Рассматривать можно много различных параметров движения тела, в зависимости от задачи. Рассмотрим равномерное и равноускоренное прямолинейное движение материальной точки. Здесь главными инструментами будут перемещение, скорость и изменение скорости (с ним связано ускорение).

Движение прямолинейное, значит достаточно рассматривать его вдоль одной оси координат, и положение материальной точки задается координатой .

Перемещение мы задали как вектор , соединяющий начальное и конечное положение движущейся точки.

Рис. 5. Перемещение

Имеется одна ось координат, вдоль которой и направлен вектор перемещения. В такой системе модуль перемещения по-прежнему обозначается длиной вектора, а возможных направлений всего два: в направлении оси или против оси координат. Поэтому, когда ось координат одна, вектор можно задать одним числом, знаком которого обозначим направление вектора. Это число назвали проекцией перемещения на ось и обозначили .

Рис. 6. Проекция перемещения

Итак, в проекции на ось перемещение равно:

Если координата увеличивается, то есть , это значит, что тело движется вдоль оси , и перемещение положительно. Если тело движется против оси , то конечная координата будет меньше начальной , и получится отрицательным. То есть, если вектор перемещения совпадает с направлением оси координат, то знак перемещения – плюс, если противоположен по направлению – минус.

Основная задача механики – определение положения материальной точки в любой момент времени. Выразим из этого уравнения координату :

Теперь, если мы знаем начальное положение тела, поиск координаты тела сводится к поиску перемещения .

Путь и перемещение

Мы много говорили о пути и перемещении, об их различиях, что путь всегда больше или равен модулю перемещения. Мы рассматривали пример с такси, где модуль перемещения один, а путь другой. Если место назначения находится на противоположном берегу реки и по прямой до него 300 метров, нас интересует перемещение, мы указали начальную и конечную точку, и хотим, чтобы нас доставили на эти 300 метров. Но заплатим мы все равно за бензин и время, потраченные на те 5 километров пути, которые мы проехали в объезд по мосту – более короткого пути нет (рис. 7).

Рис. 7. Путь намного больше модуля перемещения при поездке в объезд

Мы также вникали в разницу путевой скорости и скорости по перемещению. Когда хозяин выгуливает собаку, она может всё время бегать около него с путевой скоростью 20 км/ч, не останавливаясь, но за час они так могут перемеситься на 1 км, и модуль их скорости по перемещению будет равен 1 км/ч.

При прямолинейном движении всё чуть проще. Если тело не меняет направление движения, как при равномерном движении, то путь и модуль перемещения равны, и мы будем говорить только о перемещении – это почти то же самое, только чуть более информативно, так как учитывается еще и направление, кроме модуля. И со скоростью то же: будем рассматривать скорость по перемещению, помня, что она по модулю равна путевой.

При неравномерном прямолинейном движении скорость меняется, и направление движения может измениться на противоположное. Тогда посчитать путь тоже несложно: сложив отрезки до и после изменения направления. Но пути особого внимания не будем уделять, будем так же оперировать перемещением и скоростью по перемещению.

Средняя скорость на участке движения равна перемещению на этом участке, делённому на время, за которое это перемещение было совершено:

Первая модель – равномерное движение. Считаем, что величина скорости не меняется, за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковое перемещение. Тогда средняя скорость на любом участке и будет равна той постоянной скорости равномерного движения (запишем сразу в проекции на ось ):

Если выразить отсюда перемещение, то при известной скорости решим главную задачу механики:

Во второй модели, равноускоренного движения, величина скорости меняется. Когда скорость меняется со временем, нам становится важно знать, какое значение она принимает в разные моменты времени. Будем рассматривать скорость на таком небольшом участке, чтобы она не успела заметно измениться. Перемещение на таком участке будет мало, и пройдено оно будет за малое время – мы такое малое время называем мгновением, а среднюю скорость на этом участке – мгновенной скоростью. То есть можно говорить, что это скорость в данной точке в данный момент времени.

Скорость меняется, есть смысл ввести скорость этого изменения, насколько меняется скорость за единицу времени. Скорость изменения скорости мы уже вводили и назвали эту величину ускорением:

Ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени , на протяжении которого скорость изменилась на .

Для прямолинейного движения вдоль оси :

При равноускоренном движении считаем, что ускорение постоянно, за любые одинаковые промежутки времени скорость изменяется на одну и ту же величину.

Рис. 8. Равноускоренное движение

Выразим :

Это уравнение при известных начальной скорости и ускорении позволяет нам узнать мгновенную скорость тела в любой момент времени , .

Переход от одной системы отсчета к другой

Как перейти от одной системы отсчета к другой?

Рассмотрим тело, которое в некоторой системе отсчёта движется прямолинейно, а сама система отсчета движется вдоль той же прямой в другой системе отсчета.

Человек идет по вагону поезда по ходу движения или в противоположную сторону. Перейдем к системе отсчета, связанной с Землей. Скорость человека в системе отсчета, связанной с поездом, обозначим . Скорость поезда относительно Земли – это скорость самой системы отсчета относительно Земли, .

Для данной модели действует закон сложения скоростей. Запишем в векторном виде, скорость тела относительно Земли равна:

Это уравнение справедливо для скоростей, направленных под разными углами, и мы еще будем им пользоваться. Пока же мы работаем с движением вдоль одной оси координат, давайте перепишем уравнение в проекциях:

Здесь все эти – это проекции, индекс мы не стали писать, чтобы не загромождать формулу.

Рассмотрим другой пример. Мы едем на автомобиле со скоростью 60 км/ч и догоняем автобус, который едет со скоростью 40 км/ч в том же направлении. С какой скоростью движется автобус относительно нас?

В вопросе задачи говорится о скорости автобуса в системе отсчета, связанной с нами и нашим автомобилем, обозначим ее , ее нужно будет найти. Эта система отсчета, наш автомобиль, сама движется относительно Земли со скоростью . А скорость автобуса относительно Земли можно назвать абсолютной скоростью (Землю для задач, которые не затрагивают космос, можно считать абсолютной): . Применим закон сложения скоростей: абсолютная скорость тела равна скорости тела относительно подвижной системы отсчета плюс абсолютной скорости этой подвижной системы отсчета,

Выразим отсюда скорость автобуса относительно нашего автомобиля:

Отрицательное значение скорости означает, что она направлена противоположно направлению дороги, в котором скорости автобуса и автомобиля положительны. Действительно, из автомобиля при обгоне выглядит, как будто автобус движется со скоростью 20 км/ч навстречу.

Чтобы решить главную задачу механики, найти при равноускоренном движении, нам не хватает одного: перемещения при равноускоренном движении.

Для его нахождения удобно использовать графики функции и .

Рис.9. Графики функции и .

Рассмотрим график зависимости для равномерного прямолинейного движения:

На нем каждая точка показываем, какая координата у тела в данный момент времени. График такой зависимости – прямая линия, что иллюстрирует определение постоянной скорости: за равные промежутки времени координата изменяется на одну и ту же величину. Легко найти начальную координату – это координата в точке .

Рис. 10. Равномерное прямолинейное движение

График перемещения начинается из начала координат, так как нет нулевого перемещения, в начальный момент времени .

Чем быстрее с течением времени изменяется координата (а это значит, что больше модуль скорости), тем круче график. Если график наклонен вниз, то есть координата убывает, значит, тело движется против оси координат. Оно совершает отрицательное перемещение , и его скорость тоже отрицательна, то есть направлена противоположно оси .

Рис. 11. График равномерного движения (синим – модуль скорости больше, розовым – скорость отрицательна)

Скорость при равномерном движении не меняется, график зависимости скорости от времени – горизонтальная прямая: в любой момент времени скорость одна и та же, положительная или отрицательная.

Рис 12. Скорость прямолинейного равномерного движения

Перемещение при равномерном прямолинейном движении равно . На графике – это определенный отрезок (см. рис. 13) а – это время, которое прошло с момента начала отсчета до интересующего нас момента (рис.13).

Рис. 13. Перемещение при равномерном прямолинейном движении

А их произведение – это площадь прямоугольника, ограниченного графиком . Площадь под графиком может быть и отрицательна – если скорость отрицательна, то площадь получается «над графиком», перемещение получится отрицательным. Формально, площадь прямоугольника не может быть отрицательна, но мы будем считать, что площадь под графиком, который расположен ниже оси, берётся со знаком минус. При этом формула для вычисления не изменится: – знак минус нам обеспечит знак скорости .

Итак, можем сделать вывод: перемещение численно равно площади под графиком функции (с учётом знака).

Расширим этот инструмент определения перемещения для равноускоренного движения и найдём в этом случае.

При равноускоренном движении скорость равномерно изменяется со временем, график – прямая, всё так же, как и для графика для равномерного движения.

Рис. 14. Равноускоренное прямолинейное движение

Теперь найдем перемещение . Разобьем время движения на небольшие интервалы, за которые скорость не успеет сильно измениться. На каждом таком интервале ее можно приближенно считать постоянной.

Рис. 15. Перемещение при равноускоренном прямолинейном движении

Перемещение на каждом промежутке равно площади столбца (рис. 15, обозначены синим и голубым) – фигуры под графиком скорости. А суммарное перемещение за время – это площадь фигуры, состоящей из всех этих столбцов. Чем мельче мы разобьем эти интервалы, тем меньше успевает поменяться скорость за один интервал, тем точнее наше приближение, и тем ближе наша фигура к трапеции под графиком скорости.

Рис. 16. Наиболее точное приближение равноускоренного движения

Вычислим площадь этой трапеции. Здесь высота трапеции равна , а два основания равны начальной скорости и скорости в момент времени t, . Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Запишем:

Средняя скорость при равноускоренном движении

Как вычисляется средняя скорость на участке пути?

Нужно всё перемещение на данном участке разделить на всё время движения на этом участке, . Отсюда перемещение на участке пути можно вычислить по формуле: , как бы ни менялась скорость.

А теперь посмотрите на полученное нами из графика уравнение:

Из формулы видно, что множитель перед –это средняя скорость, в нашем случае, для равноускоренного движения, этот множитель равен:

Отметим, что мы обозначали начальную скорость движения, а – это скорость через время , то есть в конце рассматриваемого участка пути. Поэтому средняя скорость равна:

Это не строгий вывод, мы это подметили в уравнении, полученном из графика, но строгий вывод даст такую же формулу, так что можно ею пользоваться.

Получили уравнение, по которому можно найти перемещение в любой момент времени при равноускоренном прямолинейном движении. Подставим его в уравнение для координаты и получим решение основной задачи механики:

Равномерное прямолинейное движение можно считать равноускоренным движением с ускорением ноль. Подставим в эти уравнения и получим знакомые нам:

Если тело начинает двигаться из состояния покоя, в нашей модели будет , и уравнения примут вид:

Можно выбрать систему координат такую, чтобы точка начала движения совпадала в нулем координат, тогда примет вид .

Решение задач

Решим задачу.

Найдите ускорение автомобиля, если он, начиная движение со скоростью 20 м/с, движется до полной остановки 30 с.

По условию задачи автомобиль движется с ускорением. Ускорение по определению равно:

Начальная скорость дана 20 м/с, конечная 0 м/с, можем сразу вычислить ускорение:

Что значит отрицательное значение ускорения? Ускорение – векторная величина. При прямолинейном движении мы рассматриваем движение вдоль одной оси координат и пишем уравнения для проекций перемещения, скорости и ускорения. Раз мы говорим о скорости 20 м/с и она положительна, значит мы подразумеваем ось координат, сонаправленную с начальной скоростью.

А ускорение получилось отрицательным – это значит, что оно направлено противоположно этой оси и противоположно скорости. На этом примере мы увидели, что если скорость и ускорение противонаправлены, то есть их проекции имеют противоположные знаки, то скорость по модулю убывает, движение можно назвать замедленным.

Решим еще одну задачу.

Камень с поверхности земли бросают вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с. На какой высоте окажется камень через 0,5 с после броска?

Камень бросили, и он движется свободно, на него ничего не действует, кроме земного притяжения. Такое движение называется свободным полетом или свободным падением. В свободном падении вблизи поверхности Земли все тела, независимо от их массы, движутся с одинаковым ускорением, приблизительно равным . Иногда для упрощения расчетов его округляют до , получая менее точный ответ. Это ускорение направлено вертикально вниз, к центру Земли. Его назвали ускорением свободного падения и обозначили буквой . Свободное падение – это равноускоренное движение с ускорением свободного падения .

Выберем систему отсчета. Движение равноускоренное прямолинейное (бросок вертикальный), достаточно одной оси координат. Давайте направим ее в направлении начальной скорости, а начало координат выберем в точке броска. Вопрос, на какой высоте будет камень, сводится к нахождению координаты камня в указанный момент времени. Запишем уравнение для координаты при равноускоренном движении:

Осталось только переписать это уравнение в выбранной системе координат.

В нашей системе координат , начальная скорость положительна, так как сонаправлена с осью . Ускорение – это ускорение свободного падения, оно направлено противоположно оси , поэтому в нашей системе отсчета оно отрицательно.

В момент времени координата камня будет равна искомой высоте . Подставим значения и получим ответ:

Задача решена.

Ссылки на литературу:

Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е изд, передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
Перышкин А.В., Гутник Е.М., Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. — 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300.

Ссылки на источники Интернет:

Интернет-портал «raal100.narod.ru»:
Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)

Домашнее задание:

Поезд прошел по наклонной плоскости 360 метров за 15 секунд, при этом развил скорость 22 м/с. Найдите ускорение поезда.
Что имеется ввиду под выражением «Человек двигался по эскалатору»? То, что он шел по эскалатору или то, что он был неподвижен во время движения эскалатора? Относительно чего человек покоится и относительно чего движется в данном случае?
Приведите примеры равномерного и равноускоренного движения в повседневной жизни. Может ли один и тот же случай быть примером обоих типов движения?