Уравнение теплового баланса

Введение

Что будет, если смешать полстакана холодной воды при температуре  и полстакана горячей при температуре ? Из жизненного опыта нам понятно, что вся вода станет теплой и ее температура будет где-то между  и . Т. к. холодной и горячей воды было поровну, то и температура, скорее всего, будет около .

Если горячей воды будет стакан, а холодной – ведро (см. рис. 1), то после смешивания температура будет точно не , а где-то ближе к

Рис. 1. Смешивание воды разной температуры

Понятно, что если вместо стакана горячей воды будет горячий медный цилиндр, установится другая температура. Сегодня мы научимся решать задачу с таким вопросом: что будет, если смешать несколько разных жидкостей или привести их в контакт с разными твердыми телами, при разных температурах? Какая температура при этом установится?

В любом случае горячие тела будут отдавать теплоту, холодные – принимать, пока система не придет к такому состоянию, когда тепло уже не передается. Об этом состоянии сегодня и пойдет речь.

Итак, у нас есть нагретое тело. Как количественно измерить, как сильно оно нагрето? Если поместим над раскаленным камнем вертушку из бумаги, то она начнет крутиться из-за восходящего потока теплого воздуха (см. рис. 2).

Рис. 2. Раскаленный камень и вертушка

Если мы наполним воздушный шар горячим воздухом, то он легко поднимет корзину с несколькими людьми! Получается, что в нагретом теле есть какая-то энергия, которую, в принципе, можно превратить в механическую работу. Эта энергия называется внутренней, и измерить ее можно по работоспособности. Логично, что измеряется она, как и работа, в джоулях.

Внутренняя энергия тела

Как изменить внутреннюю энергию тела? Можно совершить над телом работу. Действительно, если долго тереть друг о друга деревянные палочки, они могут даже загореться. Если много раз сгибать проволоку, место сгиба сильно нагреется. Если бить по гвоздю молотком – они нагреются. При этом, согласно закону сохранения энергии, механическая энергия переходит в тепловую, которая представляет собой механическую энергию молекул (см. рис. 3).

Рис. 3. Механическая энергия переходит в тепловую

Можно увеличить внутреннюю энергию тела, просто передав ее от другого тела. Как? Так же, как передается кинетическая энергия от одного бильярдного шара другому – при соударении (см. рис. 4) – так и в веществе она передается от одной частицы к другой.

Рис. 4. Передача кинетической энергии шарами

Если энергия передается от одной соседней частицы к другой, процесс называется теплопроводностью (см. рис. 5), если частицы перемещаются далеко внутри вещества и там отдают энергию – процесс называется конвекцией (см. рис. 6).

Рис. 5. Теплопроводность

Рис. 6. Конвекция

Есть особенный, бесконтактный способ передачи энергии – через излучение (см. рис. 7).

Рис. 7. Излучение

Вспомнить это более подробно вы сможете, перейдя к ответвлениям.

 

Теплопроводность

Мы рассмотрели, как гвоздь нагревается от удара молотка. Если гвоздь будет контактировать с горячей водой, то по атомам гвоздя будут ударять молекулы воды: результат тот же, внутренняя энергия гвоздя увеличится. Гвоздь нагреется не только в месте контакта с водой. Атомы с большей энергией так же будут ударять по соседним атомам внутри гвоздя, и гвоздь постепенно нагреется весь (см. рис. 8). Рис. 8. Передача атомами энергии Описанный перенос тепла называется теплопроводностью. В результате теплопроводности нагревается ложка в чашке с чаем, нагревается сама чашка, нагревается тряпка, через которую мы берем горячую кастрюлю (см. рис. 9). Рис. 9. Примеры теплопроводности

 

Конвекция

Если вещество жидкое или газообразное, то молекулы в нем не зафиксированы на одном месте, они могут перемещаться внутри вещества. Другими словами, газы и жидкости могут перемешиваться. И молекула с большей энергией может не передать ее соседней молекуле, а переместиться в другое место и столкнуться там с другой молекулой. Так нагревается вода в кастрюле. Огонь на плите нагревает только нижнюю часть кастрюли, в результате теплопроводности кастрюля нагревается вся и теплота передается воде. А дальше, мы знаем, теплая вода поднимается наверх, холодная – опускается вниз, они смешиваются, и происходит теплообмен. Рис. 10. Естественная конвекция Этот процесс называется конвекция. Конвекция может быть естественной, как в случае с водой в кастрюле или с потоком теплого воздуха от батареи отопления. А может быть вынужденной: можно ведь смешать холодную и горячую воду ложкой, а горячий воздух обогревателя с холодным воздухом комнаты – с помощью вентилятора (см. рис. 11). Рис. 11. Примеры вынужденной конвекции

 

Откуда берется ветер

Ветер на нашей планете возникает из-за того, что Земля и воздух над ней прогреваются солнечными лучами неравномерно. Над одними участками воздух нагревается сильнее, чем над другими. В результате он поднимается вверх, потому что он расширяется и его плотность уменьшается. Его место занимает более холодный воздух с других, менее прогретых участков (см. рис. 12). Рис. 12. Движение воздуха А движение воздуха и есть ветер. Например, почва нагревается быстрее, чем вода, при этом ветер дует со стороны воды, как мы только что описали (см. рис. 13). Рис. 13. Нагревание земли При понижении температуры, например вечером, почва остывает быстрее, тогда ветер дует с суши (см. рис. 14). Рис. 14. Остывание земли Неравномерное прогревание может быть из-за облачности, из-за неравномерной растительности или снежного покрова, и во всех этих случаях возникает конвекция.

 

Излучение

Еще один способ изменения внутренней энергии – излучение. Если до этого мы рассматривали, как энергия передается от одной молекулы к другой при контакте, то здесь контакт не нужен. Энергия передается через электромагнитное излучение на расстоянии (см. рис. 15). Рис. 15. Передача энергии на расстояния Таким способом передается теплота от Солнца Земле и другим планетам. Так же нас греет костер (конвекционные потоки горячего воздуха направлены вверх, и мы их не чувствуем, а теплопроводность воздуха небольшая) (см. рис. 16). Рис. 16. Направление горячего воздуха от костра

 

Смешивание холодной и горячей воды

Вернемся к примеру со смешиванием холодной и горячей воды. Теплота передается с помощью конвекции и теплопроводности, в любом случае теплообмен будет протекать до тех пор, пока вся вода не будет иметь одну температуру. Теплота передается от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой (см. рис. 17), и понятно, что этот процесс прекратится, когда температуры тел станут равны.

Рис. 17. Передача тепла

Теплота может передаваться окружающему воздуху, столу, на котором стоит сосуд, может пойти на выполнение работы. Эти потери энергии чаще всего пренебрежимо малы, и для решения большинства задач ими можно пренебречь. Мы рассмотрим модель замкнутой системы тел, в которой теплообмен происходит только между телами внутри системы.

В такой системе если одни тела отдают теплоту, то другие принимают, при этом сколько теплоты отдано одними телами, столько принято другими. То есть теплообмен подчиняется закону сохранения энергии. Математически это можно записать так:

При этом стоит помнить, что отданная или принятая в процессе теплообмена энергия – это изменение внутренней энергии (мы считаем, что жидкости и твердые тела не совершают работы). То есть, говоря о конкретном количестве теплоты, переданном или полученном, мы не знаем абсолютного значения внутренней энергии, нам его и не нужно знать при рассмотрении теплообмена.

 

Закон сохранения энергии

Нового в уравнении  ничего нет, так как это частный случай закона сохранения энергии. Ведь в природе ничто не берется из ниоткуда и не исчезает бесследно. Например, если вы скатываетесь с горки, ваша скорость и кинетическая энергия растут (см. рис. 18). Рис. 18. Возрастание скорости и кинетической энергии Откуда она берется? Из потенциальной энергии. А потом, у подножия горки, вы замедляетесь и в итоге останавливаетесь. Ваша кинетическая энергия становится равной нулю. Куда она девается? Она никуда не исчезает, а благодаря силе трения переходит в энергию теплового движения молекул санок и снега (см. рис. 19). Рис. 19. Кинетическая энергия переходит в энергию теплового движения молекул Суммарная энергия замкнутой системы тел всегда остается неизменной, просто она переходит из одной формы в другую. Сегодня мы говорим об энергии молекул тел, о том, как она передается другим телам и до какого момента это продолжается.

 

Чем определяется количество теплоты?

Теперь разберемся, чем определяется количество теплоты, которое тело отдает при охлаждении или принимает при нагревании.

Понятно, что чем больше горячей воды мы нальем в ведро с холодной, тем больше холодная вода нагреется. То есть чем больше вещества, тем больше в нем содержится теплоты. Что значит «больше вещества»? Речь о массе, объеме или количестве молекул?

Среди перечисленных величин выбрали именно массу: объем при изменении температуры изменяется, а количество молекул измерять неудобно, намного удобнее взвесить вещество. Итак, количество теплоты пропорционально именно массе: .

 

Почему поглощаемая энергия пропорциональна массе?

Количество теплоты, которое принимает тело, идет на увеличение его внутренней энергии. Внутренняя энергия – это суммарная энергия частиц вещества: атомов или молекул. Значит, изменение внутренней энергии должно быть пропорционально количеству частиц: . Однако таким параметром, как количество молекул, мы пользуемся редко, это неудобно, удобнее взвесить вещество и говорить о его массе. Масса вещества равна массе одной молекулы, умноженной на количество молекул: , тогда количество молекул равно . Тогда можно записать  или , т. к. масса одной молекулы – величина постоянная для данного вещества, и она будет учтена в коэффициенте пропорциональности, который как раз определяется отдельно для каждого вещества и учитывает его параметры: массу молекул, связь между ними, связь кинетической энергии молекул и температуры. Таким образом, среди параметров, показывающих, сколько взято вещества, мы можем пользовать наиболее удобный – массу.

 

Количество теплоты зависит не только от массы вещества, но и от типа вещества. 10-килограммовая железная гиря остынет намного быстрее и при этом выделит меньше теплоты, чем 10 кг воды (рис. 20).

Рис. 20. Скорость остывания

А также количество отданной или принятой теплоты зависит от разности температур: от того, на сколько градусов остывает или нагревается тело, от . На самом деле количество теплоты – это тоже «дельта», оно показывает изменение энергии.

Количество переданной или полученной телом теплоты , а коэффициент пропорциональности, который называется удельной теплоемкостью и обычно обозначается , определяется веществом. Удельная теплоемкость – это количество теплоты, которое нужно передать 1 кг вещества, чтобы нагреть его на :

 

c = const

Удельная теплоемкость с зависит от температуры t. Чтобы нагреть железный шарик с 10 градусов до 11 и с 200 до 201, нужно разное количество теплоты. Хотя изменение температуры одинаковое – 1 градус, было бы странно, если бы количество теплоты в двух показанных случаях было одинаковым. Теплоемкость изменяется, но ее изменение с изменением температуры пренебрежимо мало, поэтому для решения задач нам вполне достаточно считать с = const и зависимость  линейной (на участках, где не изменяется агрегатное состояние вещества) (рис. 21). Рис. 21. Изменение теплоемкости

 

Теперь в задачах, в которых описан тепловой баланс, мы сможем рассчитать по известной формуле количество теплоты, поглощенное при нагревании одних тел, и количество теплоты, отданное при остывании других тел. И тогда только останется правильно записать уравнение .

Обратите внимание, что мы сейчас не рассматриваем случаи, когда вещество меняет агрегатное состояние. Например, удельная теплоемкость воды равна , это значит, что 1 кг воды при нагревании на каждый градус поглощает 4200 Дж теплоты. Но когда температура достигает , при поглощении теплоты температура вообще не изменяется, пока вода не испарится (рис. 22): теплота идет на разрушение связей между молекулами и парообразование

Рис. 22. Поглощение тепла

То же происходит и при плавлении твердых тел. Поэтому формулой  мы пользуемся только для таких изменений температур, при которых не меняется агрегатное состояние вещества.

Задача 1

Применим рассмотренные уравнения на примере задачи, которую иногда приходится решать в жизни.

В чашке находится  чая при температуре . Сколько воды при температуре  нужно долить, чтобы охладить его до температуры ? Теплоемкостью чашки пренебречь, удельную теплоемкость чая считайте равной удельной теплоемкости воды.

Анализ задачи:

- по условию задачи смешивается горячий чай и холодная вода.

- между ними происходит теплообмен, в итоге смесь принимает одну температуру .

Выберем модель, с помощью которой опишем явление. По условию теплоемкостью чашки можно пренебречь, о потерях ничего не сказано, значит, применим модель замкнутой системы, в которую войдут горячий чай и холодная вода, теплообмен, можно считать, протекает только между ними. Будем использовать уравнение теплового баланса.

Теперь опишем математически протекающие процессы. При теплообмене холодная вода нагреется с температуры  до температуры  и поглотит теплоту:

 

 

Чай остынет с температуры  до температуры . Дальше мы приравняем  и , они равны по модулю, значит,  нужно взять по модулю и  записать как :

 

 

Сколько теплоты отдал чай, столько теплоты приняла вода, запишем это:

 

 

Как записать ?

Для случая, когда тело охлаждается и теряет теплоту, мы записали разность температур по модулю, чтобы потом приравнять отданную и полученную теплоту. Можно записать по-другому: в формуле для количества теплоты разность температур брать как конечная температура минус начальная. Для тел, которые охлаждаются и отдают теплоту, начальная температура больше конечной, поэтому  будет отрицательным. Какая теплота была отдана, а какая принята, будет уже учтено в знаке , поэтому нам не нужно будет это учитывать и записывать их слева или справа в равенстве . Тогда уравнение теплового баланса мы запишем просто как  и получим тот же ответ. Решать можно обоими способами, главное – понимать, какую модель мы используем и как мы учитываем направление теплопередачи.

 

Все необходимые уравнения записаны, осталось их решить и найти массу воды.

Приравняем  и :

 

 

Удельная теплоемкость воды сократится, выразим массу воды:

 

 

Подставим известные значения:

 

 

Задача решена.

 

Задача 2

Решим еще одну задачу.

В фарфоровую чашку массой 140 г с серебряной ложкой массой 50 г наливают 200 г чая при температуре . Какая температура установится в результате теплообмена, если чашка и ложка имели температуру ? Потерями тепла пренебречь.

В задаче приводится контакт горячего чая с комнатными чашкой и ложкой.

Между ними протекает теплообмен, в результате чего устанавливается некоторая равновесная температура.

Выберем модель, с помощью которой опишем теплообмен чая и чашки с ложкой. Опишем тепловой баланс в замкнутой системе.

В данной задаче подразумевается, что чай вступает в теплообмен с чашкой и ложкой. Замкнутой системой будем считать чай, чашку и ложку, и применим к ним уравнение теплового баланса.

Теперь опишем математически протекающие процессы.

Чай охлаждался с температуры  до равновесной температуры  и при этом отдавал теплоту, которая по модулю равна:

 

 

Ложка и чашка нагревались с температуры  до равновесной температуры  и при этом получали теплоту. Количества теплоты для чашки и ложки равны:

 

 

В изолированной системе сколько теплоты отдано одними телами, столько принято другими. Запишем:

 

 

Все необходимые уравнения записаны, осталось их решить и найти неизвестную температуру. Значения удельной теплоемкости воды, фарфора и серебра известны, их можно посмотреть в таблице: , ,. Подставим в уравнение теплового баланса значения ,  и :

 

 

Получили громоздкое, но простое уравнение, решив которое, получим равновесную температуру приблизительно .

 

Математическая часть решения задачи

Имеем уравнение с одной неизвестной.     Раскроем скобки:     Перенесем члены, содержащие неизвестную температуру  в левую часть, и все остальное – в правую:     Вынесем за скобки , заодно умножив обе части уравнения на -1 и поменяв знаки:     Подставим известные значения:

 

Уравнение теплового баланса помогает нам решать задачи независимо от количества тел, участвующих в теплообмене, и независимо от способов передачи тепла. Необходимо лишь выделить систему, которую при решении задачи можно считать замкнутой, и применить закон сохранения энергии.

 

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
2. А.В. Перышкин Физика 8 кл.: учеб. Для общеобразоват. учреждений. – М.: Дрофа, 2013. – 237 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «SolverBook» (Источник)
2. Интернет портал «Мой конспект» (Источник)
3. Интернет портал «Homework.net.ua» (Источник)
4. Интернет портал «Physics.kgsu.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Как изменится температура воды массой 100 г, если в нее опустить алюминиевый брусок массой 50 г, нагретый до температуры 80 ? Начальная температура воды была равна 20 .
2. Что такое тепловой баланс? Что представляет собой уравнение теплового баланса?
3. В воду массой 3 кг при комнатной температуре 20  опустили кусок алюминия, находящийся при температуре 50  . После того как наступил тепловой баланс, температура воды стала равна 25  . Определите массу алюминия.