Классы
Предметы

Свойства вероятности

Свойства вероятности

Очень важным свойством вероятности является следующее: если вероятность того, что событие произойдёт, равна , то вероятность того, что событие не произойдёт, равна . Действительно, если общее количество исходов равно сумме количеств благоприятных и неблагоприятных исходов: , поэтому .

Например, вероятность того, что при подбрасывании игрального кубика выпадет  равна . Вероятность того, что  не выпадет, то же самое, что вероятность того, что выпадет  или , то есть : .

Можно сформулировать более общее утверждение: если у события есть несколько возможных независимых друг от друга исходов, то сумма их вероятностей равна . В предыдущем свойстве было всего два исхода: произойдёт или не произойдёт.

Рассмотрим пример: учитель хочет вызвать ученика из класса к доске. У этого события столько же исходов, сколько учеников в классе. При этом у кого-то вероятность быть вызванным меньше (отвечал на прошлом уроке и т.п.), но сумма вероятностей выхода всех учеников класса равна , так как кого-то учитель обязательно вызовет: .

Ещё одно важное свойство вероятности: если два события независимы (то есть результат происхождения одного не зависит от результатов другого), то вероятность их одновременного происхождения равна произведению вероятностей: , где , и  вероятности данных событий.

Например, вероятность того, что нас сегодня отпустят в кино, составляет , а вероятность того, что завтра мы останемся дома,  (независимо от того, пойдем ли мы в кино). Тогда вероятность того, что мы сегодня пойдем в кино и завтра останемся дома: .

Строгое доказательство этого свойства вероятностей независимых событий следующее: если у одного события исходов , а у второго – , то всего возможных исходов у этой пары событий: . Аналогично благоприятными исходами будут только те пары, которые были благоприятными для обоих событий, то есть тоже . Значит, .

Решение задач

Рассмотрим примеры решения задач с использованием свойств вероятности.

Пример

В лотерее разыгрываются  денежных и  вещевых призов. Всего есть  лотерейных билетов. Какова вероятность, купив один билет, не выиграть ни одного приза?

Решение

Общее число исходов равно количеству лотерейных билетов, . Число благоприятных исходов равно количеству невыигрышных билетов: .

Пример

В ящике лежат  шаров, из которых  шаров – синие, а  шаров – красные. Из ящика наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет или синего, или красного цвета?

Решение

1 способ

Найдем вероятность того, что шар будет синего цвета: . Теперь найдем вероятность того, что шар будет красного цвета: .

Так как нам необходимо, чтобы было выполнено или первое, или второе, то вероятности этих событий необходимо сложить: .

2 способ

Вероятность можно найти по формуле: . Общее количество исходов –  (мы вытаскиваем один из  шаров). Благоприятный исход – шар или синего, или красного цвета, тогда их количество: .

Пример

Среди  деталей есть  деталей вида ,  деталей вида , а остальные детали вида . Какова вероятность того, что взятая наугад деталь будет или вида , или вида ?

Решение

Найдем вероятность того, что деталь будет вида : . Теперь найдем вероятность того, что деталь будет вида : .

Так как нам необходимо, чтобы было выполнено или первое, или второе, то вероятности этих событий необходимо сложить: .

Можно рассуждать по-другому: найдем вероятность того, что условие не будет выполнено, то есть выбранная деталь будет не вида А и не вида В, а значит, деталь будет вида : . Тогда вероятность нашего события: .

Эти задачи демонстрируют нам, что вероятность того, что произойдет или одно, или другое независимое событие, равна сумме их вероятностей.

Пример

В ящике лежат три карточки, на которых написаны буквы Д, О, М. Какова вероятность того, что если брать наугад по одной карточке, то они будут идти в такой последовательности, что образуется слово «дом»?

Решение

Вероятность того, что первая карточка будет с буквой Д: . Вероятность того, что вторая карточка будет О:  (так как нам нужно выбрать одну из двух оставшихся карточек). Вероятность того, что последней будет буква М, равна , так как это единственная оставшаяся карточка. Так как нам необходимо выполнение и первого, и второго, и третьего события одновременно, то их вероятности необходимо умножить: .

Можно рассуждать по-другому. Общее число исходов равно количеству перестановок трех букв: . Подходящий нам вариант расстановки только 1, поэтому .

Пример

Вероятность не выиграть в лотерею ни одного приза, купив один лотерейный билет, составляет . Сколько призов разыгрывается в лотерею, если выпущено  лотерейных билетов?

Решение

Если вероятность не выиграть равно 0,92, то вероятность выиграть . По определению эта вероятность равна: .

Пример

Две группы участвуют в музыкальном конкурсе в разных полуфиналах. Вероятность выхода в финал первой группы – . Независимо от этого, вероятность выхода в финал второй группы равна . Какова вероятность того, что хотя бы одна из этих двух групп выйдет в финал?

Решение

Проанализируем, какие есть возможные варианты.

Группа 1

Группа 2

Вышла

Вышла

Вышла

Не вышла

Не вышла

Вышла

Не вышла

Не вышла

Условию задачи удовлетворяют выделенные исходы. Единственное условие, которое не удовлетворяет условию задачи, – обе группы одновременно не вышли в финал. Если обозначить искомую вероятность , то вероятность того, что обе группы не выйдут в финал, .

По свойству вероятности, . .

Замечание: можно решать задачу и по-другому, сначала найти вероятности каждого из трех подходящих исходов, а затем их сложить.

Итоги

Мы дали определение вероятности: вероятность – это отношение количество благоприятных исходов к общему количеству исходов:  (классическое определение вероятности).

Вероятность меняется в пределах от  до  включительно. Если вероятность , то событие невозможное. Если вероятность , то событие достоверное.

Также мы рассмотрели несколько основных свойств, касающихся вероятности.

Вероятность того, что событие не произойдет (если вероятность того, что оно произойдет ): .

Вероятность того, что одновременно произойдут два независимых события (если их вероятности  и ): .

Вероятность того, что произойдет или одно, или второе независимое событие (если их вероятности  и ): .

 

Ссылки на уроки InternetUrok.ru

  1. «Случайные события и их вероятности. Свойства вероятностей»
  2. «Простейшие вероятностные задачи»
  3. «Произведение и сумма вероятностей. Примеры»