. 11. Конечное состояние – вода
3) на участке DE – в сосуде будет пар с водой (см. рис. 12).
Рис. 12. Конечное состояние – пар с водой
В решенной нами задаче был случай 2 (см. рис. 11). Теперь рассмотрим задачу, в которой условия все те же, но масса льда равна не 0,1 кг, а 0,2 кг (см. рис. 13).
Рис. 13. Измененное условие задачи 2
Мы заранее не знаем, что получится в итоге, поэтому решаем задачу, как будто при достижении баланса в сосуде вода, как мы и решали до этого. Если подставить эти численные значения в конечную формулу для T, то значение получится отрицательным (см. рис. 14).
Рис. 14. Отрицательное значение температуры
Можете это проверить самостоятельно.
Может ли быть такое? Нет, температура должна быть в интервале от 0 до 100 (см. рис. 15).
Рис. 15. Температурный интервал от 0 до 100
Ответ получился некорректный: получается, что смесь воды и льда при нуле градусов получила теплоту от горячего пара и превратилась в воду холоднее нуля градусов. Конечная формула была нами получена в предположении, что в итоге в сосуде будет вода. Значит, это предположение неверно.
Температура получилась меньше возможной. Поэтому, предположим, что в сосуде получится лед с водой, то есть лед успеет растаять не весь (см. рис. 16).
Рис. 16. Предположение: лед растает не весь
В таком случае с телами будут происходить следующие процессы (см. рис. 17):
пар сконденсируется, полученная вода остынет до 0. Лед будет таять, но растает только некоторая его часть. Тепловой баланс установится при 0.
Рис. 17. Установление теплового баланса при 0
В этом случае:
Нам понятно, что конечная температура равна 0, часть льда растает, вопрос только в том, какая именно часть: 
неизвестна. Найдем ее и убедимся, что ее значение будет корректным:
Масса растаявшей части льда меньше, чем исходная масса льда (
). Результат корректный, значит, наше предположение верно и в итоге в сосуде будет лед с водой (см. рис. 16).
В общем случае для подобных задач на тепловой баланс лучше рисовать график состояний. Затем нужно сделать предположение, в каком конечном состоянии будет система. Если полученный ответ корректен, значит, предположение верно. Если некорректен – следует сделать другое предположение и проверить его.
Задача 3
При помощи газовой горелки с КПД 20% необходимо довести воду массой 0,4 кг до кипения и полностью испарить. Определите количество природного газа, которое необходимо для этого. Начальная температура воды 20 °С, условия нормальные.
Анализ условия
С помощью горелки нужно нагреть и испарить воду (см. рис. 18).
Рис. 18. Условие задачи 3
Речь идет о КПД горелки. Коэффициент полезного действия мы вводили как отношение полезной энергии к затраченной. Что считать полезной энергией? Полезная использованная энергия – это теплота, потраченная на нагревание и испарение воды, в этом польза горелки. Общая затраченная энергия – это количество теплоты, полученное при сгорании природного газа.
Физическая часть решения задачи
Запишем сказанное с помощью формул. По определению КПД:
Температура кипения при нормальных условиях равна 100 °С, значит, 
. Масса воды и КПД горелки заданы в условии. Удельную теплоемкость воды 
, удельную теплоту парообразования воды и удельную теплоту сгорания природного газа 
можно найти в таблицах:
Осталось решить систему уравнений и получить ответ 
. Подробное решение вы найдете в ответвлении.
Математическая часть решения задачи 3
Система уравнений:
Подставим второе и третье выражения в первое уравнение:
Выразим неизвестную величину 
:
Подставим численные значения:
Задача решена.
Задача 4
Давление водяных паров в воздухе составляет 800 Па. Определите абсолютную влажность воздуха, если температура равна 17 °С.
Анализ условия
Речь идет о влажности воздуха, будем применять формулы, с помощью которых мы описывали влажность.
Физическая часть решения задачи
Давление водяных паров мы связываем с относительной влажностью воздуха:
С другой стороны, относительную влажность воздуха определяют как отношение абсолютной влажности к плотности насыщенных паров при данной температуре:
Давление паров 
задано в условии, плотность и давление насыщенного пара при заданной температуре 17 °С можно найти в таблице (см. рис. 19):
Рис. 19. Таблица зависимостей давления и плотности насыщенного пара от температуры
Все необходимые величины известны, абсолютную влажность 
нужно найти, приступаем к математической части решения задачи.
Приравняем правые части выражений для относительной влажности:
Упростим выражение:
Выразим абсолютную влажность и найдем ее значение:
Задача решена.
Задача 5
В закрытой комнате объемом 40 м3 висит психрометр, показания сухого и влажного термометров которого равны соответственно 12 °С и 11 °С. Пользуясь психрометрической таблицей, определите, какое количество росы выпадет в комнате при понижении температуры до 10 °С.
Анализ условия
Какие процессы уписаны в условии? Температура воздуха понижается, относительная влажность повышается (см. рис. 20) – это мы подробно разбирали в уроке «Влажность».
Рис. 20. Температура понижается – относительная влажность повышается
Повышается, пока не достигнет 100% – в этот момент в воздухе содержится максимально возможная при данной температуре масса воды и начинает выпадать роса. При дальнейшем понижении температуры максимально возможное количество воды в воздухе еще уменьшается и «лишняя» вода выпадает в виде росы. Будем искать, используя понятие влажности, сколько воды было в воздухе и сколько осталось.
Физическая часть решения задачи
Пользуясь психрометрической таблицей, можно определить относительную влажность воздуха в комнате (см. рис. 21).
Рис. 21. Психрометрическая таблица
Показания сухого термометра 12 °С, разность показаний термометров:
12 °С – 11 °С = 1 °С. Значит, относительная влажность:
Для определения массы росы необходимо найти массу водяного пара, которая содержалась в воздухе до и после выпадения росы. При этом:
Относительная влажность воздуха – это, по определению, масса водяного пара в единице объема воздуха:
Это выражение следует записать для случая до и после выпадения:
Относительная влажность воздуха до выпадения связана с абсолютной влажностью:
Если начала выпадать роса, то влажность стала равной 100%. Тогда абсолютная влажность стала равной плотности насыщенных паров:
Объем комнаты задан в условии, плотности насыщенных паров можно найти в таблице (см. рис. 22):
Рис. 22. Зависимость давления и плотности насыщенного пара от температуры
Осталось решить систему уравнений и найти ответ: 
.
Математическая часть решения задачи 6
Мы получили систему уравнений:
Из четвертого уравнения выразим 
:
Подставим это выражение во второе уравнение, а выражение из пятого уравнения подставим в третье:
Выразим величины 
:
Подставим эти выражения в первое уравнение и найдем ответ:
Если вам сложно решать систему уравнений в буквенном выражении, можно подставить значения раньше, ответ получим тот же:
Теперь видно, что из последних двух уравнений – и 
– у нас практически есть:
легко найти:
Теперь из уравнений 2 и 3 легко выразить массы водяного пара до и после:
И теперь разность масс равна:
Итак, сегодня мы потренировались решать задачи по теме «Тепловые явления».
Список литературы
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
- А. В. Перышкин. Физика, 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2013. – 237 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Смешали 3 кг воды при 40
, 2 кг при 70
и 15 кг при 10. Определите температуру смеси. - Определите, сколько воды можно нагреть от 5 до 55, если КПД нагревателя 30% и при этом сжигается 50 кг древесного угля.
- Определите относительную влажность воздуха
при температуре 
, если роса образуется при 
.
