Введение
Существуют ли на самом деле прямые линии? Кажется, что они окружают нас повсюду. Но рассмотрим поближе край стола, корпус или экран монитора: в них всегда найдется выемка, шероховатость материала. Посмотрим в микроскоп, и сомнения в кривизне этих линий отпадут.
Получается, прямая – это действительно абстракция, что-то идеальное и несуществующее. Но с помощью этой абстракции можно описывать множество реальных объектов, если при их рассмотрении нам не важны их мелкие неровности и мы можем считать их прямыми.
Границы применимости различных моделей движения тела
Мы рассмотрели самое простое движение – равномерное прямолинейное движение. Это такая же идеализация, как и сама прямая линия. В реальном мире движутся реальные объекты, и их траектория не может быть идеально прямой. Автомобиль движется из города А в город Б: абсолютно ровной дороги между городами быть не может и постоянную скорость удержать не получится. Тем не менее с помощью модели равномерного прямолинейного движения мы можем описывать даже такое движение.
Эта модель для описания движения применима не всегда.
1) Движение может быть неравномерным.
2) Например, крутится карусель – движение есть, но не по прямой. То же можно сказать про мяч, по которому бьет футболист. Или про движение Луны вокруг Земли. В этих примерах движение происходит по криволинейной траектории.
Значит, раз есть такие задачи, нужен удобный инструмент для описания движения вдоль кривой.
Движение по прямой и по кривой
Одну и ту же траекторию движения мы можем в одной задаче считать прямой, а в другой – нет. Это условность, зависит от того, что нас интересует в данной задаче.
Если задача о машине, которая едет из Москвы в Санкт-Петербург, то дорога не прямая, но на таких расстояниях все эти повороты нас не интересуют – то, что на них происходит, пренебрежимо мало. Более того, мы говорим о средней скорости, которая учитывает все эти заминки на поворотах, из-за них просто средняя скорость станет меньше. Поэтому можно перейти к эквивалентной задаче – можно «распрямить» траекторию, сохранив длину и скорость – получим тот же результат. Значит, модель прямолинейного движения здесь подходит. Если же задача о движении машины на конкретном повороте или во время обгона, то нам может оказаться важна кривизна траектории и мы будем применять другую модель.
Разобьем движение вдоль кривой на участки достаточно маленькие, чтобы считать их прямыми отрезками. Представим пешехода, который движется по сложной траектории, обходит препятствия, но он идет и делает шаги. Нет криволинейных шагов, это отрезки от отпечатка стопы к отпечатку.
Рис. 1. Криволинейная траектория
Мы разбили движение на небольшие отрезки, а описывать движение на каждом таком отрезке как прямолинейное мы умеем. Чем короче будут эти прямые отрезки, тем точнее будут приближения.
Рис. 2. Приближение криволинейного движения
Такой математический инструмент, как разбиение на маленькие промежутки, мы использовали, когда находили перемещение при прямолинейном равноускоренном движении: разбили движение на участки настолько малые, чтобы изменение скорости на этом участке было незначительным и движение можно было считать равномерным. Вычислить перемещение на каждом таком участке было легко, затем оставалось сложить перемещение на каждом участке и получить суммарное.
Рис. 3. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении
Движение по окружности
Начнем описывать криволинейное движение с самой простой модели – окружности, которая описывается одним параметром – радиусом.
Рис. 4. Окружность как модель криволинейного движения
Конец стрелки часов движется на одном и том же расстоянии длины стрелки от точки ее крепления. Точки обода колеса все время остаются на одном расстоянии от оси – на расстоянии длины спицы. Мы продолжаем изучать движение материальной точки и работаем в рамках этой модели.
Поступательное и вращательное движение
Поступательное движение – это такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково: с одинаковой скоростью, совершая одинаковое перемещение. Взмахните рукой и проследите: понятно, что ладонь и плечо двигались по-разному. Посмотрите на колесо обозрения: точки вблизи оси почти не движутся, а кабинки движутся с другой скоростью и по другим траекториям. Посмотрите на прямолинейно движущийся автомобиль: если не учитывать вращение колес и движение частей мотора, все точки автомобиля движутся одинаково, движение автомобиля считаем поступательным. Тогда нет смысла описывать движение каждой точки, можно описать движение одной. Автомобиль считаем материальной точкой. Обратите внимание, что при поступательном движении линия, соединяющая любые две точки тела при движении, остается параллельной сама себе.
Второй вид движения по этой классификации – вращательное движение. При вращательном движении все точки тела движутся по окружности вокруг какой-то одной оси. Эта ось может пересекать тело, как в случае с колесом обозрения, а может не пересекать, как в случае с автомобилем на повороте.
Рис. 5. Вращательное движение
Но не любое движение можно отнести к какому-то одному из двух видов. Как описать движение педалей велосипеда относительно Земли – это какой-то третий тип? Наша модель удобна тем, что можно рассматривать движение как комбинацию поступательного и вращательного движений: относительно своей оси педали вращаются, а ось вместе со всем велосипедом движется поступательно относительно Земли.
Конец стрелки часов за равные временные промежутки будет проходить одинаковый путь. То есть можно говорить о равномерности его движения. Скорость – это векторная величина, поэтому для того, чтобы она была постоянной, должны не меняться как ее модуль, так и направление. И если модуль скорости при движении по окружности меняться не будет, то направление будет меняться постоянно.
Рассмотрим равномерное движение по окружности.
Почему выбрали не рассматривать перемещение
Рассмотрим, как изменяется перемещение при движении по окружности. Точка находилась в одном месте (см. рис. 6) и прошла четверть окружности.
Проследим за перемещением при дальнейшем движении – сложно описать закономерность, по какой оно изменяется, и такое рассмотрение малоинформативно. Есть смысл рассматривать перемещение на промежутках, достаточно небольших, чтобы можно было считать их приблизительно равными.
Введем несколько удобных характеристик движения по окружности.
Какого бы размера часы ни взяли, за 15 минут конец минутной стрелки всегда пройдет четверть окружности циферблата. А за час совершит полный оборот. При этом путь будет зависеть от радиуса окружности, а вот угол поворота – нет. То есть угол тоже будет изменяться равномерно. Поэтому, кроме пройденного пути, будем говорить еще и об изменении угла. Как мы знаем, угол пропорционален дуге, на которую он опирается:
Рис. 7. Изменение угла отклонения стрелки
Раз угол изменяется равномерно, то можно, по аналогии с путевой скоростью, показывающей путь, который проходит тело за единицу времени, ввести угловую скорость: угол, на который поворачивается тело (или, который проходит тело) за единицу времени, 
.
То есть на сколько радиан проворачивается точка за секунду. Измеряться она, соответственно, будет в рад/с.
Равномерное движение по окружности – повторяющийся процесс, или, по-другому, периодический. Когда точка делает полный оборот, она оказывается снова в исходном положении и движение повторяется.
Примеры периодических явлений в природе
Многие явления имеют периодический характер: смена дня и ночи, смена времен года. Здесь ясно, что именно является периодом: сутки и год соответственно.
Есть и другие периоды: пространственные (узор с периодически повторяющимися элементами, ряд деревьев, расположенных с равными интервалами), периоды в записи чисел. Периоды в музыке, стихах.
Периодические явления описываются тем, что происходит за период, и длиной этого периода. Например, суточный цикл – восход-заход солнца и период – время, за которое все повторяется, – 24 часа. Пространственный узор – единичный элемент узора и как часто он повторяется (или его длина). В десятичном представлении обыкновенной дроби – это последовательность цифр в периоде (то, что стоит в скобках) и длина/период – количество цифр: в 1/3 – одна цифра, в 1/17 – 16 цифр.
Рассмотрим некоторые временные периоды.
Период обращения Земли вокруг своей оси = день + ночь = 24 ч.
Период обращения Земли вокруг Солнца = 365 периодов обращения день + ночь.
Период обращения часовой стрелки по циферблату 12 часов, минутной – 1 час.
Период колебания маятника часов – 1 с.
Период измеряют в общепринятых единицах времени (секунда в СИ, минута, час и т. д.).
Период узора измеряют в единицах длины (м, см), период в десятичной дроби – в количестве цифр в периоде.
конец.
Период – это время, за которое точка при равномерном движении по окружности совершает один полный оборот. Обозначим его большой буквой 
.
Если за время 
совершается 
оборотов, то один оборот совершается, очевидно, за время 
.
Чтобы судить о том, как часто повторяется процесс, введем величину, которую так и назовем – частота.
Частота появления Солнца за год – 365 раз. Частота появления полной Луны за год – 12, иногда 13 раз. Частота прихода весны за год – 1 раз.
Для равномерного движения по окружности частота – это количество полных оборотов, которое совершает точка за единицу времени. Если за t секунд совершается оборотов, то за каждую секунду совершается 
оборотов. Обозначим частоту 
, иногда ее также обозначают 
или 
. Измеряется частота в оборотах за секунду, эту величину назвали герц, по фамилии ученого Герца.
Частота и период – взаимно обратные величины: чем чаще что-то происходит, тем короче должен длиться период. И наоборот: чем дольше длится один период, тем реже происходит событие.
Математически можем записать обратную пропорциональность: 
или 
.
Итак, период – это время, за которое тело совершает полный оборот. Понятно, что он должен быть связан с угловой скоростью: чем быстрее меняется угол, тем быстрее тело вернется в начальную точку, то есть совершит полный оборот.
Рассмотрим один полный оборот. Угловая скорость – это угол, на который поворачивается тело за единицу времени. На какой угол должно повернуться тело при полном обороте? 3600, или в радианах 
. Время полного оборота – это период . Значит, по определению, угловая скорость равна: 
.
Найдем и путевую скорость – ее еще называют линейной – рассмотрев один оборот. Точка за время , один период, тело совершает полный оборот, то есть проходит путь, равный длине окружности 
. Отсюда выражаем скорость по определению как путь, деленный на время: 
.
Если учесть, что 
– это угловая скорость 
, то получим связь линейной и угловой скорости:
Задача
С какой частотой нужно вращать ворот колодца, чтобы ведро поднималось со скоростью 1 м/с, если радиус сечения ворота равен 
?
В задаче описано вращение ворота – применим к нему модель вращательного движения, рассмотрев точки его поверхности.
Рис. 8. Модель вращения ворота
Речь идет также о движении ведра. Ведро прикреплено веревкой к вороту, и эта веревка наматывается. Это значит, что любая часть веревки, в том числе намотанная на ворот, движется с такой же скоростью, что и ведро. Таким образом, у нас задана линейная скорость точек поверхности ворота.
Физическая часть решения. Речь о линейной скорости движения по окружности, она равна: .
Период и частота – взаимно обратные величины, запишем: .
Получили систему уравнений, которую осталось только решить – это будет математическая часть решения. Подставим в первое уравнение частоту вместо 
: 
.
Выразим отсюда частоту: 
.
Вычислим, переведя радиус в метры:
Получили ответ: нужно вращать ворот с частотой 1,06 Гц, то есть делать за одну секунду приблизительно один оборот.
Представим, что у нас двигаются два одинаковых тела. Одно – по окружности, а другое (в таких же условиях и с такими же характеристиками), но по правильному многоугольнику. Чем больше сторон у такого многоугольника, тем меньше будут отличаться для нас движения этих двух тел.
Рис. 9. Криволинейное движение по окружности и по многоугольнику
Разница в том, что второе тело на каждом участке (стороне многоугольника) двигается по прямой линии.
На каждом таком отрезке обозначим перемещение тела 
. Перемещение здесь двумерный вектор , на плоскости.
Рис. 10. Перемещение тела при криволинейном движении по многоугольнику
На этом маленьком участке перемещение совершено за время . Разделим 
и получим вектор скорости 
на этом участке.
С увеличением количества сторон многоугольника длина его стороны будет уменьшаться: 
. Поскольку модуль скорости тела постоянен, то и время преодоления этого отрезка будет стремиться к 0: 
.
Соответственно, скорость тела на таком малом участке будет называться мгновенной скоростью.
Чем меньше будет сторона многоугольника, тем ближе она будет к касательной к окружности. Поэтому в предельном, идеальном случае (
) можем считать, что мгновенная скорость в данной точке направлена по касательной к окружности.
А сумма модулей перемещения будет все меньше отличаться от пути, который точка проходит по дуге. Поэтому мгновенная скорость 
по модулю будет совпадать с путевой скоростью и все те соотношения, которые мы получили раньше, будут верными и для модуля мгновенной скорости по перемещению. Даже обозначать ее можно 
, имея в виду .
Скорость направлена по касательной, ее модуль мы найти тоже можем. Найдем скорость в другой точке. Ее модуль такой же, так как движение равномерное, а направлена она по касательной к окружности уже в этой точке.
Рис. 11. Скорость тела по касательной
Это не один и тот же вектор, они равны по модулю, но у них разное направление, 
. Скорость изменилась, а раз она изменилась, то можно это изменение посчитать:
Ускорение при равномерном движении по окружности
Изменение скорости за единицу времени, по определению, – это ускорение:
Вычислим ускорение при движении по окружности. Изменение скорости .
Рис. 12. Графическое вычитание векторов
Получили вектор 
. Ускорение направлено туда же, куда (эти векторы связаны соотношением 
, а значит, сонаправлены).
Чем меньше участок АВ, тем больше будут совпадать векторы скорости 
и 
, а будет все ближе к перпендикуляру к ним обоим.
Рис. 13. Зависимость скорости от размера участка
То есть будет лежать вдоль перпендикуляра к касательной (скорость направлена по касательной), а, значит, ускорение будет направлено к центру окружности, вдоль радиуса. Вспомните из курса математики: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Когда тело проходит малый угол 
, вектор скорости, который направлен по касательной к радиусу, также поворачивается на угол .
Доказательство равенства углов
Рассмотрим четырехугольник АСВО. Сумма углов четырехугольника равна 360°. 
(как углы между радиусами, проведенными в точки касания, и касательными).
Тогда:
.
Угол между направлениями скорости в точках А и В () и 
– смежные при прямой АС, тогда 
,
Ранее получили 
, отсюда 
.
На малом участке AB перемещение точки по модулю практически совпадает с путем, то есть с длиной дуги: 
.
Треугольники АВО и треугольник, составленный векторами скорости в точках А и В, подобны (из точки А вектор перенесли параллельно себе в точку В).
Эти треугольники равнобедренные (ОА = ОВ – радиусы, 
– так как движение равномерное), у них равны углы между боковыми сторонами (только что доказали в ответвлении). Значит, и равные между собой углы при основании у них будут равны. Равенства углов достаточно, чтобы утверждать, что треугольники подобны.
Из подобия треугольников запишем: сторона АВ (а она равна ) относится к радиусу окружности 
как модуль изменения скорости 
относится к модулю скорости : 
.
Пишем без векторов, потому что нас интересуют длины сторон треугольников. Мы все это ведем к ускорению, оно связано с изменением скорости, 
или 
. Подставим, получим: 
.
Отсюда: 
.
Вывод формулы получился достаточно сложным, но можно запомнить готовый результат и использовать его при решении задач.
В какой бы мы точке ни нашли ускорение при равномерном движении по окружности, оно по модулю равно и в любой точке направлено к центру окружности. Поэтому его еще называют центростремительным ускорением.
Задача 2. Центростремительное ускорение
Решим задачу.
Найдите, с какой скоростью движется автомобиль на повороте, если считать поворот частью окружности с радиусом 40 м, а центростремительное ускорение равно 
.
Анализ условия. В задаче описано движение по окружности, речь идет о центростремительном ускорении. Запишем формулу для центростремительного ускорения:
Ускорение и радиус окружности даны, остается только выразить и вычислить скорость:
Или, если перевести в км/ч, то это около 32 км/ч.
Чтобы изменилась скорость тела, на него должно подействовать другое тело с какой-то силой или, если сказать проще, должна подействовать сила. Чтобы тело двигалось по окружности с центростремительным ускорением, на него тоже должна действовать сила, которая это ускорение создает. В случае с автомобилем на повороте это сила трения, поэтому нас заносит на поворотах, когда на дорогах гололед. Если мы раскручиваем что-то на веревке, это сила натяжения веревки – и мы чувствуем, как она сильнее натягивается. Как только эта сила пропадает, например, нить рвется, тело в отсутствии сил по инерции сохраняет скорость – ту скорость, направленную по касательной к окружности, которая была в момент отрыва. И это можно увидеть, проследив за направлением движения этого тела (рисунок). По этой же причине нас прижимает к стенке транспорта на повороте: мы по инерции движемся так, чтобы сохранять скорость, нас как бы выбрасывает из окружности, пока мы не упремся в стену и не возникнет сила, которая сообщит центростремительное ускорение.
Заключение
Раньше у нас был всего один инструмент – модель прямолинейного движения. Мы смогли описать еще одну модель – движения по окружности.
Это часто встречающийся вид движения (повороты, колеса транспорта, планеты и т. д.), поэтому понадобился отдельный инструмент (каждый раз приближать траекторию маленькими прямыми отрезками не очень удобно).
Теперь у нас есть два «кирпичика», а значит, с их помощью мы сможем построить здания более сложной формы – решать более сложные задачи с комбинированными типами движений.
Этих двух моделей нам будет достаточно для решения большинства кинематических задач.
Например, такое движение можно представить как движение по дугам трех окружностей. Или такой пример: автомобиль ехал прямо по улице и разгонялся, потом повернул и поехал с постоянной скоростью по другой улице.
Рис. 14. Разбиение на участки траектории движения автомобиля
Мы рассмотрим три участка и к каждому применим одну из простых моделей.
Список литературы
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е изд., передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
- Перышкин А.В., Гутник Е.М. Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений/А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 .
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)
- Интернет-сайт «Внеклассный урок» (Источник)
- Интернет-сайт «Класс!ная физика» (Источник)
Домашнее задание
- Приведите примеры криволинейного движения в повседневной жизни. Может ли это движение быть прямолинейным в каком-либо построении условия?
- Определите центростремительное ускорение, с которым движется Земля вокруг Солнца.
- Два велосипедиста с постоянными скоростями стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы. Через 10 минут после старта один из велосипедистов в первый раз догнал другого. Через какое время после старта первый велосипедист во второй раз догонит другого?
