Пружинный маятник вывели из состояния равновесия на 5 см и отпустили (см. рис. 4).

Рис. 4. Пружинный маятник

Он совершает свободные колебания, 5 колебаний за 10 секунд. Найдите потенциальную энергию пружины через 0,7 секунд после начала движения. Жесткость пружины равна 3 Н/м.

Проанализируем условие

В задаче описаны колебания пружинного маятника. Ничего не сказано о затухании на протяжении 10 секунд, за 0,7 секунд их тем более можно считать незатухающими.

Речь идет о потенциальной энергии сжатой пружины, она равна:

то есть определяется положением маятника.

Переходим к физической части решения.

Свободные гармонические колебания описываются уравнением:

Или

В нашем случае удобно описать движение функцией косинус. У нас отсчет времени ведется с того момента, как маятник отпустили из положения максимального отклонения, и график косинуса начинается в точке, соответствующей крайнему положению, так что начальная фаза равна нулю (см. рис. 5).

Рис. 5. График движения точки

Амплитуда задана в условии, 5 см, а циклическая частота равна:

Период, по определению, время одного полного колебания. Если за совершается колебаний, то время одного колебания равно:

обозначили так, потому что – это какой угодно момент времени, в который мы находим координату , а – конкретные 10 секунд, на протяжении которых мы наблюдаем за маятником.

Получили уравнения движения маятника, по которому можно найти его положение в интересующий нас момент времени . А по положению можно определить потенциальную энергию.

Проделаем всё это в математической части решения.

Подставим всё, что нам было неизвестно, в уравнение :

Подставив вместо интересующий нас момент времени , найдем координату в этот момент . В СИ:

Обратите внимание: значение фазы 2,198 получилось в радианах – мы подставляли один полный цикл в радианах. Обратите внимание, если считаете косинус на калькуляторе. Получается:

Знак минус означает, что отклонение составляет 3 см в направлении, противоположном начальному отклонению (рисунок): для расчета энергии это не важно, тем более там возводится в квадрат.

Задача решена.