Начнем описывать криволинейное движение с самой простой модели – окружности, которая описывается одним параметром – радиусом.

Рис. 4. Окружность как модель криволинейного движения

Конец стрелки часов движется на одном и том же расстоянии длины стрелки от точки ее крепления. Точки обода колеса все время остаются на одном расстоянии от оси – на расстоянии длины спицы. Мы продолжаем изучать движение материальной точки и работаем в рамках этой модели.

Поступательное и вращательное движение

Поступательное движение – это такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково: с одинаковой скоростью, совершая одинаковое перемещение. Взмахните рукой и проследите: понятно, что ладонь и плечо двигались по-разному. Посмотрите на колесо обозрения: точки вблизи оси почти не движутся, а кабинки движутся с другой скоростью и по другим траекториям. Посмотрите на прямолинейно движущийся автомобиль: если не учитывать вращение колес и движение частей мотора, все точки автомобиля движутся одинаково, движение автомобиля считаем поступательным. Тогда нет смысла описывать движение каждой точки, можно описать движение одной. Автомобиль считаем материальной точкой. Обратите внимание, что при поступательном движении линия, соединяющая любые две точки тела при движении, остается параллельной сама себе.

Второй вид движения по этой классификации – вращательное движение. При вращательном движении все точки тела движутся по окружности вокруг какой-то одной оси. Эта ось может пересекать тело, как в случае с колесом обозрения, а может не пересекать, как в случае с автомобилем на повороте.

Рис. 5. Вращательное движение

Но не любое движение можно отнести к какому-то одному из двух видов. Как описать движение педалей велосипеда относительно Земли – это какой-то третий тип? Наша модель удобна тем, что можно рассматривать движение как комбинацию поступательного и вращательного движений: относительно своей оси педали вращаются, а ось вместе со всем велосипедом движется поступательно относительно Земли.

Конец стрелки часов за равные временные промежутки будет проходить одинаковый путь. То есть можно говорить о равномерности его движения. Скорость – это векторная величина, поэтому для того, чтобы она была постоянной, должны не меняться как ее модуль, так и направление. И если модуль скорости при движении по окружности меняться не будет, то направление будет меняться постоянно.

Рассмотрим равномерное движение по окружности.

Почему выбрали не рассматривать перемещение

Рассмотрим, как изменяется перемещение при движении по окружности. Точка находилась в одном месте (см. рис. 6) и прошла четверть окружности.

Рис. 6. Вектор перемещения

Проследим за перемещением при дальнейшем движении – сложно описать закономерность, по какой оно изменяется, и такое рассмотрение малоинформативно. Есть смысл рассматривать перемещение на промежутках, достаточно небольших, чтобы можно было считать их приблизительно равными.

Введем несколько удобных характеристик движения по окружности.

Какого бы размера часы ни взяли, за 15 минут конец минутной стрелки всегда пройдет четверть окружности циферблата. А за час совершит полный оборот. При этом путь будет зависеть от радиуса окружности, а вот угол поворота – нет. То есть угол тоже будет изменяться равномерно. Поэтому, кроме пройденного пути, будем говорить еще и об изменении угла. Как мы знаем, угол пропорционален дуге, на которую он опирается:

Рис. 7. Изменение угла отклонения стрелки

Раз угол изменяется равномерно, то можно, по аналогии с путевой скоростью, показывающей путь, который проходит тело за единицу времени, ввести угловую скорость: угол, на который поворачивается тело (или, который проходит тело) за единицу времени, .

То есть на сколько радиан проворачивается точка за секунду. Измеряться она, соответственно, будет в рад/с.

Равномерное движение по окружности – повторяющийся процесс, или, по-другому, периодический. Когда точка делает полный оборот, она оказывается снова в исходном положении и движение повторяется.

Примеры периодических явлений в природе

Многие явления имеют периодический характер: смена дня и ночи, смена времен года. Здесь ясно, что именно является периодом: сутки и год соответственно.

Есть и другие периоды: пространственные (узор с периодически повторяющимися элементами, ряд деревьев, расположенных с равными интервалами), периоды в записи чисел. Периоды в музыке, стихах.

Периодические явления описываются тем, что происходит за период, и длиной этого периода. Например, суточный цикл – восход-заход солнца и период – время, за которое все повторяется, – 24 часа. Пространственный узор – единичный элемент узора и как часто он повторяется (или его длина). В десятичном представлении обыкновенной дроби – это последовательность цифр в периоде (то, что стоит в скобках) и длина/период – количество цифр: в 1/3 – одна цифра, в 1/17 – 16 цифр.

Рассмотрим некоторые временные периоды.

Период обращения Земли вокруг своей оси = день + ночь = 24 ч.

Период обращения Земли вокруг Солнца = 365 периодов обращения день + ночь.

Период обращения часовой стрелки по циферблату 12 часов, минутной – 1 час.

Период колебания маятника часов – 1 с.

Период измеряют в общепринятых единицах времени (секунда в СИ, минута, час и т. д.).

Период узора измеряют в единицах длины (м, см), период в десятичной дроби – в количестве цифр в периоде.

конец.

Период – это время, за которое точка при равномерном движении по окружности совершает один полный оборот. Обозначим его большой буквой .

Если за время совершается оборотов, то один оборот совершается, очевидно, за время .

Чтобы судить о том, как часто повторяется процесс, введем величину, которую так и назовем – частота.

Частота появления Солнца за год – 365 раз. Частота появления полной Луны за год – 12, иногда 13 раз. Частота прихода весны за год – 1 раз.

Для равномерного движения по окружности частота – это количество полных оборотов, которое совершает точка за единицу времени. Если за t секунд совершается оборотов, то за каждую секунду совершается оборотов. Обозначим частоту , иногда ее также обозначают или . Измеряется частота в оборотах за секунду, эту величину назвали герц, по фамилии ученого Герца.

Частота и период – взаимно обратные величины: чем чаще что-то происходит, тем короче должен длиться период. И наоборот: чем дольше длится один период, тем реже происходит событие.

Математически можем записать обратную пропорциональность: или .

Итак, период – это время, за которое тело совершает полный оборот. Понятно, что он должен быть связан с угловой скоростью: чем быстрее меняется угол, тем быстрее тело вернется в начальную точку, то есть совершит полный оборот.

Рассмотрим один полный оборот. Угловая скорость – это угол, на который поворачивается тело за единицу времени. На какой угол должно повернуться тело при полном обороте? 3600, или в радианах . Время полного оборота – это период . Значит, по определению, угловая скорость равна: .

Найдем и путевую скорость – ее еще называют линейной – рассмотрев один оборот. Точка за время , один период, тело совершает полный оборот, то есть проходит путь, равный длине окружности . Отсюда выражаем скорость по определению как путь, деленный на время: .

Если учесть, что – это угловая скорость , то получим связь линейной и угловой скорости:

Задача

С какой частотой нужно вращать ворот колодца, чтобы ведро поднималось со скоростью 1 м/с, если радиус сечения ворота равен ?

В задаче описано вращение ворота – применим к нему модель вращательного движения, рассмотрев точки его поверхности.

Рис. 8. Модель вращения ворота

Речь идет также о движении ведра. Ведро прикреплено веревкой к вороту, и эта веревка наматывается. Это значит, что любая часть веревки, в том числе намотанная на ворот, движется с такой же скоростью, что и ведро. Таким образом, у нас задана линейная скорость точек поверхности ворота.

Физическая часть решения. Речь о линейной скорости движения по окружности, она равна: .

Период и частота – взаимно обратные величины, запишем: .

Получили систему уравнений, которую осталось только решить – это будет математическая часть решения. Подставим в первое уравнение частоту вместо : .

Выразим отсюда частоту: .

Вычислим, переведя радиус в метры:

Получили ответ: нужно вращать ворот с частотой 1,06 Гц, то есть делать за одну секунду приблизительно один оборот.

Представим, что у нас двигаются два одинаковых тела. Одно – по окружности, а другое (в таких же условиях и с такими же характеристиками), но по правильному многоугольнику. Чем больше сторон у такого многоугольника, тем меньше будут отличаться для нас движения этих двух тел.

Рис. 9. Криволинейное движение по окружности и по многоугольнику

Разница в том, что второе тело на каждом участке (стороне многоугольника) двигается по прямой линии.

На каждом таком отрезке обозначим перемещение тела . Перемещение здесь двумерный вектор , на плоскости.

Рис. 10. Перемещение тела при криволинейном движении по многоугольнику

На этом маленьком участке перемещение совершено за время . Разделим и получим вектор скорости на этом участке.

С увеличением количества сторон многоугольника длина его стороны будет уменьшаться: . Поскольку модуль скорости тела постоянен, то и время преодоления этого отрезка будет стремиться к 0: .

Соответственно, скорость тела на таком малом участке будет называться мгновенной скоростью.

Чем меньше будет сторона многоугольника, тем ближе она будет к касательной к окружности. Поэтому в предельном, идеальном случае () можем считать, что мгновенная скорость в данной точке направлена по касательной к окружности.

А сумма модулей перемещения будет все меньше отличаться от пути, который точка проходит по дуге. Поэтому мгновенная скорость по модулю будет совпадать с путевой скоростью и все те соотношения, которые мы получили раньше, будут верными и для модуля мгновенной скорости по перемещению. Даже обозначать ее можно , имея в виду .

Скорость направлена по касательной, ее модуль мы найти тоже можем. Найдем скорость в другой точке. Ее модуль такой же, так как движение равномерное, а направлена она по касательной к окружности уже в этой точке.

Рис. 11. Скорость тела по касательной

Это не один и тот же вектор, они равны по модулю, но у них разное направление, . Скорость изменилась, а раз она изменилась, то можно это изменение посчитать: