Классы
Предметы

Определение вероятности. Достоверные и невозможные события

Что такое вероятность?

Когда футбольный судья подбрасывает монетку в начале матча, чтобы определить, какая команда будет выбирать мяч, а какая – ворота, мы считаем это справедливым. Действительно, выпадет орел или решка. В таком случае вероятность равна .

Рассмотрим другую ситуацию. Судья будет подбрасывать вместо монетки игральный кубик. Если выпадет четное число, то выбирает команда , а если нечетное, то команда . Будет ли это справедливым? Да, вероятность тоже будет , так как четных и нечетных чисел на кубике одинаковое количество. Почему мы считаем вероятность в этих случаях одинаковой? И что такое вероятность?

Мы часто оцениваем вероятность того или иного события. Например, вызовет учитель к доске или нет. Пойдёт ли днём дождь, если пасмурно с утра? В результате нашего анализа мы принимаем различные решения: например, готовиться к уроку на завтра или не брать с собой зонт. Такие решения обычно принимаются на основании наблюдений (жизненного опыта). Например, наблюдения подсказывают нам, что учитель обычно не вызывает ученика два урока подряд. Поэтому если сегодня меня вызвали к доске, то вероятность этого же события на следующем уроке я буду оценивать как низкую. Но это не гарантирует, что меня действительно не вызовут повторно.

А, например, вероятность вызова к доске на уроках математики и биологии мы никак не связываем. То, что мы отвечали на математике, не гарантирует, что нас не спросят на биологии. Как мы уже знаем, такие события называют независимыми.

Итак, мы можем выделить два важных понятия: опыт и его результат (событие). Например, если мы подбрасываем монету, то опыт «бросили монету, посмотрели – что сверху». В этом опыте возможны события (их принято обозначать буквами): А = «выпал герб» и В = «выпала решка».

 

Изучение опытов с непредсказуемыми заранее последствиями (типа игры в монету) показало: между опытом и событием, которое может в нём произойти, существует некая связь, её называют вероятностью события и характеризуют числом, которое проявляется только при многократном повторении опыта. Например, если мы подбрасываем монетку, то вероятность того, что выпадет герб равна . Однако это не гарантирует нам, что ровно в  из  подбрасываний мы увидим герб. Это лишь значит, что если мы будем очень много раз подбрасывать монету, то количество раз, когда выпал герб и когда выпала решка, будет приблизительно одинаковым.

То есть если мы проводим опыт  раз и наше событие в нем происходит  раз, то вероятность – это предел отношения  при . Это определение означает, что если мы будем много раз проводить один и тот же эксперимент, то отношение количества благоприятных событий к общему количеству проведенных опытов будет стремиться к какому-то числу. Например, при игре правильной монетой приблизительно в половине бросков выпадал герб (многовековая практика игроков) и стали говорить «вероятность выпадения герба равна ».

В условиях задач о вероятностях нам часто говорят неявно. Например, в задаче: «В ящике лежат шары, одинаковые по форме и на ощупь, один из них отмечен. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность вынуть отмеченный шар?» – вероятности некоторых событий указаны условиями «одинаковые по форме и на ощупь» и «наудачу вынимают один шар».

Они говорят о том, что ни один из шаров не имеет большую вероятность быть вынутым, чем любой другой. Если шаров в ящике , то вероятность вынуть отмеченный шар равна .

То есть при решении задач мы будем вычислять вероятность события как отношение количества благоприятных исходов от общего количества возможных исходов: . В рассмотренном примере общее количество: , так как мы могли вытянуть любой из  шаров. А благоприятный исход только один – вытянуть отмеченный шар, то есть .

Решение задач

Рассмотрим несколько простейших задач на вычисление вероятностей событий.

Пример

В ящике лежит  карточек, пронумерованных числами от  до . Какая вероятность того, что номер наугад взятой карточки будет кратным числу ?

Решение

Вероятность по определению – это отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов. Благоприятные исходы: карточки с числами . Всего их . Общее число исходов – : .

Пример

Кидают две монеты. Какая вероятность того, что выпадет один орел и одна решка?

Решение

Все возможные исходы: ГГ, РГ, ГР, РР. Общее число исходов – . Благоприятные исходы: ГР, РГ, их количество – .

Пример

В коробке лежат  зеленых шариков и несколько синих. Сколько синих шариков в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шарик окажется зеленым, равна ?

Решение

Мы можем вытащить любой шарик, поэтому общее число исходов равно количеству шариков: З + С. Число благоприятных исходов (для события «наугад выбранный шарик окажется зеленым») равно количеству зеленых шариков: З.

По условию, в коробке 6 зеленых шариков, а вероятность достать зеленый шарик равна .

Достоверные и невозможные события

Пример

Какая вероятность того, что наугад названное натуральное число окажется положительным?

Решение

В данной задаче тяжело определить количество благоприятных исходов и всех исходов.

Натуральными являются числа … Все они являются положительными, значит, какое бы натуральное число мы ни выбрали, оно будет положительным, тогда вероятность равна , такие события называют достоверными.

Мерой вероятности события является число, которое может принимать значения от  до . События, вероятность которых равна , называют достоверными (они точно произойдут). Событие, вероятность которого равна , называют невозможными (не произойдет ни при каких условиях). Например, то, что после вторника наступает среда, – это достоверное событие. А вот то, что вы сдадите ЕГЭ на  баллов, – это невозможное событие.

Конечно, любое событие можно считать достоверным или невозможным до определённой степени (в пределах здравого смысла). Например, теоретически может выйти указ, который назначит среду днём перед вторником. А за неправильные ответы в ЕГЭ начнут вычитать баллы. Но с точки зрения нашего жизненного опыта и здравого смысла такие возможности мы отвергаем.

Итоги

Для решения простейших задач необходимо использовать только одно определение: вероятность – это отношение количество благоприятных исходов к общему количеству исходов:  (классическое определение вероятности).

Если вы правильно определите, какие исходы благоприятные и какие исходы вообще возможны при проведении эксперимента, то решить такие задачи для вас не составит никакого труда.

 

Ссылки на уроки InternetUrok.ru

  1. «Простейшие вероятностные задачи»
  2. «Экспериментальные данные и вероятности событий»
  3. «Случайные события и их вероятности. Свойства вероятностей»
  4. «Простейшие вероятностные задачи»