Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 1000 км от поверхности Земли. С какой скоростью движется спутник? За какое время спутник совершит один полный оборот вокруг Земли?

Анализ условия

В задаче описано движение спутника по круговой орбите (а значит, движение с центростремительным ускорением) под действием одной силы – силы притяжения к Земле. Будем использовать второй закон Ньютона, а силу гравитационного взаимодействия с Землей найдем по закону всемирного тяготения, массу и радиус Земли можно узнать из справочника (см. рис. 4).

Рис. 4. Задача 4

Физическая часть решения задачи

Запишем по второму закону Ньютона, как связана сила, действующая на спутник со стороны Земли, с его ускорением. С направлениями нам все понятно, они нас и не интересуют, запишем сразу по модулю:

Центростремительное ускорение мы умеем находить, оно равно:

Сила гравитационного притяжения, по закону всемирного тяготения, равна:

где m и M – массы спутника и Земли соответственно.

Так как спутник находится на некоторой высоте h над поверхностью Земли, расстояние от него до центра Земли:

где R – радиус Земли.

Условие задачи требует найти время полного оборота спутника вокруг Земли, то есть период вращения. Запишем, как связан период со скоростью спутника. Спутник за время T проходит путь, равный длине орбиты, или . Значит, скорость, по определению, равна:

Получили систему уравнений, математическая часть решения – в ответвлении.

Математическая часть решения задачи 4

Перепишем уравнения для силы притяжения и для ускорения с учетом, что :

Подставим значение ускорения из второго уравнения и гравитационной силы из третьего в формулу для второго закона Ньютона (первое уравнение).

Разделим обе части на массу спутника и умножим на :

Выразим скорость спутника:

Уже по этой формуле можно найти скорость. Теперь из четвертого уравнения системы выразим период:

Проверим единицы измерения и найдем значения искомых величин:

Ответ: спутник движется со скоростью 7,4 км/с; один полный оборот вокруг Земли спутник совершит за 1,7 ч.