Классы
Предметы

Динамика. Практика

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 150 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Динамика. Практика

На данном уроке мы решим несколько задач, в которых описано взаимодействие тел, движение тел под действием разных сил, и потренируемся применять законы сохранения импульса и энергии.

Введение

При решении задач мы будем придерживаться нашей стандартной схемы решения, которую мы применяем к задачам курса физики.

  1. Проанализировать условие. Определить, какие процессы происходят.
  2. Определить закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записать эти закономерности в виде уравнений. Посмотреть на величины, входящие в эти формулы: определить, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости перевести величины в СИ.
  3. Математическая часть: решаем полученную систему уравнений. Получаем ответ, подставив численные значения переменных.

Задача 1

На столе в равномерно и прямолинейно движущемся поезде стоит легкий игрушечный автомобиль. При торможении поезда автомобиль без какого-либо внешнего воздействия покатился вперед. Выполняется ли закон инерции:

а) в системе отсчета, связанной с поездом во время его прямолинейного равномерного движения? Во время торможения?

б) в системе отсчета, связанной с Землей?

Анализ условия. Описан игрушечный автомобиль, который находится на столе поезда. В вопросе говорится о законе инерции – что это значит? Речь идет о том, что в отсутствии воздействия (или если оно компенсировано) тело сохраняет свою скорость, а сохранение скорости – это инерция. В первом законе Ньютона описывается эта закономерность и уточняется, что она справедлива для инерциальных систем отсчета. Так что для решения задачи нам нужно с применением первого закона Ньютона рассмотреть движение автомобиля в разных системах отсчета.

Физическая часть решения

а) Закон инерции выполняется в системе отсчета, связанной с поездом во время его прямолинейного движения: игрушечный автомобиль покоится относительно поезда, так как его притяжение к Земле компенсируется действием со стороны стола (реакцией опоры).

Торможение – это движение с ускорением, и поезд при торможении уже не является инерциальной системой отсчета, в ней закон инерции выполняться не должен. Проследим за автомобилем: так и есть, земное притяжение и реакция опоры те же, а автомобиль вдруг сам начал двигаться по ходу движения поезда (см. рис. 1).

Рис. 1. Движение игрушечного автомобиля (гифка)

б) В системе отсчета, связанной с Землей, закон инерции выполняется в обоих случаях. При равномерном движении поезда игрушечный автомобиль движется относительно Земли с постоянной скоростью (скоростью поезда), действия Земли и стола на него скомпенсированы. При торможении поезда автомобиль по инерции сохраняет свою скорость относительно Земли неизменной, здесь тоже выполняется закон инерции, а относительно поезда он катится вперед.

Задача 2

Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы . Известно, что в первую секунду после начала движения тело прошло расстояние . Определить силу , если масса тела .

Анализ условия. В задаче описано прямолинейное движение под действием постоянной силы. По второму закону Ньютона ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе. Это значит, что постоянная сила создает постоянное ускорение – движение равноускоренное прямолинейное.

Физическая часть решения задачи

Запишем второй закон Ньютона:

В условии говорится о пройденном расстоянии, имеется в виду перемещение – расстояние от начальной точки движения до конечной. Перемещение при равноускоренном движении равно:

Начальная скорость тела . Сила, ускорение, перемещение – все направлено вдоль одной оси, в проекции на нее уравнения примут вид:

 

 

На этом физика закончилась, получили систему из двух уравнений, осталось ее решить – математическая часть решения (см. рис. 2).

Рис. 2. Задача 2

Выразим из второго уравнения ускорение:

Подставим в первое и определим силу:

Убедимся, что в ответе получатся Ньютоны:

Вычислим:

Задача решена.

Задача 3

Самолет выполняет «мертвую петлю», описывая в вертикальной плоскости окружность радиуса 250 м. Во сколько раз вес летчика в нижней части траектории больше, чем сила тяжести, если скорость самолета равна 100 м/с?

Анализ условия

В задаче описано движение летчика по окружности (вместе с самолетом), а это движение с центростремительным ускорением. На него действует сила тяжести и силы реакции опоры, ее модуль по третьему закону Ньютона равен весу летчика. Силы создают ускорение – будем применять второй закон Ньютона.

Физическая часть решения задачи

Изобразим на рисунке силы, которые действуют на летчика, и направление его ускорения. Выберем систему координат: нам достаточно одной оси, направим ее вертикально вверх (см. рис. 3).

Рис. 3. Силы, действующие на летчика во время выполнения мертвой петли

По второму закону Ньютона для летчика:

В проекции на ось OY:

По третьему закону Ньютона:

Центростремительное ускорение при движении по окружности равно:

Получили систему уравнений, которую осталось решить.


 

Математическая часть решения задачи 3

Выразим из первого уравнения силу реакции опоры:

Она по модулю равна весу:

Подставим центростремительное ускорение:

Найдем отношение веса к силе тяжести mg:

Мы ищем отношение сил, во сколько раз одна больше другой. Это безразмерная величина, проверим, получается ли это, так:

Вычислим отношение:

Задача решена, вес летчика больше силы тяжести в 5 раз: это еще называют пятикратной перегрузкой.


Задача 4

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 1000 км от поверхности Земли. С какой скоростью движется спутник? За какое время спутник совершит один полный оборот вокруг Земли?

Анализ условия

В задаче описано движение спутника по круговой орбите (а значит, движение с центростремительным ускорением) под действием одной силы – силы притяжения к Земле. Будем использовать второй закон Ньютона, а силу гравитационного взаимодействия с Землей найдем по закону всемирного тяготения, массу и радиус Земли можно узнать из справочника (см. рис. 4).

Рис. 4. Задача 4

Физическая часть решения задачи

Запишем по второму закону Ньютона, как связана сила, действующая на спутник со стороны Земли, с его ускорением. С направлениями нам все понятно, они нас и не интересуют, запишем сразу по модулю:

Центростремительное ускорение мы умеем находить, оно равно:

Сила гравитационного притяжения, по закону всемирного тяготения, равна:

где m и M – массы спутника и Земли соответственно.

Так как спутник находится на некоторой высоте h над поверхностью Земли, расстояние от него до центра Земли:

где R – радиус Земли.

Условие задачи требует найти время полного оборота спутника вокруг Земли, то есть период вращения. Запишем, как связан период со скоростью спутника. Спутник за время T проходит путь, равный длине орбиты,  или . Значит, скорость, по определению, равна:

Получили систему уравнений, математическая часть решения – в ответвлении.


 

Математическая часть решения задачи 4

Перепишем уравнения для силы притяжения и для ускорения с учетом, что :

Подставим значение ускорения из второго уравнения и гравитационной силы из третьего в формулу для второго закона Ньютона (первое уравнение).

Разделим обе части на массу спутника  и умножим на :

Выразим скорость спутника:

Уже по этой формуле можно найти скорость. Теперь из четвертого уравнения системы выразим период:

Проверим единицы измерения и найдем значения искомых величин:

Ответ: спутник движется со скоростью 7,4 км/с; один полный оборот вокруг Земли спутник совершит за 1,8 ч.


Задача 5

Найдите минимальную скорость, которую следует придать подвешенному на нитке шарику, при котором он сможет осуществить полный оборот в вертикальной плоскости. Длина нитки равна 0,5 м; сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Анализ условия

На нити подвешен шарик. Если его несильно толкнуть, придать ему небольшую скорость, он отклонится на какую-то высоту и будет двигаться обратно. Если придавать все большую скорость, он будет отклоняться все больше. Если шарик достигнет крайнего верхнего положения и его скорость в этот момент будет равна нулю, то он из этого положения упадет вниз под действием силы тяжести, которая сообщает ему ускорение свободного падения. Запишем по второму закону Ньютона:

Значит нужно, чтобы скорость шарика была еще больше, чтобы он в верхней точке продолжал двигаться по окружности с центростремительным ускорением , которое сообщает ему сила тяжести. Длина нитки – здесь это радиус окружности. Вот тогда шарик совершит оборот (см. рис. 5).

Рис. 5. Задача 5

Если скорость будет больше, большее центростремительное ускорение будут создавать сила тяжести и сила натяжения нити, то есть нить будет натянута. Нас, по условию задачи, интересует минимальная скорость, поэтому рассматриваем случай, когда нить еще не натянута и шарик движется только под действием силы тяжести.

В физической части решения задачи осталось связать начальную скорость шарика с его скоростью в верхней точке. Скорости тела  на разных высотах  удобно связать, применив закон сохранения энергии. Сила тяжести консервативная, сила натяжения нити работу не выполняет, т. к. направлена всегда перпендикулярно скорости, а трением воздуха по условию пренебрегаем, значит, можно применять закон сохранения механической энергии.

За нулевой уровень выберем самое низкое положение шарика.

В нижнем положении потенциальная энергия шарика равна нулю , а кинетическая .

В верхней точке на высоте, равной диаметру окружности или двум длинам нити, потенциальная энергия равна , а кинетическая – , где  – та самая скорость в верхней точке.

Получили систему уравнений, которую остается решить.

Математическая часть решения

Подставим центростремительное ускорение в первое уравнение:

Подставим квадрат скорости в верхней точке в третье уравнение системы, но перед этим для удобства умножим обе его части на 2:

И разделим на :

Следовательно,

Проверим единицы, найдем значения искомой величины:

Задача решена.

Задача 6

Два шарика массами 300 и 200 г, которые двигаются со скоростями 4 и 2 м/с соответственно, сталкиваются центрально абсолютно неупруго. Определите, сколько кинетической энергии шариков преобразуется во внутреннюю, если шарики двигаются друг за другом.

Анализ условия

В задаче описано столкновение шариков, они взаимодействуют только друг с другом – к такому процессу удобно применить закон сохранения импульса (см. рис. 6).

Рис. 6. Задача 6

Столкновение неупругое – о чем нам это говорит? При столкновении шариков не возникает силы упругости, которая бы растолкнула их, то есть они продолжат движение как одно целое, как бы «слипшись». Сила неупругой деформации – это неконсервативная сила, поэтому полная механическая энергия не сохраняется, нам как раз по условию нужно найти, какая энергия преобразуется во внутреннюю.

Физическая часть решения задачи

Шарики движутся горизонтально, изменения потенциальной энергии не происходит, запишем суммарную кинетическую энергию системы двух шариков до столкновения:

И после столкновения:

т. к. шарики двигаются вместе со скоростью .

Уменьшение кинетической энергии  – это и будет та энергия, перешедшая во внутреннюю, которую нам надо будет найти.

Применим закон сохранения импульса:

Ось ОХ направим вдоль движения шариков, они по условию задачи движутся в одном направлении. В проекции на ось ОХ запишем:

Получили систему уравнений, из которой осталось найти разность . Сделаем это в ответвлении.


 

Математическая часть решения задачи 6

Из второго уравнения найдем скорость после столкновения, все остальные величины в нем известны:

Подставим в уравнение для кинетической энергии после столкновения:

В уравнении для кинетической энергии до столкновения все известно. Можем найти их разность, но сначала проверим их единицы измерения:

И теперь найдем изменение общей кинетической энергии системы:

Ответ: во внутреннюю энергию преобразуется 0,24 Дж.


Задача 7

Два шарика одинаковой массы, которые двигаются со скоростями 4 и 2 м/с соответственно, сталкиваются центрально упруго. Определите скорости шариков после столкновения, если они двигаются навстречу друг другу.

Анализ условия

В задаче снова описано столкновение шариков, они также взаимодействуют только друг с другом – будем применять закон сохранения импульса.

Столкновение упругое – что это значит? При столкновении шариков возникнет сила упругости, которая растолкнет шарики, и они после столкновения будут двигаться раздельно с разными скоростями. Сила упругости – это консервативная сила, а к системе, где действуют только консервативные силы, можно применить закон сохранения полной механической энергии.

Физическая часть решения задачи

Выполним рисунок к задаче, шарики двигались навстречу друг другу, а потом разлетелись. Ось ОХ направим вдоль движения шариков (см. рис. 7).

Рис. 7. Задача 7

Применим закон сохранения импульса:

Запишем в проекциях на ось ОХ:

Применим закон сохранения кинетической энергии:


 

Математическая часть решения задачи 7

Учтем, что по условию , и после сокращения получим систему уравнений:

Перенесем скорости первого шарика в левую часть, а второго – в правую:

Во втором уравнении разность квадратов разложим на множители:

Поделим второе уравнение системы на первое и получим (первое уравнение просто перепишем):

Решим полученную систему методом сложения и найдем скорости шариков после столкновения:

Как видим, во время упругого центрального столкновения шарики одинаковой массы обменяются скоростями.

Ответ: .


Задача 8

Компоненты топлива в двигатель ракеты подаются со скоростью 200 м/с, а горючий газ выходит из сопла со скоростью 500 м/с. Массовый расход топлива двигателем 30 кг/с. Определите реактивную силу.

Анализ условия

В задаче описано реактивное движение ракеты. Это движение можно описать, применяя закон сохранения импульса. Если рассматривать движение на протяжении длительного времени, то масса ракеты будет уменьшаться, и это надо учитывать в уравнении. Но у нас описано только движение топлива и горючих газов. Опишем изменение импульса топлива под действием силы взаимодействия топлива и ракеты. По третьему закону Ньютона, эта сила как раз равна по модулю реактивной силе, с которой газы действуют на ракету и которую мы ищем (см. рис. 8).

Рис. 8. Задача 8

Физическая часть решения задачи

За некоторое время  израсходуется масса топлива . Изменение его импульса равно:

Как мы уже сказали, по модулю сила , подействовавшая на горючий газ, вырывающий из сопла ракеты, по модулю равна реактивной силе .

Из этого простого уравнения можно получить силу , сделаем это:

 – это заданная в условии скорость подачи топлива.

Проверим единицы, найдем значения искомой величины:

Задача решена.

 

Список литературы

  1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е изд., передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
  2. Перышкин А.В., Гутник Е.М., Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Мальчик массой 50 кг качается на качелях с длиной подвеса 4 м. С какой силой он давит на сиденье при прохождении положения равновесия со скоростью 6 м/с?
  2. Под каким углом к горизонту нужно бросить камень, чтобы в верхней точке траектории кинетическая энергия камня была в три раза больше его потенциальной энергии?
  3. В покоящийся шар массой 1 кг, подвешенный на стержне, попадает пуля массой 0,01 кг, летящая под углом 45° к стержню, и застревает в нем. После удара пуля с шаром откачнулись на высоту 0,02 м. Найти скорость пули.