Классы
Предметы

Кинематика. Практика

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Кинематика. Практика

На данном уроке мы рассмотрим разные варианты задач по кинематике и научимся их решать, применяя полученные знания и формулы.

Введение

При решении задач необходимо придерживаться схемы решения, которую можно применить к любой физической задаче.

1. Проанализировать условие. Определить, какие процессы происходят.

2. Определить закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записать эти закономерности в виде уравнений. Посмотреть на величины, входящие в эти формулы: определить, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости перевести величины в СИ.

3. Математическая часть: решить полученную систему уравнений. Получить ответ, подставив численные значения переменных.

Задача 1

Пассажир зашел в автобус через задние двери, а на следующей остановке вышел через передние. Одинаковое ли перемещение относительно дороги совершили между остановками автобус и пассажир?

Анализ условия. В задаче описано движение автобуса и пассажира в системе отсчета, связанной с дорогой. К пассажиру можно применить модель материальной точки, отметим ее буквой П (рис. 1). Если автобус движется прямолинейно и поступательно, перемещение всех его точек одинаково. Поэтому можно рассматривать движение автобуса как движение какой-то одной его точки. Выберем для удобства точку около задней двери, чтобы в начале движения она совпадала с пассажиром, обозначим эту точку А (рис. 1).

Рис. 1. Обозначения автобуса и пассажира

Физическая часть решения. Сравниваем перемещения двух материальных точек А и П (автобус и пассажир). В начальный момент времени они находились в одной точке. На следующей остановке, то есть в конце движения, точка А будет находиться в другой точке (рис. 2), а точка П (если А – это задняя дверь) – возле передней двери.

И если начертить векторы перемещения  и , то видно, что они не совпадают, перемещение пассажира получилось по модулю больше.

Рис. 2. Векторы перемещения пассажира и автобуса


Сложение перемещений и скоростей

Можно заметить, что, даже если автобус движется не прямолинейно, общее перемещение пассажира относительно Земли равно векторной сумме перемещения автобуса и перемещения пассажира относительно автобуса.

Если тело движется в подвижной системе отсчета, то ее абсолютное перемещение (относительно Земли) равно его относительному перемещению (относительно системы отсчета) плюс перемещению самой системы отсчета.

Мы записывали закон сложения скоростей, для нахождения скорости тела, которое движется в подвижной системе отсчета. Эти перемещения совершались одновременно, на протяжении одного и того же времени . Разделим обе части на это время :

И получим тот самый закон сложения скоростей:

Задача 2

Два автомобиля одновременно выехали из города А в город В. Первый автомобиль первую половину времени ехал со скоростью , а вторую – с меньшей скоростью . Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью , а вторую – со скоростью . Какой из автомобилей доехал до города В раньше?

Рис. 3. Задача 2

Анализ условия. В задаче описано движение автомобилей, скорость которых по ходу движения изменялась. Нас интересует общее время, затраченное на весь путь, а эти величины удобно описать понятием средней скорости:

где  – длина всего пути,  – все время, которое понадобилось для его преодоления.

У какого автомобиля средняя скорость больше, тот и доедет до города В раньше при одном и том же .

Физическая часть решения. Найдем среднюю скорость первого автомобиля (рис. 4). За первую половину времени , которую он ехал со скоростью , он проехал путь , а за вторую половину времени  он проехал путь .

Рис. 4. Средняя скорость первого автомобиля

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время. Так и запишем:

где  – это две половины времени, а  и  – это два разных участка пути.

Запишем среднюю скорость для второго автомобиля (рис. 5). У него два участка пути – это две половины пути, каждая по .

Рис. 5. Средняя скорость второго автомобиля

Двигаясь на них с разными скоростями, он на одну половину пути потратил время , а на вторую – . Запишем:

На каждом участке пути движение можно считать равномерным, скорость и перемещение на них связаны простым уравнением:


Математическая часть решения задачи 2

Рассмотрим среднюю скорость первого автомобиля.

Известны скорости автомобиля на этих участках.

Для первого и второго участка запишем (на каждый участок затрачена половина времени ):

Отсюда:

Подставим:

Выразили скорость через известные скорости  и .

Теперь найдем .

Здесь нам не известны интервалы времени  и . Выразим их тоже через скорости на двух равных участках пути:

Отсюда выразим время:

Подставим:

Осталось сравнить полученные средние скорости. Найдем их разность:

Получили положительную разность , это значит, что  больше, чем , и первый автомобиль приедет к городу В раньше, чем второй.

Задача 3

Паровая турбина имеет ротор и рабочее колесо, которые вращаются. Ротор делает 1200 оборотов в минуту, а частота вращения колеса в 40 раз меньше, чем частота вращения ротора. Определите частоту вращения и период колебания рабочего колеса турбины.

Анализ условия. В задаче описано вращение ротора и рабочего колеса турбины (рис. 6).

Рис. 6. Модель паровой турбины

Есть удобная модель для описания такого движения: равномерное движение по окружности.

По условию, за время , или в СИ , ротор делает 1200 оборотов – обозначим это количество . Частоту обозначим буквой , можно записать характеристики колеса с индексом 2, и тогда .

Физическая часть решения задачи.

Частота – количество оборотов, совершаемое за единицу времени. Если  оборотов совершается за  секунд, то за одну секунду:

Частота и период – взаимно обратные величины, запишем для колеса, т. к. о нем спрашивается в условии:

Вместе с отношением из условия  получили простую систему уравнений, из которой осталось найти частоту и период вращения колеса.

Математическая часть решения.

Подставим  из первого уравнения в третье:

Найдем из второго уравнения период:

Задача решена.

Задача 4

С какой скоростью должен лететь самолет над экватором Земли, чтобы для пассажиров самолета Солнце не изменяло своего положения на небосводе?

Анализ условия. Солнце меняет положение на небосводе из-за суточного вращения Земли вокруг своей оси. Чтобы положение Солнца относительно самолета не менялось, он должен быть как бы неподвижен относительно Солнца, хотя Земля под ним вращается вокруг своей оси. Получается, что относительно поверхности Земли самолет должен лететь в направлении, противоположном вращению Земли, со скоростью, по модулю равной линейной скорости движения поверхности Земли относительно ее оси (рис. 7).

Рис. 7. Задача 4

Вычислим эту скорость.

Физическая часть решения задачи. Применим модель равномерного движения по окружности.

Радиус Земли можно узнать из справочника, он равен приблизительно 6400 км. Самолеты летают на высоте нескольких километров, поэтому радиус окружности, по которой движется самолет, будем считать приблизительно равным радиусу Земли. Период вращения Земли – 24 часа. Можно даже не переводить в СИ и найти скорость в км/ч.

Зная период вращения и радиус траектории, линейную скорость можно вычислить по формуле:

Математическая часть. Остается подставить значения и получить скорость:

Задача решена. Для сравнения, самолеты-истребители движутся со скоростями порядка 2500 км/ч, так что полученная скорость реально достижима.

Задача 5

Тело двигалось равноускорено продолжительное время. На рисунке подан график зависимости  для этого тела начиная с некоторого момента времени (рис. 8).

Рис. 8. График зависимости

Определите время, когда тело изменило направление скорости своего движения.

Анализ условия. Задан график , по нему можно определить проекцию скорости тела в разные моменты времени, в данном случае от 0 до 6 секунд. Направление движения обозначается знаком проекции , а при равноускоренном движении скорость меняет знак, когда прямая ее графика пересекает ось  (рис. 9). Допустим, скорость уменьшается. Тогда она в точке пересечения становится равна нулю и дальше продолжает уменьшаться, приобретая отрицательные значения: тело останавливается и начинает разгоняться в противоположном направлении.

Рис. 9. Равноускоренное движение

Надо найти момент, когда скорость равна нулю.

Физическая часть решения. Запишем уравнение для скорости при равноускоренном движении:

Оно связывает любой момент времени  со скоростью в этот момент . Скорость в момент   найдем из графика, . Не хватает только ускорения.

Ускорение по определению равно:

Ускорение постоянно, поэтому выберем на графике любой удобный интервал, на котором сможем определить начальную и конечную скорость и длительность интервала. Например, от момента  до момента . В эти моменты скорости равны , и .

Математическая часть решения. Подставим ускорение, которое мы практически вычислили, в уравнение для скорости:

Нам нужно найти момент времени , когда . Так и запишем в уравнении, что скорость в этот момент равна 0:

В это уравнении, кроме искомого , все известно, осталось выразить :

Внесем минус под знак дроби:

Знаком плюс или минус мы обозначаем направление, в котором движемся: по направлению или против направления оси.  – это момент начала наблюдения. Когда мы говорим о моментах позже некоторого момента, мы прибавляем время, а когда говорим о моментах раньше – отнимаем. Момент  означает момент за 4 секунды до начала наблюдения.

Задача 6

По прямолинейному участку дороги идет пешеход с постоянной скоростью . Его догоняет мотоциклист, который увеличивает скорость, двигаясь с ускорением . Через какое время мотоцикл обгонит пешехода, если на момент начала отсчета времени расстояние между ними составляло , а мотоцикл двигался со скоростью ? Какой путь пройдет мотоциклист за это время?

Анализ условия. В задаче описано прямолинейное движение: равноускоренное для мотоциклиста и равномерное для пешехода. Выберем систему координат и будем описывать эти движения математически.

Физическая часть решения задачи. Выберем систему отсчета. Удобно направить ось х в направлении движения пешехода и мотоциклиста. Начало координат для удобства поместим в точку, из которой начинает движение мотоцикл: левее него у нас ничего не будет.

Нас интересует момент, когда мотоциклист и пешеход встретятся, то есть будут находиться одновременно в одной координате. Запишем уравнение для координаты тела в любой момент времени:

Запишем это уравнение для наших тел. Для мотоцикла в нашей системе отсчета , начальная скорость задана, , .

Для пешехода начальная координата на расстоянии 300 м от мотоцикла в направлении оси , то есть . Начальная скорость равна , и она постоянная, так как ускорение .

В момент обгона мотоциклист и пешеход находятся в одной точке, их координаты равны, запишем это:

Или:


Математическая часть решения задачи 6

Решим квадратное уравнение:

Что означает момент времени ? Даже если мотоциклист и пешеход так же двигались все это время, то нас интересует не этот момент, а момент обгона после начала наблюдения. Поэтому оставляем одно решение: .

Зная уравнение движения мотоцикла, найдем его координату в момент встречи :

Эту же точку можно было найти и из уравнения движения пешехода, все равно они в этот момент находятся в одной точке: .

Так вот, перемещение мотоциклиста, по определению, равно:

А так как мотоциклист все это время двигался в одном направлении вдоль одной прямой, то его путь будет равен тем же 320 метрам.

Задача решена.

Задача 7

На рисунке дан график проекции скорости движения некоторого тела (рис. 10).

Рис. 10. График проекции скорости движения тела

Определите путь и перемещение тела на протяжении  после начала отсчета времени. Запишите уравнение координаты, если в момент времени  тело было в точке с координатой .

Анализ условия. На графике видно, что скорость изменяется линейно, значит, описано равноускоренное движение, будем использовать уравнения для равноускоренного движения. Найти координату и перемещение легко из уравнения для координаты . Обратите внимание на график: тело двигалось сначала в направлении оси координат, потом остановилось и начало двигаться в обратном направлении. Это значит, что путь не будет равен перемещению (рис. 11), нужно найти путь до и после остановки.

Рис. 11. Перемещение тела

Физическая часть решения. Запишем уравнение для координаты:

Начальная координата дана в условии: . Это скорость в момент времени , . Ускорение по определению равно:

Его можно найти на графике. Выберем интервал времени от 0 до 2 с. Скорость за эти 2 с изменилась от 20 до 0 м/с:

Математическая часть решения. Часть расчетов уже выполнена, получено уравнение для координаты:

Координата тела в момент времени  равна:

Найдем перемещение:

В момент времени  перемещение равно:

На графике видно, что тело остановилось в момент времени . Найдем координату тела в этот момент:

Теперь понятно: тело начало движение из точки , затем оказалось в точке , то есть прошло путь . Затем развернулось и из точки  попало в точку , то есть прошло еще . В сумме путь составил .

Задача решена.

Задача 8

Воздушный шар равномерно поднимается со скоростью . На высоте  от земли с него упало небольшое тело. Через какой интервал времени это тело упадет на землю? Какой будет скорость движения тела в момент падения? Падение тела считайте свободным.

Анализ условия. В задаче описано свободное падение тела с воздушного шара. Свободное падение – это равноускоренное движение с ускорением . Так как это тело упало с шара, который поднимался со скоростью , это будет начальной скоростью этого тела.

Физическая часть решения. Выберем систему отсчета. Направим ось координат вертикально вниз, куда будет падать тело. А начало координат поместим в точку, откуда оно падает, то есть на высоту 7 м над поверхностью (рис. 12).

Рис. 12. Система отсчета

В задаче рассматривается падение тела на землю, то есть координата тела будет в нашей системе равна 7 м. Запишем уравнения для координаты и скорости:

В данной системе координат начальная координата равна нулю: . Проекция скорости направлена против оси координат, поэтому равна заданной по условию скорости со знаком минус, , ускорение свободного падения положительно, для простоты расчетов округлим его до десяти: .

Уравнения принимают вид:


Математическая часть решения задачи 8

Мы ищем время, за которое тело упадет на землю, то есть его координата в этот момент времени  равна . Подставим все известные значения в уравнение для координаты:

Решим уравнение:

Решение  отбрасываем, так как за секунду до падения тело еще поднималось на шаре. А момент  – это и есть наше решение.

Из уравнения для скорости  найдем скорость тела в момент падения :

Задача решена.

 

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е изд., передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

2. Перышкин А.В., Гутник Е.М., Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)

2. Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)

3. Интернет-сайт «Класс!ная физика» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Лифт в течение первых 3 c поднимается равноускоренно и достигает скорости 3 м/с, с которой продолжает равномерный подъем в течение 6 c. Затем движется с прежним по модулю ускорением до полной остановки. Построить график зависимости скорости подъема лифта от времени и определить высоту подъема.

2. Тело начало двигаться вдоль оси x с постоянной скоростью 6 м/с из точки, имеющей координату −7 м. Через сколько секунд координата тела окажется равной 5 м?

3. Шкив диаметром 1 метр делает 500 оборотов за 300 секунд. Определить угловую и линейную скорости точки на ободе шкива, период вращения шкива.