И напоследок подробнее поговорим о силе тяжести. Для того чтобы решать задачи о земном притяжении разных тел вблизи Земли, нам достаточно этой силы. Но на самом деле любые тела, обладающие массой, притягиваются. Это взаимодействие назвали гравитационным, и земное притяжение – его частный случай (см. рис. 9).

Рис. 9. Гравитационное взаимодействие

Закон всемирного тяготения тоже сформулировал Ньютон.

Любые два тела притягиваются друг к другу, причем сила притяжения прямо пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна расстоянию между их центрами масс (см. рис. 10).

Рис. 10. Закон всемирного тяготения

Математически закон всемирного тяготения записывается так:

где m (1, 2) – массы взаимодействующих тел, а r – расстояние между их центрами масс. Силы всемирного тяготения также называют гравитационными силами, а коэффициент пропорциональности G в законе всемирного тяготения называют гравитационной постоянной. Она равна .

Зависимость от квадрата расстояния

Квадрат расстояния встречается во многих физических формулах, так что это позволяет говорить о законе, связывающем величину эффекта с квадратом расстояния от источника воздействия:

Эта пропорциональность справедлива для гравитационного, электрического, магнитного действия, силы звука, света, радиации, распространяющихся от источника.

Связано это, конечно, с тем, что площадь поверхности сферы распространения эффекта увеличивается пропорционально квадрату расстояния.

Это будет выглядеть естественным, если вспомнить, что площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса:

тогда понятно, что сила действия вдали от источника должна распределяться по сфере все большего радиуса.

Закон всемирного тяготения можно использовать для вычисления сил притяжения между любыми телами. Представьте, что человек сидит перед монитором. Допустим, масса монитора равна 2 кг, а масса человека – 70 кг, расстояние примем равным 1 м. Тогда сила взаимодействия по формуле получится 9,3 наноньютона. То есть . Это настолько мало, что мы абсолютно не замечаем такое слабое взаимодействие. Коэффициент пропорциональности G в формуле принимает очень малое значение – 10^–11. Если на Земле будет лежать гвоздь и мы поднесем к нему магнит, то гвоздь притянется к маленькому магниту сильнее, чем к огромной планете! Тем не менее, если взять взаимодействие двух небесных тел, например планет, то в формулу надо будет подставлять огромные массы, тогда сила будет гораздо больше, несмотря на большие расстояния. Да и на движение небольших тел вблизи поверхности Земля оказывает значительное влияние.

Рассмотрим свободное падение тела вблизи поверхности Земли.

Тело движется под действием одной силы – силы гравитационного взаимодействия с Землей. Запишем ее. Обозначим массу тела и массу Земли и . А расстояние между их центрами – это радиус Земли (см. рис. 11).

Рис. 11. Падение тела вблизи поверхности Земли

По второму закону Ньютона эта сила создает ускорение:

Подставим в это уравнение выражение для силы и найдем ускорение:

Масса тела сокращается:

Масса и радиус Земли – известные величины, подставим и вычислим:

Получили значение ускорения свободного падения! Причем оно не зависит от массы тела – та сократилась при расчетах. Раньше мы просто запомнили, что все тела вблизи Земли в свободном падении движутся с ускорением , ввели для него отдельное обозначение , а теперь мы его вычислили.

Для многих задач мы можем продолжать использовать готовое значение, и этого будет достаточно. Но, как и любая модель, эта тоже имеет ограничения. В формуле для гравитационного взаимодействия мы взяли за расстояние между телами радиус Земли. Понятно, что если тело будет находиться на небольших высотах, то добавка высоты h на фоне величины радиуса Земли (6400 км) будет незначительна и ей в большинстве случае можно пренебречь. Но для больших высот эта добавка будет уже существенной. И нам придется ее учесть в вычислениях (хотя сама идея этих вычислений не изменится).

Более того, таким же способом мы можем найти ускорение свободного падения на любой планете, например на Марсе. Только нужно подставить массу и радиуса Марса в наши расчеты.

Задача 2

Чтобы добросить камень до 3 этажа (высота равна 9 м, если считать по 3 м на этаж) на Земле, нужно бросить его с некоторой начальной скоростью. До высоты какого этажа можно добросить камень, если бросить его с такой же начальной скоростью на Марсе? Сопротивлением атмосферы пренебречь.

В задаче описано движение камня под действием силы тяжести – свободное падение. По второму закону Ньютона запишем:

Если направить ось координат вниз, то запишем:

Это равенство справедливо для обеих планет, только силы тяжести и ускорения будут разные. Для Земли ускорение свободного падения известно, сила тяжести легко вычисляется. Запишем силу тяжести для Марса по закону всемирного тяготения:

Чтобы связать, начальную скорость и максимальную высоту полета, можно воспользоваться уравнениями кинематики для равноускоренного движения, а можно применить закон сохранения энергии, это удобнее. Если за нулевой уровень принять поверхность планеты, в момент броска камень обладает только кинетической энергией , а в наивысшей точке траектории – потенциальной . Запишем:

А на Марсе при той же начальной скорости и массе камня будет другое ускорение свободного падения и высота, поэтому запишем:

Получили систему уравнений, которую осталось только решить.

В первых двух уравнениях левые части равны, приравняем и правые:

В следующих двух уравнениях то же самое:

Разделим оба уравнения на массу камня:

Подставим ускорение свободного падения на Марсе во второе уравнение:

Отсюда

Масса и радиус Марса – известные величины, их можно найти в справочнике. , . Вычислим:

что почти соответствует 8 этажу.

Почему тела притягиваются, какова природа этого притяжения и как это вообще происходит на расстоянии? Вопрос непростой. Массы притягиваются, и мы это наблюдаем, мы фиксируем этот физический факт. Да, это каким-то образом происходит на расстоянии. Для удобства мы придумали понятие гравитационного поля. В модели квантовой физики гравитацию пытаются описать с помощью квантовых частиц – гравитонов. Они согласуются с моделью квантовой физики, но как эти частицы обнаружить и возможно ли это вообще – непонятно. Однако закон всемирного тяготения все равно выполняется независимо от нашего вопроса «как именно?», и этот вопрос не мешает его использовать в расчетах и создавать различные устройства, которые работают с учетом этого закона.

Список литературы

Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е изд., передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
Перышкин А.В., Гутник Е.М. Физика, 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)
Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)
Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)
Интернет-сайт «Класс!ная физика – для любознательных» (Источник)

Домашнее задание

Мог ли барон Мюнхгаузен вытащить себя из болота за волосы? Почему?
На автомобиль массой 2 т действует сила торможения 16 кН. Какова начальная скорость автомобиля, если тормозной путь равен 50 м?
При взаимодействии двух тележек массами m₁ = 2 кг и m₂ = 4 кг первая получила ускорение, равное . Определить модуль ускорения второй тележки.
За последние 0,5 секунды свободно падающее тело пролетает 30 метров. Найдите скорость тела в момент приземления.