Классы
Предметы

Инструменты кинематики. Прямолинейное движение

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Инструменты кинематики. Прямолинейное движение

В ходе урока мы рассмотрим основные понятия кинематики, которыми будем пользоваться при описании движения тела, а также более подробно изучим равномерное и равноускоренное прямолинейное движение.

Введение

Когда мы рассказываем о чём-то другому человеку, то всегда отбрасываем какую-то информацию, которую считаем неважной. Нас всегда интересует какая-то конкретная задача и информация для её решения. Например, зная рост, обхват груди, талии и т.д., можно купить человеку одежду.

Такая же ситуация и в физике. Мы говорим, что расстояние 360 км машина со средней скоростью 90 км/ч преодолеет за 4 часа. При этом странно спрашивать – насколько раньше передний бампер автомобиля преодолеет это расстояние, чем задний.

 


Модель.

Когда мы говорим слово «модель» в физике, чаще всего имеем в виду уменьшенную копию чего-нибудь, какой-либо образ предмета, его описание, словесное или математическое. Такая копия не является самим «оригиналом», но дает о нем упрощенное представление. Степень упрощения может быть разной в зависимости от того, какой информации нам достаточно. Возьмем модель автомобиля. Некоторые коллекционируют модели, которые выглядят, как настоящие, т.е. дают представление о внешнем виде автомобиля. При этом такая модель не покажет устройство двигателя, но для нашей цели достаточно внешнего вида. Если вы рассказываете другу, как вас обгонял другой автомобиль, вам не обязательно иметь коллекционные модели этих автомобилей, вам не важен внешний вид, вам важно движение и расположение машин. Вам достаточно взять два прямоугольных предмета, например, мобильных телефона и сымитировать на столе обгон.

Когда происходит упругое столкновение двух шаров, то, кажется, описать их дальнейшее движение несложно – знаем скорости, массы… Но в шарах будут возникать колебания, они будут нагреваться. В некоторых ситуациях и это надо учитывать. Но в рамках модели упругого столкновения мы можем решать конкретные задачи с достаточной точностью.


 

Основные понятия в кинематике

Если нам необходимо описать движение тела, то мы не будем говорить о его цвете или температуре.

Мы знаем, что от массы зависит изменение скорости тел при взаимодействии. Но в некоторых задачах нас не будут интересовать причины изменения скорости и движения тела. Нужно будет описать движение тела, зная исходные данные: положение, скорость, ускорение и т.д.

Модель, в рамках которой описывается движение, называется кинематика. Важны ли в кинематике размеры и форма тела? Зависит от задачи. В примере с автомобилем, который едет 360 км, размеры автомобиля неважны – на фоне расстояния для нас и легковой, и грузовой автомобиль, и даже самолёт будут одинаково маленькими.

Рис. 1. Пример движения автомобиля

А при решении задачи парковки того же автомобиля его размерами и формой уже пренебречь нельзя.

Для задач, в которых размеры тела не важны придумали модель материальной точки – это обозначение тела, которое рассматривается как точка, имеющая массу. Получается оксюморон (живой труп, горячий снег, мёртвые души) – у точки не может быть массы, но мы всю её туда поместили.

Но такой абстрактный инструмент оказался очень удобным для решения различных кинематических (и не только) задач. Еще одно определение материальной точки – это модель тела, размерами и формой которого в данной задаче можно пренебречь.

Движение – это изменение положения во времени, точка была здесь, а через время оказалась там. В задаче могут быть еще другие тела, могут действовать какие-то силы, и их как-то нужно описывать в единой системе. Введем такую систему.

Выберите на столе какой-нибудь предмет, допустим, компьютерную мышь. А теперь скажите, где она находится, ее положение. Вы скажете что-то вроде «она лежит сразу справа от клавиатуры» или «она в 30 см от экрана». А теперь попробуйте указать ее положение, не упоминая никакие другие предметы. Не получится. Описывая положение тела или точки, нужно выбрать другое тело и относительно него задавать положение, то есть координаты тела.

Рис. 2. Координаты

Координаты – это способ точного указания места, адрес этого места. Этот адрес должен не только идентифицировать место, но и помогать его найти, указывать на его положение в упорядоченном ряду подобных точек (термин «координата» происходит от слова ordinare, которое означает «упорядочивать», с приставкой со-, которая означает «вместе, совместно, согласованно»).

 


Примеры систем координат.

Координатой дома на улице является его номер, который отсчитывается с того края улицы, который принят за начало. Номер дома подсказывает, где его можно найти: если мы прошли мимо домов №8 и №10, то дом № 16 должен быть через два дома впереди. Тогда как название улицы зачастую только идентифицирует ее, но не содержит в себе информации о ее положении среди других улиц.

В любом случае, когда мы задаем положение чего-либо, мы в том или ином виде пользуемся его координатами. Например:

— на фото пишут «в первом ряду второй слева Иванов». Координатами являются ряд и место в нем.

— на билетах пишут номер ряда и номер места: координаты ряды и места

— «выйдешь из метро «такого-то», повернешь налево и пройдешь 100м.

— координаты клетки в игре «морской бой»: Б3, Д8…; адреса ячеек в ЭКселе;

Положение тела на поверхности земли можно задать по-разному:

— 30-км на север от Москвы,40км на восток. В данном случае координатами являются пара чисел: расстояние на восток/запад и север/юг – это пример декартовой системы координат;

— 50 км на северо-восток. Здесь координаты угол направления относительно оси восток/запад + длина радиуса-вектора – это пример полярной системы координат.

Выбор системы координат определяется задачей, которую мы в данный момент решаем. В некоторых ситуациях удобно использовать декартову (места в кинотеатре), в некоторых – полярной (в навигации).



 

В механике мы чаще всего будем использовать прямоугольную (или декартову) систему координат. Есть точка отсчета, то есть начало координат, и есть две взаимно перпендикулярных направленных оси координат. Положение точки задается расстоянием, которое нужно пройти от начала координат вдоль одной и второй оси, чтобы попасть в эту точку.

Рис. 3. Декартова система координат

Вдоль одной оси можно идти в двух противоположных направлениях. Эти направления удобно описать с помощью знака: вдоль оси +, а противоположно оси –.

Рис.4. Направления в декартовой системе координат

Для определения положения точки необходимо:

  1. Тело отсчета, относительно которого однозначно задавать положение точки в системе координат.
  2. Прибор измерения времени и момент начала измерения.

Вместе они составляют систему отсчета.

Относительность движения

Все мы знаем, что Земля движется вокруг Солнца, но каждый день мы видим на небе, как Солнце движется вокруг Земли – как с этим быть? Парадокса здесь нет, в системе отсчета, связанной с Землей, Солнце движется вокруг Земли, и некоторые задачи, например, задача о смене дня и ночи, легко решаются в этой системе отсчета. И это не отменяет того, что для задач о движении планет солнечной системы лучше подходит система отсчета, связанная с Солнцем, и в ней планеты движутся вокруг Солнца.

Даже если мы иногда не уточняем систему отсчета, мы ее подразумеваем. Когда мы говорим, что автомобиль движется, мы не имеем в виду, что он движется вместе с планетой вокруг Солнца, мы имеем в виду его движение относительно дороги. А относительно поезда, который едет рядом, автомобиль может быть неподвижен: именно так это увидят пассажиры автомобиля и поезда.

Описание движения зависит от того, относительно чего мы это движение рассматриваем. В физике это называется относительностью движения.

Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение

Рассматривать можно много различных параметров движения тела, в зависимости от задачи. Рассмотрим равномерное и равноускоренное прямолинейное движение материальной точки. Здесь главными инструментами будут перемещение, скорость и изменение скорости (с ним связано ускорение).

Движение прямолинейное, значит достаточно рассматривать его вдоль одной оси координат, и положение материальной точки задается координатой .

Перемещение мы задали как вектор , соединяющий начальное и конечное положение движущейся точки.

Рис. 5. Перемещение

Имеется одна ось координат, вдоль которой и направлен вектор перемещения. В такой системе модуль перемещения по-прежнему обозначается длиной вектора, а возможных направлений всего два: в направлении оси или против оси координат. Поэтому, когда ось координат одна, вектор можно задать одним числом, знаком которого обозначим направление вектора. Это число назвали проекцией перемещения  на ось  и обозначили .

Рис. 6. Проекция перемещения

Итак, в проекции на ось  перемещение равно:

Если координата увеличивается, то есть , это значит, что тело движется вдоль оси , и перемещение  положительно. Если тело движется против оси , то конечная координата  будет меньше начальной , и  получится отрицательным. То есть, если вектор перемещения совпадает с направлением оси координат, то знак перемещения – плюс, если противоположен по направлению – минус.

Основная задача механики – определение положения материальной точки в любой момент времени. Выразим из этого уравнения координату :

Теперь, если мы знаем начальное положение тела, поиск координаты тела сводится к поиску перемещения .

 


Ответвление. Путь и перемещение.

Мы много говорили о пути и перемещении, об их различиях, что путь всегда больше или равен модулю перемещения. Мы рассматривали пример с такси, где модуль перемещения один, а путь другой. Если место назначения находится на противоположном берегу реки и по прямой до него 300 метров, нас интересует перемещение, мы указали начальную и конечную точку, и хотим, чтобы нас доставили на эти 300 метров. Но заплатим мы все равно за бензин и время, потраченные на те 5 километров пути, которые мы проехали в объезд по мосту – более короткого пути нет (рис. 7).

Рис. 7. Путь намного больше модуля перемещения при поездке в объезд

Мы также вникали в разницу путевой скорости и скорости по перемещению. Когда хозяин выгуливает собаку, она может всё время бегать около него с путевой скоростью 20 км/ч, не останавливаясь, но за час они так могут перемеситься на 1 км, и модуль их скорости по перемещению будет равен 1 км/ч.

При прямолинейном движении всё чуть проще. Если тело не меняет направление движения, как при равномерном движении, то путь и модуль перемещения равны, и мы будем говорить только о перемещении – это почти то же самое, только чуть более информативно, так как учитывается еще и направление, кроме модуля. И со скоростью то же: будем рассматривать скорость по перемещению, помня, что она по модулю равна путевой.

При неравномерном прямолинейном движении скорость меняется, и направление движения может измениться на противоположное. Тогда посчитать путь тоже несложно: сложив отрезки до и после изменения направления. Но пути особого внимания не будем уделять, будем так же оперировать перемещением и скоростью по перемещению.


 

Средняя скорость на участке движения равна перемещению на этом участке, делённому на время, за которое это перемещение было совершено:

Первая модель – равномерное движение. Считаем, что величина скорости не меняется, за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковое перемещение. Тогда средняя скорость на любом участке и будет равна той постоянной скорости равномерного движения (запишем сразу в проекции на ось ):

Если выразить отсюда перемещение, то при известной скорости решим главную задачу механики:

Во второй модели, равноускоренного движения, величина скорости меняется. Когда скорость меняется со временем, нам становится важно знать, какое значение она принимает в разные моменты времени. Будем рассматривать скорость на таком небольшом участке, чтобы она не успела заметно измениться. Перемещение на таком участке будет мало, и пройдено оно будет за малое время – мы такое малое время называем мгновением, а среднюю скорость на этом участке – мгновенной скоростью. То есть можно говорить, что это скорость в данной точке в данный момент времени.

Скорость меняется, есть смысл ввести скорость этого изменения, насколько меняется скорость за единицу времени. Скорость изменения скорости мы уже вводили и назвали эту величину ускорением:

Ускорение – это отношение изменения скорости  к промежутку времени , на протяжении которого скорость изменилась на .

Для прямолинейного движения вдоль оси :

При равноускоренном движении считаем, что ускорение постоянно, за любые одинаковые промежутки времени скорость изменяется на одну и ту же величину.

Рис. 8. Равноускоренное движение

Выразим :

Это уравнение при известных начальной скорости и ускорении позволяет нам узнать мгновенную скорость тела в любой момент времени , .

 


Переход от одной системы отсчета к другой.

Как перейти от одной системы отсчета к другой?

Рассмотрим тело, которое в некоторой системе отсчёта движется прямолинейно, а сама система отсчета движется вдоль той же прямой в другой системе отсчета.

Человек идет по вагону поезда по ходу движения или в противоположную сторону. Перейдем к системе отсчета, связанной с Землей. Скорость человека в системе отсчета, связанной с поездом, обозначим . Скорость поезда относительно Земли – это скорость самой системы отсчета относительно Земли, .

Для данной модели действует закон сложения скоростей. Запишем в векторном виде, скорость тела относительно Земли равна:

Это уравнение справедливо для скоростей, направленных под разными углами, и мы еще будем им пользоваться. Пока же мы работаем с движением вдоль одной оси координат, давайте перепишем уравнение в проекциях:

Здесь все эти  – это проекции, индекс  мы не стали писать, чтобы не загромождать формулу.

Рассмотрим другой пример. Мы едем на автомобиле со скоростью 60 км/ч и догоняем автобус, который едет со скоростью 40 км/ч в том же направлении. С какой скоростью движется автобус относительно нас?

В вопросе задачи говорится о скорости автобуса в системе отсчета, связанной с нами и нашим автомобилем, обозначим ее , ее нужно будет найти. Эта система отсчета, наш автомобиль, сама движется относительно Земли со скоростью . А скорость автобуса относительно Земли можно назвать абсолютной скоростью (Землю для задач, которые не затрагивают космос, можно считать абсолютной): . Применим закон сложения скоростей: абсолютная скорость тела равна скорости тела относительно подвижной системы отсчета плюс абсолютной скорости этой подвижной системы отсчета,

Выразим отсюда скорость автобуса относительно нашего автомобиля:

Отрицательное значение скорости означает, что она направлена противоположно направлению дороги, в котором скорости автобуса и автомобиля положительны. Действительно, из автомобиля при обгоне выглядит, как будто автобус движется со скоростью 20 км/ч навстречу.


 

Чтобы решить главную задачу механики, найти  при равноускоренном движении, нам не хватает одного: перемещения при равноускоренном движении.

Для его нахождения удобно использовать графики функции  и .

Рис.9. Графики функции  и .

Рассмотрим график зависимости  для равномерного прямолинейного движения:

На нем каждая точка показываем, какая координата у тела в данный момент времени. График такой зависимости – прямая линия, что иллюстрирует определение постоянной скорости: за равные промежутки времени координата изменяется на одну и ту же величину. Легко найти начальную координату  – это координата  в точке .

Рис. 10. Равномерное прямолинейное движение

График перемещения начинается из начала координат, так как нет нулевого перемещения, в начальный момент времени .

Чем быстрее с течением времени изменяется координата (а это значит, что больше модуль скорости), тем круче график. Если график наклонен вниз, то есть координата убывает, значит, тело движется против оси координат. Оно совершает отрицательное перемещение , и его скорость  тоже отрицательна, то есть направлена противоположно оси .

Рис. 11. График равномерного движения (синим – модуль скорости больше, розовым – скорость отрицательна)

Скорость при равномерном движении не меняется, график зависимости скорости от времени – горизонтальная прямая: в любой момент времени скорость одна и та же, положительная или отрицательная.

Рис 12. Скорость прямолинейного равномерного движения

Перемещение при равномерном прямолинейном движении равно . На графике  – это определенный отрезок (см. рис. 13) а  – это время, которое прошло с момента начала отсчета до интересующего нас момента (рис.13).

Рис. 13. Перемещение при равномерном прямолинейном движении

 А их произведение  – это площадь прямоугольника, ограниченного графиком . Площадь под графиком может быть и отрицательна – если скорость  отрицательна, то площадь получается «над графиком», перемещение получится отрицательным. Формально, площадь прямоугольника не может быть отрицательна, но мы будем считать, что площадь под графиком, который расположен ниже оси, берётся со знаком минус. При этом формула для вычисления не изменится:  – знак минус нам обеспечит знак скорости .

Итак, можем сделать вывод: перемещение численно равно площади под графиком функции  (с учётом знака).

Расширим этот инструмент определения перемещения для равноускоренного движения и найдём  в этом случае.

При равноускоренном движении скорость  равномерно изменяется со временем, график  – прямая, всё так же, как и для графика  для равномерного движения.

Рис. 14. Равноускоренное прямолинейное движение

Теперь найдем перемещение . Разобьем время движения на небольшие интервалы, за которые скорость не успеет сильно измениться. На каждом таком интервале ее можно приближенно считать постоянной.

Рис. 15. Перемещение при равноускоренном прямолинейном движении

Перемещение на каждом промежутке равно площади столбца (рис. 15, обозначены синим и голубым) – фигуры под графиком скорости. А суммарное перемещение за время  – это площадь фигуры, состоящей из всех этих столбцов. Чем мельче мы разобьем эти интервалы, тем меньше успевает поменяться скорость за один интервал, тем точнее наше приближение, и тем ближе наша фигура к трапеции под графиком скорости.

Рис. 16. Наиболее точное приближение равноускоренного движения

 Вычислим площадь этой трапеции. Здесь высота трапеции равна , а два основания равны начальной скорости  и скорости в момент времени t, . Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Запишем:

 


Средняя скорость при равноускоренном движении.

Как вычисляется средняя скорость на участке пути?

Нужно всё перемещение  на данном участке разделить на всё время движения  на этом участке, . Отсюда перемещение на участке пути можно вычислить по формуле: , как бы ни менялась скорость.

А теперь посмотрите на полученное нами из графика уравнение:

Из формулы  видно, что множитель перед  –это средняя скорость, в нашем случае, для равноускоренного движения, этот множитель равен:

Отметим, что  мы обозначали начальную скорость движения, а  – это скорость через время , то есть в конце рассматриваемого участка пути. Поэтому средняя скорость равна:

Это не строгий вывод, мы это подметили в уравнении, полученном из графика, но строгий вывод даст такую же формулу, так что можно ею пользоваться.

 


 

Получили уравнение, по которому можно найти перемещение в любой момент времени при равноускоренном прямолинейном движении. Подставим его в уравнение для координаты и получим решение основной задачи механики:

Равномерное прямолинейное движение можно считать равноускоренным движением с ускорением ноль. Подставим  в эти уравнения и получим знакомые нам:

Если тело начинает двигаться из состояния покоя, в нашей модели будет , и уравнения примут вид:

Можно выбрать систему координат такую, чтобы точка начала движения  совпадала в нулем координат, тогда  примет вид .

 


Решение задач.

Решим задачу.

Найдите ускорение автомобиля, если он, начиная движение со скоростью 20 м/с, движется до полной остановки 30 с.

По условию задачи автомобиль движется с ускорением. Ускорение по определению равно:

Начальная скорость дана 20 м/с, конечная 0 м/с, можем сразу вычислить ускорение:

Что значит отрицательное значение ускорения? Ускорение – векторная величина. При прямолинейном движении мы рассматриваем движение вдоль одной оси координат и пишем уравнения для проекций перемещения, скорости и ускорения. Раз мы говорим о скорости 20 м/с и она положительна, значит мы подразумеваем ось координат, сонаправленную с начальной скоростью.

А ускорение получилось отрицательным – это значит, что оно направлено противоположно этой оси и противоположно скорости. На этом примере мы увидели, что если скорость и ускорение противонаправлены, то есть их проекции имеют противоположные знаки, то скорость по модулю убывает, движение можно назвать замедленным.

Решим еще одну задачу.

Камень с поверхности земли бросают вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с. На какой высоте окажется камень через 0,5 с после броска?

Камень бросили, и он движется свободно, на него ничего не действует, кроме земного притяжения. Такое движение называется свободным полетом или свободным падением. В свободном падении вблизи поверхности Земли все тела, независимо от их массы, движутся с одинаковым ускорением, приблизительно равным . Иногда для упрощения расчетов его округляют до , получая менее точный ответ. Это ускорение направлено вертикально вниз, к центру Земли. Его назвали ускорением свободного падения и обозначили буквой . Свободное падение – это равноускоренное движение с ускорением свободного падения .

Выберем систему отсчета. Движение равноускоренное прямолинейное (бросок вертикальный), достаточно одной оси координат. Давайте направим ее в направлении начальной скорости, а начало координат выберем в точке броска. Вопрос, на какой высоте будет камень, сводится к нахождению координаты камня в указанный момент времени. Запишем уравнение для координаты при равноускоренном движении:

Осталось только переписать это уравнение в выбранной системе координат.

В нашей системе координат , начальная скорость  положительна, так как сонаправлена с осью . Ускорение – это ускорение свободного падения, оно направлено противоположно оси , поэтому в нашей системе отсчета оно отрицательно.

В момент времени  координата камня будет равна искомой высоте . Подставим значения и получим ответ:

Задача решена.


 

Ссылки на литературу:

  1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е изд, передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
  2. Перышкин А.В., Гутник Е.М., Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. — 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300.

 

Ссылки на источники Интернет:

  1. Интернет-портал «raal100.narod.ru»:
  2. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)

 

Домашнее задание:

  1. Поезд прошел по наклонной плоскости 360 метров за 15 секунд, при этом развил скорость 22 м/с. Найдите ускорение поезда.
  2. Что имеется ввиду под выражением «Человек двигался по эскалатору»? То, что он шел по эскалатору или то, что он был неподвижен во время движения эскалатора? Относительно чего человек покоится и относительно чего движется в данном случае?
  3. Приведите примеры равномерного и равноускоренного движения в повседневной жизни. Может ли один и тот же случай быть примером обоих типов движения?