А если подействовать несколько раз, причем попасть в нужный момент времени, то качели раскачаются сильнее и вода может выплеснуться из ванной. Что значит «в нужный момент», понимает каждый, кто умеет раскачиваться на качелях. Более того, если приложить, то же самое усилие в «ненужный момент», результат будет прямо противоположный: качели затормозятся, а не ускорятся.

Понятно, что ради раскачивания качели или выплескивания воды из ванной никто не стал бы разрабатывать модель для описания их движения. Но колебания качелей или воды в ванной имеют ту же природу, что и, например, колебания мостов, которые приводят к их разрушению. И таких практических задач очень много.

Поэтому нужно выделить модель, которая опишет различные колебания.

У нас есть набор моделей, которым мы уже пользовались: равномерное и равноускоренное прямолинейное движение и равномерное движение по окружности. Ни одну из них не получится применить к качелям, поэтому придумаем новую модель, с помощью которой можно будет описать это движение.

Модели, применимые к качелям

На самом деле движение качелей можно описать и с помощью моделей, которыми мы пользовались до этого, смотря какую задачу мы решаем. На каком-то коротком участке траектории движение можно считать равноускоренным прямолинейным, например в самом начале движения из крайней точки (рис. 1). Пока траектория не успеет заметно искривиться, и силы тяжести и натяжения не успеют переориентироваться (рис. 1), можно считать их действие постоянным. А вблизи нижней точки на короткое время можно считать движение качелей равномерным движением по окружности, чтобы найти вес катающегося человека. На этом коротком участке сила натяжения и сила тяжести действуют вдоль одной прямой, можно так считать, и их равнодействующая создаст центростремительное ускорение (рис. 1).

Рис. 1. Рассмотрение разных стадий колебаний маятника

То есть у нас есть хорошие инструменты для решения ограниченного ряда задач. А уже решить главную задачу механики для колебательного движения, то есть найти, где в какой момент времени будет находиться тело, на протяжении длительного времени уже не получится, нужны новые инструменты, новая модель.

Мы заметили в движении многих тел равномерность и прямолинейность: человек может идти, не сворачивая и с постоянной скоростью; так же, скорее всего, будет ехать автомобиль, если у него нет препятствий; вода в реке течет с постоянной скоростью, если не меняется уклон, и т. д. Заметили в реальных явлениях общее и придумали модель: равномерное прямолинейное движение материальной точки (см. рис. 2).

Рис. 2. Равномерное прямолинейное движение материальной точки

Модель придуманная, но множество реальных задач с ее помощью решаются с достаточной точностью.

Идеализация в модели равномерного прямолинейного движения

Равномерное прямолинейное движение – с помощью этой модели мы умеем решать множество реальных задач. С помощью простой формулы:

мы легко вычисляем (или приблизительно прикидываем), с какой скоростью на какое расстояние и за какое время тело переместится, что бы это ни было.

Но хоть мы и решаем реальные задачи, действительно равномерного прямолинейного движения не бывает. Начнем с того, что у нас в модели равномерное прямолинейное движение материальной точки, а ее не существует. Представьте: тело с бесконечно малыми размерами – это идеализация. Прямая линия тоже идеализация. Мы ее придумали, вложив в нее наше представление о «прямоте». У него нет четкого определения в геометрии. В то время как все реальные линии хоть немного, но кривые и точно не бесконечные. И наконец, равномерность тоже идеализация. Тело когда-то начало свое движение, то есть из состояния покоя увеличило скорость, и когда-то закончит. И даже на небольшом интервале все равно за какую-то секунду оно проходит больше, а за какую-то – меньше. Вопрос только, в какой микроскоп посмотреть, чтобы это заметить. Тем не менее такая абстракция помогает с той или иной точностью описать реальные процессы, а удовлетворяет ли нас такая точность для решения конкретной задачи – решать нам.

Сегодня нам предстоит придумать еще одну такую модель: не существующую в реальном мире, но с достаточной степенью точности описывающую множество процессов, в которых мы заметили и выделили что-то общее.

Ограниченный набор решений для большого числа задач

В математике подход тот же, что и в физике: мы подробно разобрали идеальную модель треугольника, чтобы решать множество задач про реальные тела, похожие на треугольники. И таких идеальных моделей ограниченное множество.

Использовать ограниченный набор решений для большого количества реальных задач – это касается не только задач по физике или математике, это наш способ мыслить.

Представим, что перед нами стоит задача изготовить для всех людей на Земле обувь. Чтобы обуть всех людей, мы не будем шить обувь индивидуально под каждого, это займет слишком много времени. Придумаем пару десятков стандартных размеров – то есть готовых решений задачи. То есть обувь шьется на какие-то абстрактные ноги 38, 39 и других размеров, и эти готовые решения мы применяем для реальной задачи – обуть конкретного человека. Его нога на 100 % не подходит под те размеры, но с некоторой степенью точности (в данном случае – комфорта) можно считать, что подходит.

Если задача не решается или точности недостаточно, то придумываем новое решение. По теме нашего урока – изучаем модель колебаний, а в случае с обувью – шьем под заказ или выпускаем размеры, кратные 1/2.

По такому же принципу сформирован язык. Мы придумали одно слово и обозначаем им много объектов. То есть перед нами стояла задача обозначить все такие объекты, и мы придумали универсальное решение – называть их все «дерево». Для некоторых задач коммуникации такой точности не хватает, для таких случаев есть более точная модель: какие-то деревья мы называем соснами, какие-то березами. И они по-прежнему достаточно универсальны: мы называем тысячи конкретных объектов одним абстрактным словом «береза».

В старославянском языке было слово «колѣбати», от которого произошло русское «колыба́ть» – «качать, укачивать». Отсюда – колыбель.

Механические колебания (колебательное движение) – это движение тел, точно повторяющееся через одинаковые промежутки времени (см. рис. 3).

Рис. 3. Механические колебания

Широкое понятие колебательного процесса в физике

В широком же смысле колебания – это вообще любое изменение любой физической величины, которое повторяется через одинаковые промежутки времени.

Это могут быть колебания температуры, то есть температура как-то изменяется, и эти изменения повторяются. Например, суточные колебания: днем теплее, ночью холоднее. Пусть эти изменения не повторяются с точностью до градуса, но в целом о закономерности можно говорить. Или говорят о годовых колебаниях температуры.

Можно рассмотреть годовые колебания уровня воды в реке: весной во время паводка уровень повышается, летом во время засухи понижается, осенью и зимой свои закономерности, и через год все плюс-минус повторяется.

Мы подробно будем говорить об электромагнитных колебаниях. Это повторяющиеся изменения электрических величин – силы тока, напряжения, энергии электрического и магнитного поля.

Под определение колебаний подходит и движение грудной клетки при дыхании, и движение штанги, которую мы поднимаем в тренажерном зале. Последнее движение явно отличается от колебаний качели – ее мы толкнули, и она качается, а штангу мы все время двигаем сами. Что ж, мы сами придумали определение, и потом нам может показаться странным, что под него попадает.

Сделаем уточнение и разделим колебания на вынужденные, которые совершаются под действием внешней силы, например движение штанги, и свободные, при которых систему достаточно вывести из равновесия и предоставить саму себе, чтобы возникли колебания. Более подробно мы рассмотрим именно свободные колебания. Возможен и комбинированный вариант: качели совершают свободные колебания, но мы их еще подталкиваем, как при вынужденных.

До этого мы использовали модель материальной точки и исследовали ее движение. И сегодня мы займемся описанием колебательного движения именно материальной точки. В такой модели не важно, качели ты толкаешь, или грузик, висящий на нити, или ароматизатор-елочку в автомобиле – модель опишет все такие процессы.

В реальном мире не бывает так, чтобы качели качнули один раз, пришли через год, а они все еще качаются. Любое колебание постепенно прекращается, затухает. Но на коротком промежутке времени, если рассмотреть 2–3 колебания, они будут с достаточной точностью повторяться, чтобы использовать идеальную модель: колебания повторяются с абсолютной точностью на протяжении бесконечного времени.

Опишем эту модель математически с помощью готовых инструментов. Для описания движения есть понятия координаты, скорости, ускорения. Положение точки можно задать с помощью координаты. Движение точки характеризуется скоростью, и при колебаниях скорость меняется: в крайних точках она нулевая, затем скорость по модулю увеличивается и уменьшается (см. рис. 4).

Рис. 4. Описание модели колебательной системы

Как описать повторяющийся процесс? Применим инструменты, которые мы уже применяли для равномерного движения по окружности – понятия частоты и периода (см. рис. 5).

Рис. 5. Частота и период колебаний

Период колебаний – это минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения. Тело возвращается в то же состояние, что и в начале интервала (под состоянием подразумевается координата, скорость и ускорение). В случае с вращением за время тело совершало полный оборот, а в случае с колебаниями – одно полное колебание (см. рис. 6).

Рис. 6. Период колебаний

Частота колебаний – это количество полных колебаний за единицу времени. Частота обратна периоду:

При колебаниях тело отклоняется то в одну, то в другую сторону от некоторого центрального положения. Удобно ввести величину этого отклонения.

Амплитуда колебаний – это максимальное отклонение (по модулю) координаты тела от положения его равновесия. На рисунке вы видите примеры колебаний, где отмечена их амплитуда (см. рис. 7).

Рис. 7. Амплитуда колебаний

По аналогии с обычной амплитудой можно ввести понятия амплитуды скорости и амплитуды ускорения – это максимальные значения скорости и ускорения колеблющегося тела. Определим закономерность, по которой изменяется координата со временем. Если мы будем знать эту закономерность, то сможем предсказывать, где в какой момент времени будет тело, а это и есть решение главной задачи механики.

Подвесим на нити в качестве груза емкость с песком, из которой песок тонкой струйкой высыпается. Получившийся маятник оставим колебаться над лентой, которую будем двигать с постоянной скоростью (см. рис. 8).

Рис. 8. Зависимость координаты от времени

Тогда каждый участок ленты будет соответствовать моменту времени, в который он находился под маятником, а след песка покажет, где в этот момент находился маятник. Таким образом, полученный рисунок из песка покажет зависимость координаты от времени . Получившаяся зависимость очень похожа по форме на график синуса. Такой же результат получим, если повторим эксперимент с пружинным маятником, прикрепив к нему такую же емкость с песком или чернильный самописец (см. рис. 9).

Рис. 9. Исследование зависимости координаты от времени с помощью пружинного маятника

Можем смело использовать синусоиду для описания свободных колебаний.

Какие колебания описываются синусоидой?

Перечислим условие, при котором решением задачи о колебаниях будет синусоидальная зависимость .

Мы уже определились: чтобы колебания вообще возникли, при смещении точки (а мы описываем модель материальной точки) из состояния равновесия должна возникать сила, которая направлена на то, чтобы вернуть точку в состояние равновесия. Под действием этой силы и происходят колебания.

Здесь уточним: эта сила должна быть пропорциональной смещению точки. Такие колебания называются гармоническими. Это условие придумали поскольку большинство реальных колебаний удовлетворяют этому условию. В пружинном маятнике, по закону Гука, сила упругости пропорциональна смещению, в нитяном маятнике эта составляющая силы тяжести пропорциональна углу отклонения (см. рис. 10).

Рис. 10. Зависимость силы тяжести от угла отклонения маятника

Даже вода в ванной: возвращающая сила определяется разностью давлений столбов воды с двух сторон, эта разность давления равна , а – это и есть смещение (см. рис. 11).

Рис. 11. Разность давлений воды в ванной

Так вот, когда уравнение имеет вид:

Или

Ускорение – это скорость изменения скорости , а – это скорость изменения координаты , так что связь есть, и уравнение можно решить. У нас пока не хватает математических инструментов, чтобы его решить, поэтому возьмем готовое решение:

И оно совпадает с тем, что мы видели в эксперименте: зависимость синусоидальная.