Классы
Предметы

Механические колебания

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Механические колебания

На уроке о механических колебаниях мы поговорим о природе их возникновения, свойствах и характеристиках, а также изучим явление резонанса.

Введение

Трудно найти человека, который ни разу не катался на качелях. Это удивительно: мы можем толкнуть их один раз, а они после этого еще некоторое время будут качаться. Похоже ведет себя вода в ванной: схожесть в том, что мы можем один раз плеснуть, и вода будет двигаться. И само движение воды и качелей похоже, оно повторяется.

 


Примеры колебаний, которые сохраняются после прекращения воздействия

Если качели толкнуть один раз, они некоторое время будут еще качаться, то разгоняясь, то останавливаясь, меняя направление движения, хотя мы на них уже не действуем. Это свойство не только качелей, но и других объектов, назовем их колебательными системами. Кроме качелей, так ведет себя любой подвешенный груз: маятник часов, не закрепленная жестко люстра, елочная игрушка и т. д.

То же свойство проявляет гитарная струна: мы ее один раз оттянули, бросили, и она некоторое время вибрирует. Конечно, если качели совершают приблизительно одно колебание за секунду, то струна вибрирует намного быстрее, сотни и тысячи колебаний за секунду, но принцип тот же. Такие «быстрые» вибрации мы воспринимаем как звук, его и издает струна. Но не только струна издает звук. Это относится ко всему, что звенит некоторое время после того, как по нему ударить: металлические предметы наподобие рельсов, некоторая посуда. Мало того, колебания могут распространяться – это явление называется волнами, мы их изучим чуть позже. И у них тоже замечательное свойство: источник волны уже может не колебаться, а волна все еще распространяется. Камень, брошенный в воду, уже утонул, и вода над ним успокоилась, а до берега волна только дошла. Мы крикнули и успели замолчать, а потом только услышали эхо.


 

 

 

Колебания. Модель системы

А если подействовать несколько раз, причем попасть в нужный момент времени, то качели раскачаются сильнее и вода может выплеснуться из ванной. Что значит «в нужный момент», понимает каждый, кто умеет раскачиваться на качелях. Более того, если приложить, то же самое усилие в «ненужный момент», результат будет прямо противоположный: качели затормозятся, а не ускорятся.

Понятно, что ради раскачивания качели или выплескивания воды из ванной никто не стал бы разрабатывать модель для описания их движения. Но колебания качелей или воды в ванной имеют ту же природу, что и, например, колебания мостов, которые приводят к их разрушению. И таких практических задач очень много.

Поэтому нужно выделить модель, которая опишет различные колебания.

У нас есть набор моделей, которым мы уже пользовались: равномерное и равноускоренное прямолинейное движение и равномерное движение по окружности. Ни одну из них не получится применить к качелям, поэтому придумаем новую модель, с помощью которой можно будет описать это движение.


Модели, применимые к качелям

На самом деле движение качелей можно описать и с помощью моделей, которыми мы пользовались до этого, смотря какую задачу мы решаем. На каком-то коротком участке траектории движение можно считать равноускоренным прямолинейным, например в самом начале движения из крайней точки (рис. 1). Пока траектория не успеет заметно искривиться, и силы тяжести и натяжения не успеют переориентироваться (рис. 1), можно считать их действие постоянным. А вблизи нижней точки на короткое время можно считать движение качелей равномерным движением по окружности, чтобы найти вес катающегося человека. На этом коротком участке сила натяжения и сила тяжести действуют вдоль одной прямой, можно так считать, и их равнодействующая создаст центростремительное ускорение (рис. 1).

Рис. 1. Рассмотрение разных стадий колебаний маятника.

То есть у нас есть хорошие инструменты для решения ограниченного ряда задач. А уже решить главную задачу механики для колебательного движения, то есть найти, где в какой момент времени будет находиться тело, на протяжении длительного времени уже не получится, нужны новые инструменты, новая модель.


 

Мы заметили в движении многих тел равномерность и прямолинейность: человек может идти, не сворачивая и с постоянной скоростью; так же, скорее всего, будет ехать автомобиль, если у него нет препятствий; вода в реке течет с постоянной скоростью, если не меняется уклон, и т. д. Заметили в реальных явлениях общее и придумали модель: равномерное прямолинейное движение материальной точки (см. рис. 1).

Рис. 1. Равномерное прямолинейное движение материальной точки

Модель придуманная, но множество реальных задач с ее помощью решаются с достаточной точностью.


Идеализация в модели равномерного прямолинейного движения

Равномерное прямолинейное движение – с помощью этой модели мы умеем решать множество реальных задач. С помощью простой формулы:

мы легко вычисляем (или приблизительно прикидываем), с какой скоростью на какое расстояние и за какое время тело переместится, что бы это ни было.

Но хоть мы и решаем реальные задачи, действительно равномерного прямолинейного движения не бывает. Начнем с того, что у нас в модели равномерное прямолинейное движение материальной точки, а ее не существует. Представьте: тело с бесконечно малыми размерами – это идеализация. Прямая линия тоже идеализация. Мы ее придумали, вложив в нее наше представление о «прямоте». У него нет четкого определения в геометрии. В то время как все реальные линии хоть немного, но кривые и точно не бесконечные. И наконец, равномерность тоже идеализация. Тело когда-то начало свое движение, то есть из состояния покоя увеличило скорость, и когда-то закончит. И даже на небольшом интервале все равно за какую-то секунду оно проходит больше, а за какую-то – меньше. Вопрос только, в какой микроскоп посмотреть, чтобы это заметить. Тем не менее такая абстракция помогает с той или иной точностью описать реальные процессы, а удовлетворяет ли нас такая точность для решения конкретной задачи – решать нам.


 

Сегодня нам предстоит придумать еще одну такую модель: не существующую в реальном мире, но с достаточной степенью точности описывающую множество процессов, в которых мы заметили и выделили что-то общее.


Ограниченный набор решений для большого числа задач

В математике подход тот же, что и в физике: мы подробно разобрали идеальную модель треугольника, чтобы решать множество задач про реальные тела, похожие на треугольники. И таких идеальных моделей ограниченное множество.

Использовать ограниченный набор решений для большого количества реальных задач – это касается не только задач по физике или математике, это наш способ мыслить.

Представим, что перед нами стоит задача изготовить для всех людей на Земле обувь. Чтобы обуть всех людей, мы не будем шить обувь индивидуально под каждого, это займет слишком много времени. Придумаем пару десятков стандартных размеров – то есть готовых решений задачи. То есть обувь шьется на какие-то абстрактные ноги 38, 39 и других размеров, и эти готовые решения мы применяем для реальной задачи – обуть конкретного человека. Его нога на 100% не подходит под те размеры, но с некоторой степенью точности (в данном случае – комфорта) можно считать, что подходит.

Если задача не решается или точности недостаточно, то придумываем новое решение. По теме нашего урока – изучаем модель колебаний, а в случае с обувью – шьем под заказ или выпускаем размеры, кратные 1/2.

По такому же принципу сформирован язык. Мы придумали одно слово и обозначаем им много объектов. То есть перед нами стояла задача обозначить все такие объекты, и мы придумали универсальное решение – называть их все «дерево». Для некоторых задач коммуникации такой точности не хватает, для таких случаев есть более точная модель: какие-то деревья мы называем соснами, какие-то березами. И они по-прежнему достаточно универсальны: мы называем тысячи конкретных объектов одним абстрактным словом «береза».


 

В старославянском языке было слово «колѣбати», от которого произошло русское «колыба́ть» – «качать, укачивать». Отсюда – колыбель.

Механические колебания (колебательное движение) – это движение тел, точно повторяющееся через одинаковые промежутки времени (см. рис. 2).

Рис 2.. Механические колебания


Широкое понятие колебательного процесса в физике

В широком же смысле колебания – это вообще любое изменение любой физической величины, которое повторяется через одинаковые промежутки времени.

Это могут быть колебания температуры, то есть температура как-то изменяется, и эти изменения повторяются. Например, суточные колебания: днем теплее, ночью холоднее. Пусть эти изменения не повторяются с точностью до градуса, но в целом о закономерности можно говорить. Или говорят о годовых колебаниях температуры.

Можно рассмотреть годовые колебания уровня воды в реке: весной во время паводка уровень повышается, летом во время засухи понижается, осенью и зимой свои закономерности, и через год все плюс-минус повторяется.

Мы подробно будем говорить об электромагнитных колебаниях. Это повторяющиеся изменения электрических величин – силы тока, напряжения, энергии электрического и магнитного поля.


 

Под определение колебаний подходит и движение грудной клетки при дыхании, и движение штанги, которую мы поднимаем в тренажерном зале. Последнее движение явно отличается от колебаний качели – ее мы толкнули, и она качается, а штангу мы все время двигаем сами. Что ж, мы сами придумали определение, и потом нам может показаться странным, что под него попадает.

Сделаем уточнение и разделим колебания на вынужденные, которые совершаются под действием внешней силы, например движение штанги, и свободные, при которых систему достаточно вывести из равновесия и предоставить саму себе, чтобы возникли колебания. Более подробно мы рассмотрим именно свободные колебания. Возможен и комбинированный вариант: качели совершают свободные колебания, но мы их еще подталкиваем, как при вынужденных.

До этого мы использовали модель материальной точки и исследовали ее движение. И сегодня мы займемся описанием колебательного движения именно материальной точки. В такой модели не важно, качели ты толкаешь, или грузик, висящий на нити, или ароматизатор-елочку в автомобиле – модель опишет все такие процессы.

В реальном мире не бывает так, чтобы качели качнули один раз, пришли через год, а они все еще качаются. Любое колебание постепенно прекращается, затухает. Но на коротком промежутке времени, если рассмотреть 2–3 колебания, они будут с достаточной точностью повторяться, чтобы использовать идеальную модель: колебания повторяются с абсолютной точностью на протяжении бесконечного времени.

Опишем эту модель математически с помощью готовых инструментов. Для описания движения есть понятия координаты, скорости, ускорения. Положение точки можно задать с помощью координаты. Движение точки характеризуется скоростью, и при колебаниях скорость меняется: в крайних точках она нулевая, затем скорость по модулю увеличивается и уменьшается (см. рис. 3).

Рис. 3. Описание модели колебательной системы

Как описать повторяющийся процесс? Применим инструменты, которые мы уже применяли для равномерного движения по окружности – понятия частоты и периода (см. рис. 4).

Рис. 4. Частота и период колебаний

Период колебаний – это минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения. Тело возвращается в то же состояние, что и в начале интервала (под состоянием подразумевается координата, скорость и ускорение). В случае с вращением за время  тело совершало полный оборот, а в случае с колебаниями – одно полное колебание (см. рис. 5).

Рис. 5. Период колебаний

Частота колебаний – это количество полных колебаний за единицу времени. Частота обратна периоду:

При колебаниях тело отклоняется то в одну, то в другую сторону от некоторого центрального положения. Удобно ввести величину этого отклонения.

Амплитуда колебаний – это максимальное отклонение (по модулю) координаты тела от положения его равновесия. На рисунке вы видите примеры колебаний, где отмечена их амплитуда (см. рис. 6).

Рис. 6. Амплитуда колебаний

По аналогии с обычной амплитудой можно ввести понятия амплитуды скорости и амплитуды ускорения – это максимальные значения скорости и ускорения колеблющегося тела. Определим закономерность, по которой изменяется координата со временем. Если мы будем знать эту закономерность, то сможем предсказывать, где в какой момент времени будет тело, а это и есть решение главной задачи механики.

Подвесим на нити в качестве груза емкость с песком, из которой песок тонкой струйкой высыпается. Получившийся маятник оставим колебаться над лентой, которую будем двигать с постоянной скоростью (см. рис. 7).

Рис. 7. Зависимость координаты от времени

Тогда каждый участок ленты будет соответствовать моменту времени, в который он находился под маятником, а след песка покажет, где в этот момент находился маятник. Таким образом, полученный рисунок из песка покажет зависимость координаты от времени . Получившаяся зависимость очень похожа по форме на график синуса. Такой же результат получим, если повторим эксперимент с пружинным маятником, прикрепив к нему такую же емкость с песком или чернильный самописец (см. рис. 8).

Рис. 8. Исследование зависимости координаты от времени с помощью пружинного маятника

Можем смело использовать синусоиду для описания свободных колебаний.


Какие колебания описываются синусоидой?

Перечислим условие, при котором решением задачи о колебаниях будет синусоидальная зависимость .

Мы уже определились: чтобы колебания вообще возникли, при смещении точки (а мы описываем модель материальной точки) из состояния равновесия должна возникать сила, которая направлена на то, чтобы вернуть точку в состояние равновесия. Под действием этой силы и происходят колебания.

Здесь уточним: эта сила должна быть пропорциональной смещению точки. Такие колебания называются гармоническими. Это условие придумали поскольку большинство реальных колебаний удовлетворяют этому условию. В пружинном маятнике, по закону Гука, сила упругости пропорциональна смещению, в нитяном маятнике эта составляющая силы тяжести пропорциональна углу отклонения (см. рис. 9).

Рис. 9. Зависимость силы тяжести от угла отклонения маятника

Даже вода в ванной: возвращающая сила определяется разностью давлений столбов воды с двух сторон, эта разность давления равна , а  – это и есть смещение (см. рис. 10).

Рис. 10. Разность давлений воды в ванной

Так вот, когда уравнение имеет вид:

Или

Ускорение  – это скорость изменения скорости , а  – это скорость изменения координаты , так что связь есть, и уравнение можно решить. У нас пока не хватает математических инструментов, чтобы его решить, поэтому возьмем готовое решение:

И оно совпадает с тем, что мы видели в эксперименте: зависимость синусоидальная.


 

Математическое описание механического колебания

Функция  изменяется в пределах от –1 до 1, и она пока не показывает координату. Нужно умножить этот синус на амплитуду колебаний. Тогда получится амплитуда, умноженная на число, по модулю , то есть на какую долю от амплитуды отклонилось тело в данный момент от положения равновесия (которое приняли за ноль) (см. рис. 11).

Рис. 11. График функции

Синус – это функция от угла , а мы говорим о зависимости координаты от времени. Где здесь вообще угол? Вспомним из уроков математики, как получается график синуса. Если нарисовать единичную окружность и начать вращать ее радиус, то каждому углу поворота будет соответствовать точка на окружности. Проекция этой точки на ось – это и есть синус. И если развернуть вращение по времени, то получим график синуса. Одному обороту соответствует один период синусоиды (см. рис. 12).

Рис. 12. График функции

Чтобы разные углы привести в соответствие разным моментам времени, можно составить пропорцию: угол  соответствует времени  как угол полного оборота  соответствует времени полного колебания .

Величина  или, что то же самое, , равна угловой скорости движения по окружности, или, когда движения по окружности как такового нет, ее называют циклической частотой.

Итак, вместо угла  под знак синуса мы можем подставить . А чтобы учесть, что колебания могут начаться не из точки равновесия, нужно прибавить начальный угол . Окончательно получим:

Все, что стоит под знаком синуса, называют фазой колебаний.


Что такое фаза

На единичной окружности хорошо понятно, где угол, а где его синус. Но что, если у нас нет никакой окружности, происходят колебания по закону , а под знаком синуса стоит величина, имеющая размерность угла, как ее понимать?

Точка движется по окружности, и каждому ее углу поворота соответствует значение синуса. Угол  соответствует полному обороту, то есть полному пройденному циклу, если начало было в точке 0. После этого момента все повторяется, и синус принимает снова те же значения (см. рис. 13). Фаза  – это половина цикла,  – четверть и т. д.

Рис. 13. Фаза колебаний

То есть фаза периодического процесса показывает, на каком этапе, на какой стадии (а это синонимы слова «фаза») находится процесс. Таким образом, есть четкое соответствие: четверть цикла, четверть периода () соответствует фазе  – фаза, соответствующая четверти цикла.

Это понятие могло быть вам знакомо по фазам Луны. Луна на небосводе периодически изменяет свой вид, и стадии этого изменения мы тоже назвали фазами: убывающая Луна, растущая.

Сравним два колебания, одно из которого отстает от другого. Они одинаковы по частоте, по амплитуде, но между ними есть как раз сдвиг фаз. Когда фаза одного равна нулю, фаза другого уже чуть больше:


 

Графики синуса и косинуса имеют одинаковую форму, но они смещены друг относительно друга на . На ленте с песком в нашем эксперименте мы их вообще не отличим. Так что можем использовать также уравнение с косинусом. Но помним, что график косинуса начинается в точке (0;1), то есть уравнение  опишет колебания, для которых отсчет времени начинается в крайнем положении (см. рис. 14).

Рис. 14. График зависимости

Задача

Тело, подвешенное на пружине, совершает механические колебания с периодом 3 с и амплитудой 10 см. Началом движения считайте момент, когда тело находится в положении равновесия. Найдите, в какой точке будет находиться и в каком направлении будет двигаться тело в момент времени 1 с.

Проанализируем условие задачи. Описано движение тела, подвешенного на пружине. В такой колебательной системе возникают свободные колебания, о затухании речь не идет. Поэтому можем применять готовые закономерности, которые мы получили для таких колебаний. Это позволит перейти нам к физической части задания: записать готовое уравнение, которым мы решили пользоваться, и применить его к конкретной задаче.

Сказано, что тело в начальный момент находится в положении равновесия, значит, под знаком синуса начальная фаза равна нулю. Амплитуда задана – 10 см, или в СИ 0,1 м. Задан также период, поэтому  запишем в виде .

Получили зависимость , теперь легко найти координату в нужный нам момент времени, по условию – 1 с.

Чтобы понять, в каком направлении движется в этот момент тело, можно найти соответствующую точку на графике . Нарисуем синусоиду. Отметим период 3 с, после него колебание повторяется. Найдем точку 1 с – это треть периода, позже четверти периода и раньше трети (см. рис. 15).

Рис. 15. Задача

В этот момент времени тело уже прошло положение наибольшего отклонения и движется в сторону положения равновесия.

Задача решена.

Возникновение колебаний

Теперь поговорим о причинах возникновения свободных колебаний. Например, есть пружина, к ней прикреплен груз. Что должно происходить, чтобы система колебалась? Чтобы груз двигался из стороны в сторону, он должен каждый раз при отклонении возвращаться в исходное положение. Значит, должна возникать сила, которая его туда возвращает. Напомним, что состояние, при котором при отклонении тела из состояния равновесия возникает сила, которая его туда возвращает, называется устойчивым равновесием. Здесь это сила упругости пружины. В случае со струной – сила натяжения самой струны. В случае с нитяным маятником – составляющая силы тяжести. Можно разложить силу тяжести на две составляющие: одну направить вдоль нити, она не будет влиять на движение маятника, нить все равно практически не растягивается; а вторая составляющая как раз определит движение маятника.

Груз отклонили, сила упругости пружины вернула его обратно. И на этом все могло бы закончиться. Почему груз проходит положение равновесия и движется дальше, отклоняясь теперь в другую сторону? Это происходит благодаря инерции. Помните: скорость тел под действием сил не изменяется мгновенно, нужно время. То есть пока сила упругости разгонит груз, он уже достигнет положения равновесия и «проскочит» его. Возникнет сила упругости, направленная в противоположную сторону, и пока она замедлит груз, он уже достигнет положения наибольшего отклонения – и процесс повторится.

Таким образом, можно сформулировать требования для возникновения свободных колебаний: должно быть состояние устойчивого равновесия, то есть при отклонениях должна возникать возвращающая сила и должна быть инертность.

Системы тел, которые удовлетворяют этим условиям и в которых могут возникать свободные колебания, назвали колебательными системами.

Важно, что частота колебаний не зависит от начального отклонения из положения равновесия. Она определяется свойствами самой системы, например для пружинного маятника это жесткость пружины и масса груза. Понятно, что «слабая» пружина (с низким коэффициентом жесткости) будет медленнее останавливать тяжелый груз, значит, одно колебание будет длиться дольше и частота будет меньше. Частота свободных колебаний в системе – это свойство самой системы, ее даже называют собственной частотой колебательной системы.

Проследим за координатой, скоростью и ускорением тела во время колебаний. Удобно будет следить по графикам зависимости этих величин от времени. Отвели тело в крайнее положение и отпустили. Координата в этот момент максимальна, отклонение равно амплитуде. Сила, а значит, и ускорение, тоже максимально, но направлено противоположно отклонению, значит, в проекции на ось х будет с противоположным знаком. Скорость в крайнем положении равна нулю, но при максимальном ускорении она быстро увеличивается. Дальше тело движется к положению равновесия, ускорение уменьшается и скорость нарастает уже не так стремительно. Когда тело наконец достигнет положения равновесия, его координата будет равна нулю, сила и ускорение будет тоже нулевым, значит, скорость на время станет постоянной. Это будет ее максимум, потому что дальше тело начнет отклоняться в другую сторону, возникнет ускорение, направленное противоположно скорости, и скорость будет все стремительнее уменьшаться до нуля – в этот момент тело достигнет крайнего положения. И дальше процесс повторится в обратном направлении.

Резонанс

Есть удобный инструмент решения некоторых задачи по механике – закон сохранения энергии. Полная механическая энергия сохраняется в замкнутой системе, если в ней действуют консервативные силы. Если пренебречь трением, то в колебательных системах как раз действуют консервативные силы: тяжести, упругости. Поэтому можно проследить, как в процессе колебаний кинетическая энергия преобразуется в потенциальную и наоборот, а их сумма остается постоянной.

С точки зрения энергии легко понять, что будет, если в системе будет действовать сила трения. Это неконсервативная сила, она в любой момент времени направлена противоположно перемещению, значит, ее работа отрицательна. А это значит, что полная механическая работа будет постепенно убывать на величину работы силы трения и колебания будут затухать.

А что, если толкать маятник рукой? Тут зависит от того, в какой момент толкнуть. Если груз в этот момент движется в ту же сторону, в какую мы толкаем, то работа силы положительна и энергия колебаний возрастает, а с ней и амплитуда, и максимальная скорость. Если же в противоположную сторону, то работа силы отрицательна и энергия колебаний уменьшается.

Теперь понятно, что если внешняя сила действует периодично с частотой собственных колебаний системы, то она будет попадать всегда в один и тот же момент, когда сила и перемещение сонаправлены, работа силы положительна и энергия будет только возрастать. Именно так мы раскачиваем качели.

Этому явлению дали название резонанс. Когда вынуждающая сила действует периодично и ее частота совпадает с собственной частотой колебательной системы, то амплитуда таких вынужденных колебаний резко возрастает. Как использовать резонанс, мы разобрали на примере качелей. Можно прикладывать небольшую силу, сообщать небольшую энергию, но делать это с нужной частотой, и колебания будут поддерживаться или усиливаться. Этот же принцип используется в маятниковых часах. Частота колебаний определяется параметрами колебательной системы. А чтобы колебания не затухали, есть гиря, которая медленно опускается и отдает маятнику свою потенциальную энергию. И механизм спроектирован так, что гиря отдает энергию «порциями», с частотой, совпадающей с собственной частотой колебательной системы.

Помимо намеренного использования явления резонанса, частота действия вынуждающей силы может случайно совпасть с собственной частотой колебательной системы и амплитуда колебаний резко возрастет.

Когда скорость отжима в стиральной машине меняется, то есть меняется частота вращения барабана, то при некоторых частотах вращение стабильно, а при некоторых – барабан сильно раскачивается, машина может чуть ли не подпрыгивать. Это и есть резонанс: частота вращения барабана двигателем совпала с собственной частотой этих раскачиваний.


Колебания, убивавшие летчиков

В первой половине ХХ века в авиации столкнулись с проблемой: самолет иногда внезапно разрушался в полете при достижении некоторой скорости. Разрушение начиналось с сильной быстро нарастающей тряски.

При изучении явления выяснилось, что такие колебания крыла самолета имеют ту же природу, что и трепыхание флага или девичьего платья на ветру. Явление назвали флаттер (от англ. flutter – махать, бить крыльями, вибрировать). Казалось бы, на крыло, на ткань действует поток воздуха с постоянной силой, и непонятно, почему возникают колебания. Благодаря работам нашего ученого Мстислава Келдыша проблема была решена. Он применил более точную модель колебательной системы, чем была до этого. Небольшое изменение сил, возникающих при изгибе крыла и которыми ранее пренебрегали, оказалось решающим в возникновении флаттера. Полученные результаты позволили рассчитать параметры самолета, необходимые для предотвращения флаттера, что спасло множество жизней.


 

Список литературы

  1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е изд., передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
  2. Перышкин А.В., Гутник Е.М., Физика, 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Грузик, колеблющийся на пружине, за 8 с совершил 32 колебания. Найти период и частоту колебаний.
  2. На какое расстояние надо отвести от положения равновесия груз массой 640 г, закрепленный на пружине жесткостью 0,4 кН/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с?