В теплоизолированном сосуде находится лед с водой. Масса льда 0,1 кг, масса воды 0,5 кг. В сосуд добавляют 20 граммов водяного пара при 100. Определите температуру воды в сосуде после установления теплового равновесия. Обменом тепла с сосудом пренебречь, опыт происходит при нормальных условиях.

Анализ условия

В теплообмене принимают участие 3 тела: лед, вода и пар, теплообменом с самим сосудом сказано пренебречь. Сосуд теплоизолированный, поэтому данная система тел не отдает и не получает тепло извне. Будем записывать уравнение теплового баланса.

Что происходит с телами системы? Сначала в сосуде находились вода со льдом. При нормальных условиях такое возможно только при температуре 0. То есть начальные температуры льда и воды равны 0 (см. рис. 4).

Рис. 4. Начальная температура льда и воды

Пар имеет большую температуру, чем вода со льдом, поэтому лед с водой будет получать тепло, а пар – отдавать (см. рис. 5).

Рис. 5. Нагревание паром воды со льдомo

Пар находится при 100, то есть при температуре кипения. Значит, отдавая тепло, он будет конденсироваться, получится вода при температуре 100. Затем эта вода будет охлаждаться.

Вода, в которой плавал лед, будет только нагреваться.

Лед сначала будет плавиться при 0, затем полученная вода будет нагреваться (см. рис. 6).

Рис. 6. Процесс теплообмена

Физическая часть решения задачи

Мы перечислили процессы, которые будут протекать до достижения теплового баланса. Запишем теплоту, которая при этом выделяется или поглощается.

При конденсации пар отдаст теплоты, при дальнейшем охлаждении полученной воды он отдаст теплоты. Итого пар отдаст:

Обратите внимание, что перед нужно поставить знак «–», чтобы показать, что тепло отдается. Перед выражением этого делать не надо, поскольку там знак уже учтен (в ).

При нагревании вода получит теплоты:

При плавлении лед получит теплоты, а при дальнейшем нагревании уже в состоянии воды еще . Итого лед получит:

Общее количество теплоты, отданное и полученное этими телами, равно 0:

Анализируем величины, входящие в записанные формулы.

Удельную теплоемкость воды , удельную теплоты плавления льда и удельную теплоту парообразования воды можно найти в таблицах:

Массы воды, льда и пара заданы в условии. Массу пара переведем в СИ:

Полученная при конденсации пара вода охлаждается от 100 до температуры теплового баланса T, она нам не известна:

Вода нагревается от 0 до T:

Вода, полученная при плавлении льда, также нагревается от 0 до T:

Математическая часть решения задачи

Теперь осталось решить полученную систему уравнений и получить ответ. Математические выкладки будут похожими на те, что были в первой задаче. Вы можете проделать их самостоятельно. В итоге получится ответ: приблизительно 8 °С. Чтобы сверить решение, посмотрите ответвление.

Математическая часть решения задачи 2

Мы записали систему уравнений:

И выражения для изменения температуры:

Подставим их в систему уравнений:

Подставим первые три выражения в четвертое уравнения:

Теперь выразим T. Для этого раскроем скобки и перенесем все слагаемые с T в одну сторону, остальные – в другую:

Уравнение несложное, просто громоздкое, в нем много слагаемых. Если вам так будет легче, вы можете уже сейчас или раньше подставить значения тех величин, которые известны. Мы сделаем это позже. Переносим слагаемые:

Подставим численные значения:

Задача решена.

Мы получили ответ в задаче, зная, что в конце в сосуде будет вода. А что, если это условие не будет задано? Как определить в этом случае, какие процессы будут происходить с паром, льдом и водой? Подробнее в ответвлении.

Решение задачи в общем виде

Пусть мы изначально не знаем, какое состояние вещества получится в конце. Как же решать задачу в таком случае? Для начала нужно нарисовать график состояния воды (см. рис. 7).

Рис. 7. График состояний воды

В нашей задаче сначала в сосуде находился лед с водой. По графику видно, что такое состояние возможно только при 0 (участок между точками B и C). Пар находился при 100, это соответствует точке Е на графике (см. рис. 8).

Рис. 8. Вода находится в состоянии пара

Получение тепла соответствует движению точки вправо по графику, а отдача тепла – влево (см. рис. 9).

Рис. 9. Процесс получения и отдачи тепла

Теплообмен прекратится, когда тела достигнут одинаковой температуры. В общем случае возможны различные варианты. Конечное состояние находится:

1) на участке BC – тогда в сосуде будет лед с водой (см. рис. 10);

Рис. 10. Возможный вариант конечного состояния – лед с водой

2) на участке CD – в сосуде будет вода (см. рис. 11);

Рис. 11. Конечное состояние – вода

3) на участке DE – в сосуде будет пар с водой (см. рис. 12).

Рис. 12. Конечное состояние – пар с водой

В решенной нами задаче был случай 2 (см. рис. 11). Теперь рассмотрим задачу, в которой условия все те же, но масса льда равна не 0,1 кг, а 0,2 кг (см. рис. 13).

Рис. 13. Измененное условие задачи 2

Мы заранее не знаем, что получится в итоге, поэтому решаем задачу, как будто при достижении баланса в сосуде вода, как мы и решали до этого. Если подставить эти численные значения в конечную формулу для T, то значение получится отрицательным (см. рис. 14).

Рис. 14. Отрицательное значение температуры

Можете это проверить самостоятельно.

Может ли быть такое? Нет, температура должна быть в интервале от 0 до 100 (см. рис. 15).

Рис. 15. Температурный интервал от 0 до 100

Ответ получился некорректный: получается, что смесь воды и льда при нуле градусов получила теплоту от горячего пара и превратилась в воду холоднее нуля градусов. Конечная формула была нами получена в предположении, что в итоге в сосуде будет вода. Значит, это предположение неверно.

Температура получилась меньше возможной. Поэтому, предположим, что в сосуде получится лед с водой, то есть лед успеет растаять не весь (см. рис. 16).

Рис. 16. Предположение: лед растает не весь

В таком случае с телами будут происходить следующие процессы (см. рис. 17):

пар сконденсируется, полученная вода остынет до 0. Лед будет таять, но растает только некоторая его часть. Тепловой баланс установится при 0.

Рис. 17. Установление теплового баланса при 0

В этом случае:

Нам понятно, что конечная температура равна 0, часть льда растает, вопрос только в том, какая именно часть: неизвестна. Найдем ее и убедимся, что ее значение будет корректным:

Масса растаявшей части льда меньше, чем исходная масса льда (). Результат корректный, значит, наше предположение верно и в итоге в сосуде будет лед с водой (см. рис. 16).

В общем случае для подобных задач на тепловой баланс лучше рисовать график состояний. Затем нужно сделать предположение, в каком конечном состоянии будет система. Если полученный ответ корректен, значит, предположение верно. Если некорректен – следует сделать другое предположение и проверить его.