Приведем исторический факт: в Петербурге сильно раскачался и в результате обвалился Египетский мост (см. рис. 11).

Обвал Египетского моста

Рис. 11. Обвал Египетского моста

В это время по мосту маршевым шагом, то есть в ногу, проходил кавалерийский эскадрон. Почему же в данном случае вынужденные колебания (а именно: воздействие эскадрона и вызвало вынужденные колебания) привели к разрушению моста? Ответим на этот вопрос. На рисунке изображены два маятника, висящие на общем шнуре (см. рис. 12).

Два маятника на шнуре

Рис. 12. Два маятника на шнуре

Длина второго маятника неизменная. Этой длине соответствует определенная частота свободных колебаний, назовем её собственная частота маятника. Длину первого маятника можно менять, подтягивая свободные концы его нити. При изменении длины нити 1, меняется его собственная частота. Если отклонить первый маятник от положения равновесия и предоставить его самому себе, то он будет совершать свободные колебания. Это вызовет колебания шнура, в результате чего на маятник 2 через его точки подвеса будет действовать вынуждающая сила, которая периодически меняется по модулю и направлению с такой же частотой, с которой колеблется первый маятник. Под действием этой силы второй маятник будет совершать вынужденные колебания (см. рис. 13).

Второй маятник начинает совершать вынужденные колебания

Рис. 13. Второй маятник начинает совершать вынужденные колебания

Начнем уменьшать длину первого маятника – частота его колебаний, а значит, и частота изменения вынуждающей силы, действующей на второй маятник, будет увеличиваться, приближаясь к собственной частоте второго маятника (см. рис. 14).

Уменьшаем длину первого маятника

Рис. 14. Уменьшаем длину первого маятника

При этом можно увидеть, что амплитуда установившихся вынужденных колебаний второго маятника будет возрастать (см. рис. 15).

Возрастание амплитуды второго маятника

Рис. 15. Возрастание амплитуды второго маятника

В момент, когда длины маятников сравняются, то есть когда частота вынуждающей силы совпадет с собственной частотой второго маятника, амплитуда колебаний достигнет максимального значения. Если и в дальнейшем уменьшать длину первого маятника, то это приведет к тому, что частота вынуждающей силы станет больше собственной частоты второго маятника – амплитуда колебаний начнет уменьшаться (см. рис. 16).

Уменьшение амплитуды колебаний

Рис. 16. Уменьшение амплитуды колебаний

Можно обратиться к графику зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней вынуждающей силы (см. рис. 17), в данном случае частоты колебания маятника 1.

Зависимость амплитуды от частоты

Рис. 17. Зависимость амплитуды от частоты

Обратите внимание, когда частота внешней силы совпала с собственной частотой колебаний, значение амплитуды максимально – амплитуда резко возросла. Вывод: амплитуда установившихся вынужденных колебаний достигает своего наибольшего значения при условии, что частота вынуждающей силы равна собственной частоте колебательной системы. Это явление называется резонансом.

Резонанс

При изучении вынужденных колебаний можно столкнуться с очень интересным явлением – резонансом. Все дело в том, что, когда говорили о вынужденных колебаниях, мы ввели понятие двух частот: частота внешней силы (обозначили ) и собственная частота колебательной системы (). В зависимости от соотношения между этими частотами, колебания могут протекать по-разному. У системы есть собственная частота колебаний – частота, с которой колеблется система, если её не трогать (груз, подвешенный к маятнику); есть также внешняя – та частота, с которой влияют на систему (раскачивают груз, который подвешен к маятнику). Можно раскачивать груз с разной частотой, но от этого колебания не станут больше, амплитуда не увеличилась, можно раскачивать систему очень редким касанием о груз – в этом случае тоже колебания далеко не оптимальные. Очевидно, существует какое-то соотношение между частотой собственной и частотой внешней силы.

Посмотрим на график зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней вынуждающей силы (см. рис. 17) и увидим, что в момент, когда амплитуда максимальная, частота внешней силы равна собственной частоте колебаний, то есть явление резкого роста амплитуды при совпадении частоты внешней силы и собственной частоты колебаний. Это и есть явление резонанса.

Зависимость амплитуды колебаний от частоты

Рис. 18. Зависимость амплитуды колебаний от частоты

Амплитуда резко возрастает, энергия резко приходит в систему – и колебания резко увеличиваются. Резонанс встречается в технике, например, при устройстве частотомера язычкового (см. рис. 19), также резонанс получил распространение в медицине (МРТ).

Частотомер язычковый

Рис. 19. Частотомер язычковый

Почему же наступает резонанс? Почему амплитуда резко возрастает при совпадении частоты внешней силы и собственной частоты колебаний системы?

В случае резонанса направление вынуждающей силы в любой момент времени совпадает с направлением движения колеблющегося тела, таким образом, создаются наиболее благоприятные условия для пополнения энергии колебательной системы за счет работы вынуждающей силы. Например, чтобы сильней раскачать качели, мы подталкиваем их таким образом, чтобы направление действующей силы совпадало с направлением движения качели. Важно помнить, что явление резонанса имеет отношение только к вынужденным колебаниям, то есть когда есть внешняя периодическая вынуждающая сила.

А теперь вернемся к примеру с мостом. Понятно, что мост раскачался до большой амплитуды вследствие того, что частота его собственных колебаний совпала с частотой внешнего воздействия, то есть частотой шагов эскадрона. Безусловно, это случайное совпадение, однако аварию можно было предотвратить, если перед входом на мост была бы отдана команда «идти не в ногу», то есть идти вразнобой.

Нельзя говорить, что резонанс только плохое явление: например, если стоит задача минимальными усилиями добиться максимального размаха колебаний (раскачивание языка колокола (см. рис. 20)), то необходимо добиться частоты вынуждающей силы и собственной частоты, то есть использовать резонанс.

Раскачивание языка колокола

Рис. 20. Раскачивание языка колокола

Пример негативного действия резонанса: раскачивание ж/д вагона при совпадении частоты ударов колес о стыки рельсов с собственной частотой колебаний вагона. При этом необходимо устранить вероятность возникновения резонанса, то есть изменить скорость движения поезда.