Введение
Как определить, вареное яйцо или сырое? Можно положить его на стол и раскрутить. Вареное яйцо будет хорошо вращаться, а сырое быстро остановится. Почему так происходит?
Если использовать модель материальной точки, то ответить на этот вопрос нельзя. Точно так же, как нельзя описать с помощью этой модели движение ракеты. В разных случаях нужны разные модели.
Модель, в которой мы описываем только движение тела и отвечаем на вопрос «как?», относится к кинематике. Раздел механики, в рамках которого мы изучаем причины возникновения механического движения, назвали динамикой. В этой модели мы задаем вопрос «почему?» касательно движения.
Инертность тела
Итак, тела взаимодействуют и, как следствие, их скорости меняются. Вообще взаимодействуют два тела, но мы выбираем то из них, которое нас интересует, и рассматриваем действие на него второго тела.
Не у всех тел можно одинаково легко изменить скорость. Попробуйте увеличить скорость пустой тележки в супермаркете и тележки с продуктами: есть разница, разогнать тележку с продуктами труднее (см. рис. 1).
Рис. 1. Инертность тела
То же касается не только увеличения, но и любого изменения скорости: мы ожидаем, что и остановить, и изменить направление скорости на повороте будет тяжелее для полной тележки. Это свойство тел назвали инертностью, а меру инертности назвали массой. Это уже физическая величина, с помощью которой удобно сравнивать тела. Теперь мы можем сказать, во сколько раз одна тележка более инертна, измерив массы обеих.
Взаимодействие тоже бывает разным: можно толкнуть слабо, а можно – сильно. Чтобы была возможность сравнивать воздействия, нужно выбрать меру. Величину, показывающую, насколько сильно действуют на тело, назвали силой, и это главный инструмент динамики.
Действуют ли на тело силы?
Физики часто говорят: на тело действует сила. Сила – это векторная физическая величина, мера воздействия. То есть на тело действует не сила, а другое тело. Сила – это число, оно не действует, а показывает меру того, как действует одно тело на другое.
Можно привести такую аналогию: если мы на катке столкнулись с другим конькобежцем, то некорректно говорить, что мы столкнулись с его скоростью или массой. Хотя в скорости и массе можно измерить масштабы столкновения, но сталкиваемся мы с конькобежцем.
Однако в языке устоялось выражение «действует сила». Не всегда удобно говорить, что на тело «в результате гравитационного взаимодействия действует Земля», чаще говорят «действует сила тяжести», и мы должны понимать, что это значит.
Модели описания движения тела в динамике
Чем с большей силой действовать на тело, тем быстрее оно будет изменять скорость, то есть тем больше будет ускорение. При этом если с одинаковой силой действовать на тела разных масс, то большее ускорение будет у тела с меньшей массой.
Говоря о взаимодействии тел, нужно четко понимать, что мы понимаем под телом. Одно дело – вылить из стакана воду, другое дело – бросить этот же объем воды в пакете. В первом случае вряд ли можно говорить о воде как о теле, а во втором – вполне можно.
Материальную точку ввели как инструмент для рассмотрения тела как точки, имеющей массу. Это абстрактный инструмент, который, тем не менее, с достаточной точностью описывает множество случаев взаимодействия тел и позволяет решить множество задач. Считаем, что все тело – это одна точка, и тогда нам не нужно оговаривать, к какой части тела приложена сила: у нас всего одна точка, к ней силы и прикладываем. Только важно понимать, что у этой модели есть границы применимости и не во всех задачах тело можно описать с помощью этой модели.
В модели материальной точки мы не учитываем размеры и форму тела, поэтому нам не важно, куда именно приложена сила. Здесь все как в кинематике: тело, размерами и формой которого в данной задаче можно пренебречь, можно считать материальной точкой. Сравните, как мы толкаем санки и как мы двигаем шкаф. В случае с санками нам не важно, в какой точке мы их толкаем. В случае со шкафом важен его размер и точка приложения силы: толкнем слишком высоко – шкаф может опрокинуться.
Бывает, что вообще нельзя выбрать точку, в которой на тело действует сила. Попробуйте толкнуть лужу – ничего не получится. Как приложить силу к жидкости? Или вот лежит куча рыхлого снега: попробуйте ее поднять подъемным краном. Если не положить эту кучу в контейнер, то не получится. Силу нужно к чему-то прикладывать. Не подойдет модель тела и к жидкости внутри сырого яйца, о котором мы говорили в начале.
Сырое и вареное яйцо
К вареному яйцу мы приложили силу, и оно вращается как единое целое. То есть можно считать, что усилие, приложенное в любой точке, моментально передается всему яйцу.
Модель материальной точки для вареного яйца тоже не подойдет. Яйцо вращается вокруг некоторой оси, и разные его части движутся по-разному.
Поэтому заменить тело точкой и пренебречь различием в поведении его частей нельзя.
И вообще при рассмотрении вращения и при остальных задачах, где важна разница в движении разных частей тела, модель материальной точки не работает. Здесь нужно применить модель твердого тела и описать его вращение – мы этого делать не будем, но такие математические инструменты есть.
А вот сырое яйцо внутри жидкое, и, прикладывая силу к скорлупе, мы не прикладываем ту же силу к жидкому содержимому. Поэтому различие в поведении сырого и вареного яиц нас не должно удивлять. Эти различия можно рассчитать, используя соответствующие модели для описания этих процессов.
Разные примеры применения модели
Как мы выбираем, какую модель использовать для описания тела? Важно, что «вот это тело, если рассматривать вот такую задачу, можно описать этой моделью».
Можно ли применять к падающему с высоты литру воды модель материальной точки? Если это вода в бутылке, падающей поступательно, то можно применить. А если эта вода выливается струйкой, то нельзя – она разделится на капли, которые движутся по-разному и не одновременно.
Как рассматривать воду в цистерне автомобиля? На первый взгляд, модель та же, что и для воды в бутылке. Вода не растекается, движется с той же скоростью и ускорением, что и автомобиль, он должен приложить для ее разгона силу 
, все сходится. Но вода все же жидкая, при езде на кочках или на поворотах она может «болтаться» по цистерне и раскачивать ее, особенно если масса воды значительна по сравнению с массой автомобиля и цистерны. Если этим пренебречь не получается, то и моделью материальной точки обойтись не получится. Что-то похожее наблюдаем и в случае с вращением вареного и сырого яиц.
Первый закон Ньютона
Описываем движение и взаимодействие материальных точек.
Движение всегда происходит относительно чего-то, поэтому, когда мы говорим о движении, мы обязательно должны ввести систему отсчета. Если яблоко лежит на столе в движущемся поезде, его движение в своих системах отсчета по-разному опишут пассажир этого поезда, человек, стоящий на платформе, и человек, проезжающий мимо на автомобиле.
Нужно ли учитывать систему отсчета, когда мы говорим о взаимодействии тел и об изменении их скорости? Да. Представьте, что поезд стоял, а потом начал стремительно разгоняться. Все знают, что в таком случае яблоко может покатиться по столу (см. рис. 2).
Рис. 2. Инерция
Что произошло? На яблоко ничего не подействовало, просто поезд сначала покоился, а потом начал ехать с ускорением. То есть изменилось состояние системы отсчета (была покоящаяся, стала движущаяся ускоренно).
Английский физик Исаак Ньютон в свое время сформулировал три закона, которые лежат в основе динамики, и как раз первый касается систем отсчета:
Существуют такие системы отсчета (назовем их инерциальными), в которых тело движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя в том случае, если на тело не действуют силы или все силы, действующие на тело, скомпенсированы.
Если на тело не действуют силы или их действие скомпенсировано, результат один: скорость тела не меняется. Если тело покоится, оно продолжает покоиться, а если движется, то движется с неизменной скоростью (см. рис. 3).
Рис. 3. Выполнение первого закона Ньютона в инерциальной системе
Это неочевидный факт, что тело движется равномерно прямолинейно, если на него не действуют силы. В реальном мире мы не сталкиваемся с такими ситуациями, чтобы на тело не действовали никакие силы, поэтому нам это сложно представить. Что бы мы ни разогнали, если его не подталкивать, оно остановится. Может показаться, что для поддержания постоянной скорости как раз нужна сила.
На самом же деле тела останавливаются не сами по себе, а из-за действия сил. Автомобиль с заглушенным мотором, шайба, скользящая по льду, – их скорости уменьшаются под действием силы трения. А если завести мотор так, чтобы сила тяги уравновешивала силу трения, то автомобиль будет ехать с постоянной скоростью, как и описано в первом законе Ньютона.
Также в законе говорится, что все это происходит в неких инерциальных системах отсчета.
Инерциальная система отсчета (ИСО) – это придуманный нами инструмент, которого в природе не существует. На примере яблока в поезде мы увидели, как влияет ускорение системы отсчета на движение тел в ней.
Любая система отсчета движется с разным ускорением относительно разных тел – относительно чего ее рассматривать? Какой-то одной абсолютной системы отсчета тоже нет: даже Земля движется с ускорением вокруг Солнца, а Солнце – вокруг центра Галактики. Не к чему привязаться. А в первом законе Ньютона мы как раз придумываем такую идеальную систему отсчета, в которой выполняются некие закономерности, а уже реальные системы отсчета с той или иной степенью точности описываются этой идеальной моделью.
Система отсчета, связанная с Землей, достаточно точно описывается моделью инерциальной системы отсчета для большинства задач о движении тел на Земле. И все системы отсчета, которые покоятся или движутся равномерно прямолинейно относительно одной инерциальной системы отсчета, тоже являются инерциальными.
Об инерциальных системах отсчета
Инерциальной является любая система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно некой абсолютной инерциальной системы отсчета. Такой абсолют – это идеальная модель, в реальности таких систем отсчета не существует, но можно выбрать систему отсчета, которая с нужной нам степенью точности может считаться инерциальной. Чем точнее должно быть решение задачи, тем строже требования к системе отсчета.
Из всех используемых систем отсчета наиболее приближены к этому абсолюту далекие звезды, и для решения очень точных задач астрономии даже четко определили, к каким именно звездам привязаться. С достаточно высокой точностью инерциальными можно считать и системы отсчета, связанные с Солнцем и Землей.
Из-за вращения Земли вокруг своей оси точки ее поверхности движутся по окружности (кроме разве что полюсов), а движение по окружности – это движение с центростремительным ускорением. Это ускорение мало, и в повседневной жизни вы его просто не замечаем, для большинства задач им можно пренебречь. Но некоторые явления нельзя объяснить, не рассматривая вращение Земли. Например, поведение маятника Фуко. Это груз, подвешенный на длинной нити, который колеблется в вертикальной плоскости, и эта плоскость со временем поворачивается (см. рис. 4).
Рис. 4. Маятник Фуко
Это пример, показывающий неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей.
Одинаковое ускорение в разных инерциальных системах отсчета
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета. Одну считаем покоящейся, а вторая движется относительно нее со скоростью 
.
По закону сложения скоростей, если скорость тела в движущейся системе отсчета равна 
, то в неподвижной его скорость равна 
, то есть скорости будут разные. Очевидно, при разных скоростях разными будут и перемещения. А что с ускорением?
Ускорение – это изменение скорости, разделенное на интервал времени, за который это изменение произошло. Рассмотрим тело в подвижной системе отсчета. Его скорость в начальный момент времени была равна , а через время 
стала равна 
. Ускорение равно:
В неподвижной системе отсчета по закону сложения начальная скорость равна , а конечная – 
. Вторая система отсчета движется относительно первой равномерно прямолинейно, значит, постоянная, она не изменится за время . Найдем ускорение:
Получили, что в разных инерциальных системах отсчета перемещения и скорости тел могут отличаться, но ускорение одинаково. Поэтому закономерности, связанные с ускорением, изменением скорости, в таких системах отсчета выполняются одинаково.
Что же с поездом, который разгоняется с места?
Если бы поезд был инерциальной системой отсчета, то, согласно первому закону Ньютона, так как яблоко покоилось, то оно и должно было продолжать покоиться (поскольку действие сил на него скомпенсировано).
Но поезд движется с ускорением, это неинерциальная система отсчета, и в ней не выполняется то, что описано в первом законе для инерциальных систем. Как и до начала движения, действие сил на яблоко скомпенсировано (сила тяжести уравновешивается силой реакции опоры), но яблоко начинает двигаться.
То же происходит, когда поезд поворачивает, движется по дуге. Это тоже движение с ускорением, здесь возникает центростремительное ускорение при движении по окружности.
Яблоко в поезде, рассмотренное с платформы
В неинерциальной системе отсчета, связанной с разгоняющимся поездом, яблоко начинает двигаться без видимых причин. Но это не значит, что его вообще нельзя описать в привычной нам модели через силы. Достаточно рассмотреть его в инерциальной системе отсчета.
Рассмотрим движение яблока в системе отсчета, связанной с платформой вокзала. Сила тяжести и сила реакции опоры, которые действуют на яблоко, уравновешиваются, можем их в рамках данной задачи не рассматривать. А в направлении движения на яблоко действует сила трения, яблоко взаимодействует с поверхностью столика. Эта сила трения и создает ускорение яблока – все объяснимо, 
. Если поезд движется с большим ускорением, силы трения недостаточно, чтобы сообщить яблоку такое же ускорение, с которым движется поезд, и яблоко движется с меньшим ускорением. В поезде мы видим это как движение яблока против движения поезда.
Второй закон Ньютона
Перейдем к количественным закономерностям в инерциальных системах отсчета.
Мы так или иначе рассматривали, как ускорение тела связано с действующей на него силой и как это зависит от массы. Во втором законе Ньютона эти взаимосвязи сформулированы количественно:
В инерциальных системах отсчета ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.
Под силой в данном случае понимается равнодействующая всех сил, действующих на тело.
Выбор набора сил для решения задачи
Есть тело, которое тащат за нить по шероховатой поверхности. Кажется, что все просто: есть сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила натяжения нити. Но откуда взялся этот набор сил? На самом деле выбор этих сил тоже модель. Реакцию опоры и трение можно рассматривать вместе как взаимодействие тела с поверхностью, почему нет? Просто нам удобнее выделить здесь две составляющие: одна возникает из-за трения, а вторая из-за того, что тело давит перпендикулярно поверхности. Теперь о силе тяжести. Если тело разделить на части, каждая из них будет притягиваться к Земле. Можно пойти дальше и представить тело как совокупность атомов, каждый из которых притягивается к Земле, но мы все эти взаимодействия заменили одним, рассмотрев тело как единое целое и записав для него одну общую силу тяжести – это наша модель. Мало того, по закону всемирного тяготения тело взаимодействует не только с Землей, но и вообще со всеми телами. Только либо у этих тел небольшие массы, либо они слишком далеко, поэтому взаимодействием с ними можно пренебречь.
Возвращаемся ко второму закону Ньютона. В виде уравнения его можно записать так:
Часто в задачах нужно найти силу, поэтому уравнение записывают в таком виде, называя его следствием из второго закона Ньютона:
С точки зрения математики это эквивалентные записи.
Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета
Опыт нам показывает, что неинерциальная система отсчета отличается тем, что в ней возникает что-то, что заставляет тело двигаться с ускорением, как яблоко в разгоняющемся вагоне поезда. Можно считать это некой особой силой, и можно доказать математически, что равна эта сила массе тела, умноженной на ускорение неинерциальной системы отсчета и все это со знаком минус (яблоко откатывается в сторону, противоположную ускорению поезда):
Назвали эту силу силой инерции, и обращаться с ней можно как с обычной силой: она создает ускорение, как в случае с яблоком в поезде. Она может уравновешиваться с другими силами. Например, в лифте, который движется вниз и останавливается, сила инерции уравновешивается возросшей силой реакции опоры.
Таким образом, в неинерциальных системах отсчета можно применять второй закон Ньютона:
только в равнодействующей 
придется учесть силу инерции:
Забегая чуть вперед: силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона: это не сила взаимодействия, это псевдосила, действующая только на данное тело.
Третий закон Ньютона
Рассмотрим пример: два человек перетягивают канат. Как здесь расписать все действующие силы, чтобы найти равнодействующую и применить второй закон Ньютона? Один человек тянет в одну сторону, второй – в другую сторону. Плюс на каждого человека действует сила трения, которая не позволяет им скользить по полу. И со стороны каната на каждого человека действует сила. Какие силы учитывать, а какие нет (см. рис. 5)?
Рис. 5. Третий закон Ньютона
С одинаковыми ли силами тянут эти люди? А что, если один человек перетянет другого? Здесь Ньютон тоже навел порядок, сформулировав третий закон:
Материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению.
В виде уравнения это можно записать так:
где 
– это сила, с которой второе тело действует на первое, а 
– это сила, с которой первое тело действует на второе.
Если одно тело действует на другое, то должен быть виден результат: второе тело или движется, или сопротивляется.
Силы возникают парами, есть взаимодействие. Мы толкаем шкаф, действуем на него с некоторой силой, и шкаф действует на нашу руку с такой же по модулю силой, мы это давление ощущаем своей рукой. Может показаться, что по этому закону шкаф не должен сдвинуться с места, ведь с какой силой мы на него давим, с такой же силой он действует на нас. В результате силы уравновешиваются и шкаф нельзя сдвинуть с места.
Но нас интересует движение шкафа и силы, действующие на шкаф, а на шкаф действует одна сила из этой пары: рука толкает шкаф. Прибавим силу трения, силы тяжести и реакции опоры – и получим полный набор для описания движения шкафа.
Разберемся с перетягиванием каната. Теперь понятно: человек взаимодействует с канатом. С какой силой человек тянет канат, с такой же по модулю силой натяжения и канат действует на человека (см. рис. 6).
Рис. 6. Силы, действующие на человека при перетягивании каната
То же со вторым человеком. Причем канат действует на обоих людей с одинаковой силой – силой натяжения, которая возникает в канате.
Каждый человек взаимодействует с полом посредством сил трения: пол действует на человека с силой трения, что препятствует проскальзыванию, а человек с такой же по модулю силой действует на пол (см. рис. 7).
Рис. 7. Силы, действующие на поверхность, на которой происходит перетягивание каната
И как здесь быть со сложением сил? Во втором законе говорится, что ускорение тела пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на это тело. Если нас интересует движение одного человека, то мы видим, что на него действует сила натяжения со стороны каната, сила трения со стороны пола, а еще сила тяжести и сила реакции опоры. И задача решается. Нужно рассмотреть канат – складываем силы, которые действуют на него: это две силы, с которыми действуют на него два человека (см. рис. 8).
Рис. 8. Силы, действующие на канат
Но нет смысла складывать пару сил, с которыми тела взаимодействуют. Получится ноль, но это ничего не значит: эти силы действуют на разные тела.
Мы уже рассматривали некоторые силы, их можно вычислить, чтобы можно было решать задачи. Здесь просто перечислим их вместе с формулами, по которым их можно рассчитать:
Сила тяжести, 
.
Вес 
– это сила, с которой тело действует на опору или подвес.
Сила реакции опоры – сила, с которой опора действует на тело, 
.
Сила трения, 
.
Сила упругости 
Сила Архимеда 
Задача 1
Автомобиль массой 1400 кг увеличил скорость с 72 до 90 км/ч за 5 с. Найдите силу сопротивления движению автомобиля, если сила тяги при разгоне равна 7000 Н. Силу сопротивления и ускорение считайте постоянными.
В задаче описано движение автомобиля под действием сил – будем применять второй закон Ньютона.
Выделим силы, которые действуют на автомобиль: сила тяжести, сила реакции опоры, сила тяги и сила сопротивления движению (в сторону, противоположную движению). Отметим их на рисунке.
Выберем направление осей координат, как показано на рисунке.
По второму закону Ньютона запишем:
В проекции на ось у:
, и это нам ничего не дает. А в проекции на ось х запишем:
Ускорение запишем сразу в проекции на ось х:
Получили систему уравнений, которую осталось решить. Подставим ускорение:
Переведя скорости в СИ, подставим значения и вычислим силу:
Закон всемирного тяготения
И напоследок подробнее поговорим о силе тяжести. Для того чтобы решать задачи о земном притяжении разных тел вблизи Земли, нам достаточно этой силы. Но на самом деле любые тела, обладающие массой, притягиваются. Это взаимодействие назвали гравитационным, и земное притяжение – его частный случай (см. рис. 9).
Рис. 9. Гравитационное взаимодействие
Закон всемирного тяготения тоже сформулировал Ньютон.
Любые два тела притягиваются друг к другу, причем сила притяжения прямо пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна расстоянию между их центрами масс (см. рис. 10).
Рис. 10. Закон всемирного тяготения
Математически закон всемирного тяготения записывается так:
где m (1, 2) – массы взаимодействующих тел, а r – расстояние между их центрами масс. Силы всемирного тяготения также называют гравитационными силами, а коэффициент пропорциональности G в законе всемирного тяготения называют гравитационной постоянной. Она равна 
.
Зависимость от квадрата расстояния
Квадрат расстояния встречается во многих физических формулах, так что это позволяет говорить о законе, связывающем величину эффекта с квадратом расстояния от источника воздействия:
Эта пропорциональность справедлива для гравитационного, электрического, магнитного действия, силы звука, света, радиации, распространяющихся от источника.
Связано это, конечно, с тем, что площадь поверхности сферы распространения эффекта увеличивается пропорционально квадрату расстояния.
Это будет выглядеть естественным, если вспомнить, что площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса:
тогда понятно, что сила действия вдали от источника должна распределяться по сфере все большего радиуса.
Закон всемирного тяготения можно использовать для вычисления сил притяжения между любыми телами. Представьте, что человек сидит перед монитором. Допустим, масса монитора равна 2 кг, а масса человека – 70 кг, расстояние примем равным 1 м. Тогда сила взаимодействия по формуле получится 9,3 наноньютона. То есть 
. Это настолько мало, что мы абсолютно не замечаем такое слабое взаимодействие. Коэффициент пропорциональности G в формуле принимает очень малое значение – 10–11. Если на Земле будет лежать гвоздь и мы поднесем к нему магнит, то гвоздь притянется к маленькому магниту сильнее, чем к огромной планете! Тем не менее, если взять взаимодействие двух небесных тел, например планет, то в формулу надо будет подставлять огромные массы, тогда сила будет гораздо больше, несмотря на большие расстояния. Да и на движение небольших тел вблизи поверхности Земля оказывает значительное влияние.
Рассмотрим свободное падение тела вблизи поверхности Земли.
Тело движется под действием одной силы – силы гравитационного взаимодействия с Землей. Запишем ее. Обозначим массу тела и массу Земли 
и 
. А расстояние между их центрами – это радиус Земли (см. рис. 11).
Рис. 11. Падение тела вблизи поверхности Земли
По второму закону Ньютона эта сила создает ускорение:
Подставим в это уравнение выражение для силы и найдем ускорение:
Масса тела сокращается:
Масса и радиус Земли – известные величины, подставим и вычислим:
Получили значение ускорения свободного падения! Причем оно не зависит от массы тела – та сократилась при расчетах. Раньше мы просто запомнили, что все тела вблизи Земли в свободном падении движутся с ускорением 
, ввели для него отдельное обозначение 
, а теперь мы его вычислили.
Для многих задач мы можем продолжать использовать готовое значение, и этого будет достаточно. Но, как и любая модель, эта тоже имеет ограничения. В формуле для гравитационного взаимодействия мы взяли за расстояние между телами радиус Земли. Понятно, что если тело будет находиться на небольших высотах, то добавка высоты h на фоне величины радиуса Земли (6400 км) будет незначительна и ей в большинстве случае можно пренебречь. Но для больших высот эта добавка будет уже существенной. И нам придется ее учесть в вычислениях (хотя сама идея этих вычислений не изменится).
Более того, таким же способом мы можем найти ускорение свободного падения на любой планете, например на Марсе. Только нужно подставить массу и радиуса Марса в наши расчеты.
Задача 2
Чтобы добросить камень до 3 этажа (высота равна 9 м, если считать по 3 м на этаж) на Земле, нужно бросить его с некоторой начальной скоростью. До высоты какого этажа можно добросить камень, если бросить его с такой же начальной скоростью на Марсе? Сопротивлением атмосферы пренебречь.
В задаче описано движение камня под действием силы тяжести – свободное падение. По второму закону Ньютона запишем:
Если направить ось координат вниз, то запишем:
Это равенство справедливо для обеих планет, только силы тяжести и ускорения будут разные. Для Земли ускорение свободного падения известно, сила тяжести легко вычисляется. Запишем силу тяжести для Марса по закону всемирного тяготения:
Чтобы связать, начальную скорость и максимальную высоту полета, можно воспользоваться уравнениями кинематики для равноускоренного движения, а можно применить закон сохранения энергии, это удобнее. Если за нулевой уровень принять поверхность планеты, в момент броска камень обладает только кинетической энергией 
, а в наивысшей точке траектории – потенциальной 
. Запишем:
А на Марсе при той же начальной скорости и массе камня будет другое ускорение свободного падения и высота, поэтому запишем:
Получили систему уравнений, которую осталось только решить.
В первых двух уравнениях левые части равны, приравняем и правые:
В следующих двух уравнениях то же самое:
Разделим оба уравнения на массу камня:
Подставим ускорение свободного падения на Марсе во второе уравнение:
Отсюда
Масса и радиус Марса – известные величины, их можно найти в справочнике. 
, 
. Вычислим:
что почти соответствует 8 этажу.
Почему тела притягиваются, какова природа этого притяжения и как это вообще происходит на расстоянии? Вопрос непростой. Массы притягиваются, и мы это наблюдаем, мы фиксируем этот физический факт. Да, это каким-то образом происходит на расстоянии. Для удобства мы придумали понятие гравитационного поля. В модели квантовой физики гравитацию пытаются описать с помощью квантовых частиц – гравитонов. Они согласуются с моделью квантовой физики, но как эти частицы обнаружить и возможно ли это вообще – непонятно. Однако закон всемирного тяготения все равно выполняется независимо от нашего вопроса «как именно?», и этот вопрос не мешает его использовать в расчетах и создавать различные устройства, которые работают с учетом этого закона.
Список литературы
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е изд., передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
- Перышкин А.В., Гутник Е.М. Физика, 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)
- Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)
- Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)
- Интернет-сайт «Класс!ная физика – для любознательных» (Источник)
Домашнее задание
- Мог ли барон Мюнхгаузен вытащить себя из болота за волосы? Почему?
- На автомобиль массой 2 т действует сила торможения 16 кН. Какова начальная скорость автомобиля, если тормозной путь равен 50 м?
- При взаимодействии двух тележек массами m1 = 2 кг и m2 = 4 кг первая получила ускорение, равное
. Определить модуль ускорения второй тележки. - За последние 0,5 секунды свободно падающее тело пролетает 30 метров. Найдите скорость тела в момент приземления.
