Введение
Сегодня мы потренируемся в решении задач по теме «Механические колебания и волны». Мы решим несколько задач, в которых описаны колебания, сохранение энергии при колебаниях, распространение волн в разных средах и применение их в эхолокации. При решении задач мы будем придерживаться нашей стандартной схемы решения, которую мы применяем к задачам курса физики:
- Проанализировать условие. Определить, какие процессы происходят.
- Определить закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записать эти закономерности в виде уравнений. Посмотреть на величины, входящие в эти формулы: определить, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости перевести величины в СИ.
- Математическая часть: решаем полученную систему уравнений. Получаем ответ, подставив численные значения переменных.
Задача 1.
Точка совершает колебания (см. рис. 1).
Рис. 1. График x(t)
Найти период, амплитуду, частоту колебаний, а также путь, который пройдет точка за 3/4 периода.
Анализ условия
В условии прямо сказано, какой процесс описан, есть график. График 
показывает, где в какой момент времени находится колеблющаяся точка, то есть по графику можно проследить, как она двигалась.
Физическая часть решения
Период колебаний – это, по определению, время, за которое точка совершает одно полное колебание. Смотрим: точка в начальный момент времени была в координате 0, затем двигалась вдоль оси х, пока не остановилась и не начала двигаться в обратном направлении, мимо положения равновесия и дальше, пока снова не остановилась (см. рис. 2).
Рис. 2. Движение точки
Затем она вернулась в точку 
, и дальше движение повторяется. Период по графику равен 
.
Частота связана с периодом простым соотношением:
Получим:
Вычисления простые, поэтому опустим математическую часть решения.
Амплитуда – это, по определению, максимальное расстояние, на которое точка отклоняется от положения равновесия. По рисунку 1 и 2 видно, что точки, наиболее отдаленные от 
, – это 
и 
. Обе они находятся на расстоянии 0,03 м (или 3 см) от положения равновесия, это и есть амплитуда.
Определим путь, пройденный точкой за 3/4 периода. Период мы определили, 3/4 – это 6 секунд. За это время точка прошла из положения равновесия до крайнего положения и обратно (это дважды по 3 см) и до второго крайнего положения (это еще 3 см). Всего 9 см.
Задача 2
Гитарная струна колеблется с частотой 261,6 Гц (нота «до» первой октавы). Колебания на протяжении 2 с считайте незатухающими. За это время одна из точек струны прошла путь 75 см. Определите амплитуду колебаний.
Анализ условия
К описанному в задаче движению точки будем применять модель незатухающих колебаний. Сказано о пути, который прошла точка за некоторое время. Найдем путь за одно полное колебание (см. рис. 3).
Рис. 3. Пройденный путь за одно колебание
Путь за один период, пусть это будет 
, равен четырем амплитудам:
Физическая часть решения
По определению частота – это количество полных колебаний за единицу времени. Запишем:
Точка за 
совершила 
колебаний. Если за одно колебание она проходит путь , его мы записали, то за 2 с путь равен:
Математическая часть решения
Подставим из первого уравнения в третье:
Выразим из второго уравнения и подставим сюда же:
Все члены уравнения известны, можем найти амплитуду:
Вычислим, переведя заданные значения в СИ:
или 0,36 мм
Амплитуда колебаний чуть больше трети миллиметра – вполне правдоподобно для гитарной струны.
Задача 3
Пружинный маятник вывели из состояния равновесия на 5 см и отпустили (см. рис. 4).
Рис. 4. Пружинный маятник
Он совершает свободные колебания, 5 колебаний за 10 секунд. Найдите потенциальную энергию пружины через 0,7 секунд после начала движения. Жесткость пружины равна 3 Н/м.
Проанализируем условие
В задаче описаны колебания пружинного маятника. Ничего не сказано о затухании на протяжении 10 секунд, за 0,7 секунд их тем более можно считать незатухающими.
Речь идет о потенциальной энергии сжатой пружины, она равна:
то есть определяется положением маятника.
Переходим к физической части решения.
Свободные гармонические колебания описываются уравнением:
Или
В нашем случае удобно описать движение функцией косинус. У нас отсчет времени ведется с того момента, как маятник отпустили из положения максимального отклонения, и график косинуса начинается в точке, соответствующей крайнему положению, так что начальная фаза равна нулю (см. рис. 5).
Рис. 5. График движения точки
Амплитуда задана в условии, 5 см, а циклическая частота равна:
Период, по определению, время одного полного колебания. Если за 
совершается 
колебаний, то время одного колебания равно:
обозначили так, потому что 
– это какой угодно момент времени, в который мы находим координату 
, а – конкретные 10 секунд, на протяжении которых мы наблюдаем за маятником.
Получили уравнения движения маятника, по которому можно найти его положение в интересующий нас момент времени 
. А по положению можно определить потенциальную энергию.
Проделаем всё это в математической части решения.
Подставим всё, что нам было неизвестно, в уравнение :
Подставив вместо интересующий нас момент времени 
, найдем координату в этот момент 
. В СИ:
Обратите внимание: значение фазы 2,198 получилось в радианах – мы подставляли один полный цикл 
в радианах. Обратите внимание, если считаете косинус на калькуляторе. Получается:
Знак минус означает, что отклонение составляет 3 см в направлении, противоположном начальному отклонению (рисунок): для расчета энергии это не важно, тем более там 
возводится в квадрат.
Задача решена.
Задача 4
Нитяной маятник с длиной нити 0,75 м совершает колебания. Найдите амплитуду угла отклонения, если максимальная скорость груза 1 м/с (см. рис. 6).
Рис. 6. Задача 4
Проанализируем условие
Описаны колебания маятника, вероятнее всего, подразумеваются свободные колебания, другого не сказано. Какими закономерностями и уравнениями удобнее описать этот процесс? Мы мало можем сказать именно о протекании колебаний со временем, ничего не сказано о временных характеристиках. Зато четко видно два состояния маятника: когда его скорость максимальна – положение в центре и когда отклонение максимально. Переход из одного состояния в другое, когда нам не интересен сам процесс, удобно описать с помощью закона сохранения энергии – будем его применять.
Физическая часть решения
У нас свободные колебания, потерь энергии не подразумевается, поэтому применим закон сохранения полной механической энергии.
В первом положении кинетическая энергия грузика равна 
. Потенциальную энергию будем отсчитывать относительно нулевого уровня (см. рис. 7).
Рис. 7. Положения, в которых рассматривается энергия
Тогда 
Во втором положении кинетическая энергия равна нулю, потому что в точке максимального отклонения груз останавливается. Потенциальная энергия груза на высоте 
над нулевым уровнем равна: 
.
Запишем:
Мы связали максимальную скорость груза с его максимальной высотой, но нас интересует максимальный угол отклонения. Придется вспомнить геометрию, физика на этом закончилась.
Обратите внимание на прямоугольный треугольник (см. рис. 8).
Рис. 8. Математическая часть решения
В нем гипотенуза – это длина нити 
, а катет – длина нити минус высота 
. Свяжем их с углом через выражение для его косинуса – прилежащий катет, деленный на гипотенузу:
Математическая часть решения задачи 4
Выразим из первого уравнения высоту :
(масса груза 
у нас сократилась)
Подставим ее во второе уравнение:
Можем избавиться от двухэтажной дроби, выполнив деление всего числителя на
А зная косинус, можно найти и сам угол:
Подставим значения в СИ и вычислим:
Получили ответ 21 градус, задача решена.
Задача 5
Поплавок колеблется на волнах по закону 
. На рисунке изображена фотография волны. Найдите скорость волны (см. рис. 9).
Рис. 9. Задача 5
Анализ условия
Выражение для скорости волны можно получить, проследив, что за время 
, равное периоду колебаний, волна проходит расстояние, равное длине волны:
Можно пользоваться этой формулой в готовом виде.Уравнение описывает колебания, в нем нет информации именно о распространении волны, но можно извлечь информацию о частоте.
То есть коэффициент при , для нашего поплавка это 
– это циклическая частота 
, которая равна 
:
По фотографии можно определить длину волны – это расстояние между соседними точками, которые колеблются в одинаковых фазах. Фазу точки, в которой находится поплавок, на глаз определить сложно, удобнее взять гребни волны, или точки, отмеченные красным (см. рис. 10).
Рис. 10. Фаза точки
Отсюда: 0,1 м и 1,3 м. Расстояние между ними 1,2 м, это и есть 
.
Пока мы анализировали условие, заодно нашли всё, что нам нужно, – проделали физическую часть решения задачи. Остались вычисления. Выразим частоту:
Вычислим скорость волны:
Задача решена.
Задача 6
Два человека стоят возле стальных рельсов на некотором расстоянии . Один человек ударил молотком по рельсу, второй услышал звук удара два раза с интервалом 1 с. Найдите расстояние . Скорость звука в стали считайте равной 5100 м/с (см. рис. 11).
Рис. 11. Задача 6
У нас звук распространяется по воздуху, что естественно, и по рельсу – дана скорость звука в стали. Скорость звука в воздухе можем принять равной 340 м/с. Скорость звука в стали больше, чем в воздухе, поэтому по рельсу звук достигнет слушателя раньше – отсюда два удара. Считаем, что звук распространяется с постоянной скоростью, поэтому можно применять уравнения кинематики для равномерного прямолинейного движения.
Физическая часть решения
Скорость при равномерном прямолинейном движении, по определению, равна:
Звук в рельсе проходит путь между людьми за время 
со скоростью звука в стали 
, запишем:
Звук по воздуху со скоростью 
проходит этот же путь за время 
.
По рельсу звук достигает слушателя раньше, то есть на 
меньше, запишем это:
Решим полученную систему уравнений в ответвлении.
Математическая часть решения задачи 6
Выразим из первого и второго уравнений и :
Подставим их в третье уравнение:
Выразим отсюда .
Вычислим:
Задача решена.
Задача 7
Летучая мышь ориентируется в пространстве с помощью эхолокации – она испускает короткие ультразвуковые импульсы и обнаруживает препятствия по отраженной волне. Какой минимальный интервал должен быть между испусканием импульсов, чтобы максимальная дальность обнаружения была равна 20 м? Оцените минимальный размер препятствия, который может быть различим, если частота ультразвукового импульса равна 70 кГц? Предел разрешения считайте сопоставимым длиной волны.
Анализ условия
Принцип эхолокации состоит в том, что от мыши звуковая волна распространяется с известной скоростью (ультразвук распространяется со скоростью звука), отражается от препятствия и с той же скоростью снова проходит расстояние 
между стеной и мышью, только в обратном направлении (см. рис. 12).
Рис. 12. Эхолокация
Это занимает время 
между испусканием импульса и приемом отклика. За это время звук проходит путь 
. Запишем:
Это мы уже попутно занялись физической частью решения.
Следующий импульс нельзя посылать, не дождавшись отклика от самого дальнего препятствия. Поэтому вычислим, через какое время придет отклик от препятствия на расстоянии 20 м – это и будет минимально допустимым интервалом между импульсами.
Выразим :
Ответим на второй вопрос задачи, нам, по сути, нужно найти длину данной волны. Длина волны связана с частотой через скорость распространения волны (скорость звука), у нас есть для этого готовая формула:
Частота задана, найдем длину волны:
Минимальный различимый размер препятствия оказался равным нескольким миллиметрам. Это грубое приближение, но примерно понятно, что точность ультразвуковой эхолокации достаточно высока.
Список литературы
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е изд., передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
- Перышкин А.В., Гутник Е.М., Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
- Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
- Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
Домашнее задание
- Пружинный маятник совершил за 4 секунды 16 полных колебаний. Определите период и частоту колебаний этого маятника.
- Длина океанической волны составляет 270 метров, период составляет 13,5 секунды. Определите скорость распространения волн.
