Классы
Предметы

Теоретическая справка: Виды функций. Графики функций

Степенная функция (линейная, квадратичная, дробно-рациональная, корень)

Линейная функция

Линейной называется функция вида , где  угловой коэффициент,  свободный член. Графиком такой функции является прямая (любую прямую можно однозначно восстановить по 2 точкам).

Свободный коэффициент  задаёт точку пересечения прямой с осью ординат, так как . Угловой коэффициент , где  – угол между прямой и положительным направлением оси .

Свойства линейной функции :

  • Область определения :
  • Область значений :  (если ),  (если )
  • Четность/нечетность:
  1. если , функция общего вида
  2. если , функция нечетная (функция вида  называется прямой пропорциональностью)
  3. если , функция четная
  4. если , функция равна нулю, то есть одновременно и четная, и нечетная
  • Монотонность функции:
  1. если , то функция возрастает
  2. если , то функция убывает
  3. если , то функция постоянна (параллельна оси абсцисс)

Взаимное размещение графиков линейных функций:

  1. если , графики функций  и  пересекаются в одной точке
  2. если , , графики функций  и  являются параллельными прямыми
  3. если , , графики функций  и  прямые совпадают

Квадратичная функция

Квадратичной называется функция вида , где  – старший коэффициент,  – коэффициент при ,  – свободный член. Графиком квадратичной функции является парабола.

Координаты вершины параболы находятся по формулам:

Если ,  – точка минимума квадратичной функции. Если ,  – точка максимума квадратичной функции.  легче всего найти, подставив абсциссу вершины в квадратный трёхчлен.

Точки пересечения с осью  определяются решением уравнения .

Возможны три случая:

  1. : две точки пересечения с осью  (корни квадратного уравнения): . Вершина лежит посередине между точками пересечения с осью .
  2. : одна точка касания с осью :  . В этом случае вершина совпадает с точкой касания с осью , то есть лежит на оси абсцисс.
  3. : нет общих точек с осью . Это значит, что парабола находится либо полностью выше оси , либо полностью ниже оси .

От знаков параметров зависит вид параболы:

 ветки параболы направлены вверх;

 ветки параболы направлены вниз;

 – влияет на положение вершины параболы;

 определяет координату пересечения параболы с осью ординат: .

Таким образом, по коэффициентам квадратичной функции мы можем найти:

  1. направление веток параболы,
  2. точки пересечения с осями,
  3. координаты вершины параболы.

Свойства квадратичной функции :

  • Область определения:
  • Область значений:
  1. при
  2. при
  • Четность/нечетность:
  1. при  функция четная
  2. при  функция общего вида
  • Монотонность функции
  1. при :
  2. при :

Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональной называется функция вида , графиком которой является гипербола.

Эту функцию ещё называют обратной пропорциональностью, т.к. при увеличении (уменьшении) аргумента в несколько раз, значение функции во столько же раз уменьшается (увеличивается).

У графика есть асимптоты (оси координат). Их две: горизонтальная и вертикальная.

Если , то ветки гиперболы расположены в и  координатных четвертях.

Если , то ветки гиперболы расположены во  и IV координатных четвертях.

Свойства дробно-рациональной функции:

  • Область определения:
  • Область значения:
  • График дробно-рациональной функции оси координат не пересекает
  • Четность/нечетность: функция  нечетная
  • Каждая из веток гиперболы является промежутком монотонности (: убывания, : возрастания)

График степенной функции в четной степени , где  выглядит, как график простейшей параболы :

График степенной функции в нечетной степени , где , например, , выглядит как так называемая кубическая парабола:

График корня четной степени , где , например, , имеет следующий вид:

График корня нечетной степени , где , например, , имеет следующий вид:

Точное построение таких графиков выполняется с подстановкой контрольных точек.

 

Показательная и логарифмическая функции

Показательная функция – это функция вида .

Свойства показательной функции:

  • Точки пересечения с осями:  (нули функции):  – не существует (так как функция принимает только строго положительные значения). То есть у функции нет общих точек с ось : , то есть график показательной функции проходит через точку .
  • Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как .
  • При  функция монотонно возрастает на всей области определения. При  функция монотонно убывает на всей области определения.
  • Графики показательной функции при  и  имеют вид:

Логарифмическая функция – функция вида .

Свойства логарифмической функции:

  • Область определения:
  • Область значений:
  • Точки пересечения с осями

 (нули функции): , так как логарифм от 1 по любому основанию равен 0 (любое положительное число в 0 степени равно 1). Значит, график логарифмической функции проходит через точку .

:  – не существует, так как 0 не входит в область определения логарифмической функции.

  • Четность/нечетность. Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как область определения не симметрична относительно  (функция не определена при отрицательных значениях переменной).
  • Монотонность функции:

При  функция монотонно возрастает на всей области определения.

При  функция монотонно убывает на всей области определения.

  • Графики логарифмической функции при  и  имеют вид:

Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными.

Функции называются обратными, если . Свойства обратных функций:

1)  и ,

2) графики функций симметричны относительно прямой .

 

Тригонометрические функции

Функция

Свойства:

  • Область определения:
  • Область значений:
  • Четность/нечетность: функция нечетная
  • Периодичность: функция периодична с периодом
  • Монотонность:

При  функция возрастает.

При  функция убывает.

График функции :

Поскольку функция периодическая, то достаточно построить график на любом одном периоде, а затем размножить его в обе стороны (значения функции повторяются).

Функция

Свойства:

  • Область определения:
  • Область значений:
  • Четность/нечетность: функция четная . Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат.
  • Периодичность: функция периодична с периодом .
  • Монотонность:

При  функция возрастает.

При  функция убывает.


График функции .

График функции  можно получить со сдвигом графика функции  влево на .

Функция

Свойства:

  • Область определения: . У тангенса есть вертикальные асимптоты, которые ограничивают график с обеих сторон периода.
  • Область значений: .
  • Четность/нечетность: функция нечетная .
  • Монотонность: функция монотонно возрастает в пределах одного периода.
  • Периодичность: функция периодична с периодом .
  • График функции .

Функция

Свойства функции

  • Область определения: . У котангенса есть вертикальные асимптоты, которые ограничивают функцию с обеих сторон периода.
  • Область значений: .
  • Четность/нечетность: функция нечетная .
  • Монотонность: функция монотонно убывает в пределах одного периода.
  • Периодичность: функция периодична с периодом .


График функции .

 

ГМТ

Если любая вертикальная прямая пересекает график более чем в одной точке, то графическое изображение является ГМТ – геометрическим местом точек.

График функции – это частный случай ГМТ, который удовлетворяет условию, что любая вертикальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке.

Примеры наиболее распространенных ГМТ: вертикальная прямая (), ромб (квадрат) (), окружность ().

 

Преобразования графиков функций

  • .

Для того чтобы построить график функции , достаточно отразить график  относительно оси .

Для построения графика  достаточно отразить график  относительно оси .

Для построения графика  достаточно график  сдвинуть на  единиц влево относительно оси . Если , то, соответственно, вправо.

Для построения графика  достаточно график  сдвинуть на  единиц вверх относительно оси . Если , то, соответственно, вниз.

Для построения графика  достаточно график  сжать в  раз к оси . Если , то, соответственно, нужно не сжать, а растянуть в  раз.

Для построения графика  достаточно график  растянуть в  раз от оси . Если , то, соответственно, нужно не растянуть, а сжать в  раз.

Распишем модуль по определению: , то есть при неотрицательных  график функции совпадает с графиком исходной функции.

При  – при отрицательных х получаем, что график необходимо отразить относительно  (справа налево).

Получаем общий алгоритм: всё, что слева от , убрать, а всё, что справа, – оставить и отразить влево.

Распишем модуль по определению: , то есть при положительных значениях функции график совпадает с графиком исходной функции.

При  – при отрицательных значениях функции получаем, что график необходимо отразить относительно  (снизу вверх).

Получаем общий алгоритм: всё, что сверху от , оставить, а всё, что снизу, – убрать и отразить вверх.