Классы
Предметы

Математическая запись

Как записывать задачи, примеры, выражения с помощью универсального математического языка, который будет понятен во всех странах мира, независимо от того, на каком языке вы разговариваете? Как научиться понимать математический язык, применять и использовать его в повседневности? На этом уроке вы получите ответы на такие вопросы, а также узнаете, зачем нужна математическая запись, почему она так универсальна, лаконична, содержательна и очень удобна. Сможете научиться составлять целые фразы и выражения с помощью математического языка.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Пример № 1

«И слон, и кит очень большие животные. Но кит во много раз больше» (см. рис. 1).

Похожую информацию можно сказать, записать математическим языком.

 – масса слона

 – масса кита

5 т – большое животное, 150 т – очень-очень большое животное, во много раз больше. А конкретно: в 30 раз.

Рис. 1. Слон и кит

Пример № 2

Каждый язык обладает своими преимуществами. Каждый используется для определенных целей. Например, Петя говорит своей сестре Лене: «Да я в тысячу раз быстрее тебя бегаю» (см. рис.2). На математическом языке это будет выглядеть примерно так:

 – скорость Пети

 – скорость Лены

Согласитесь, что по-русски эта фраза звучала нормально, она же на математическом языке вызывает сомнения. Все-таки в математике мы привыкли к достоверности величин. А в русском языке вполне допустимы преувеличения, и мы понимаем, о чем идет речь. Разные языки нужны для разных целей. Но в принципе по своему предназначению они похожи. Мы с помощью них общаемся, передаем, сохраняем, обрабатываем информацию.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Сравнение математического и русского языков

Давайте сравним два этих языка – математический и русский.

1) Вспомним, что мы используем в математике: числа (1, 10, 152). Числа похожи на слова. Их можно сравнить с существительными.

2) Цифры (0, 1, 2, …9). Их всего 10 штук, они похожи на буквы в алфавите, которых всего 33. Цифрами мы записываем числа, как буквами слова.

Бывает, возникает такой вопрос: «3 – это число или цифра»? Это как спросить «и – это слово или буква?» Вообще-то буква, но есть такое слово, союз «и», которое состоит из одной буквы. Так, есть и десять чисел, которые записываются одной цифрой.

3) Дальше четыре знака арифметических операций (+, -, ∙, :). Их можно сравнить с глаголами. Они же тоже обозначают действия.

4) Скобки мы используем, что изменить порядок, в котором выполняются действия. Скобки можно сравнить с запятой. Помните про фразу: «казнить нельзя помиловать». Там запятая очень сильно меняет смысл фразы (см. рис. 3).

Рис. 3 Кадр из м/ф «В стране невыученных уроков»

5) Знаки сравнения (<, >, =). Если вам интересно, можете самостоятельно придумать аналогию в русском языке и написать в комментариях к этому уроку.

6) Буквы: , , , , , , . Буквы мы используем обычно вместо чисел, если конкретные числа нам по какой-то причине писать не хочется или не можем это сделать.

Такое может быть, если мы хотим написать правило, которое выполняется для всех чисел. Например, правило «от перестановки слагаемых сумма не изменяется» мы можем показывать на примере чисел, а можем – с помощью букв. При этом все понимают, что вместо букв можно поставить любые числа: .

Это всё были элементы, кирпичики математического языка. А что же уже осмысленного можно написать с помощью этих элементов? В принципе можно не сильно задумываться и начать делать математическую запись, пользуясь простым правилом: нельзя ставить подряд два числа (иначе они сольются в одно) и нельзя ставить подряд два знака.

Буквы с числами и буквы с буквами можно писать подряд, договорились считать, что между ними знак умножить. Вот пример вполне корректной математической записи: .

Математические языковые конструкции

Поговорим теперь о том, какие вообще бывают языковые конструкции.

В русском языке есть такое понятие, как словосочетание. Например, «белый кот». Это словосочетание осмысленно, но не несет никакой информации. Собственно, как и любое другое словосочетание. С ним можно работать, изучать, делать разбор слов, но сообщения в нем никакого нет. Давайте сравним его с законченным предложением «У Лены есть белый кот». Совсем другое дело: здесь появляется сообщение, новая информация. Давайте сравним еще три конструкции.

1. Столица Англии.

2. Лондон – столица Англии.

3. Париж – столица Англии.

Первая является словосочетанием и не несет никакой информации, не является сообщением. Вторая и третья являются сообщением. Но у них есть существенная разница. Второе верное, а третье нет.

Кстати, фраза «У Лены есть белый кот» вполне может оказаться и неправдой. А вот про первую конструкцию «белый кот» можно сказать, верная она или нет? Нет, так как нет сообщения, то и про истинность его ничего нельзя сказать.

Даже про такое словосочетание, как «кот с крыльями», нельзя сказать, что оно не верное. Ведь это, может быть, начало верного предложения «Кот с крыльями не существует».

В математике дела обстоят очень похоже. Есть математические записи, которые осмысленны, но не несут никакого сообщения, никакой новой информации ни для кого.

Примеры:

Ни одна из этих записей ничего нам не сообщает. Это не значит, что они нам не нужны. Очень нужны. Из них, как из словосочетаний, мы будем создавать конструкции, которые уже несут информацию.

Давайте сравним с такими записями:

Каждая из них уже содержит некое утверждение, несет информацию. Что делает эти записи утверждениями, сообщениями? Знаки сравнения: = и >. Именно когда мы говорим: что-то чему-то равно или что-то больше чего-то, мы делаем утверждение, передаем информацию. Если математическая запись не содержит знаков сравнения (<, >, = ), то она называется выражением.

Это очень просто запомнить и не путать. Если нет знаков равно, больше, меньше – это выражение. Если есть – это не выражение, а что-то большее.

Выражения мы видим очень часто. Например, такие:

Выражение не содержит утверждения, не несет информации. Если выражение содержит только числа и знаки действия, то оно называется числовым:  – числовое выражение.

Если выражение содержит хотя бы одну букву, переменную, то его называют буквенным выражением, ну или не уточняют, какое оно, просто выражение. Вот примеры буквенных выражений:

Все остальные математические записи будут содержать какой-нибудь из знаков сравнения – равно, больше или меньше.

Пусть у нас теперь в записи появляется знак равно. Слева и справа стоят выражения. Такая запись называется равенство. Если букв нет, то есть с обеих сторон от знака равно стоят числовые выражения, то равенство называется числовым равенством.

Вот пример числового равенства: .

А что такое ? Нет, ответ «Неравенство» неверный. Это тоже равенство. У нас опять два числовых выражения, и между ними знак равно. То есть обе этих записи являются числовыми равенствами. А в чем у них принципиальная разница?

Первое – верное числовое равенство. Второе – неверное числовое равенство (помните про столицу Англии?). Так, про любое числовое равенство можно сказать, верно оно или нет. Вот ещё примеры двух равенств:

Первое – верное числовое равенство. А второе – неверное числовое равенство.

Если равенство содержит хотя бы одну переменную, то называется оно уравнением. Вот пример уравнения: . Можно ли про него сказать, как про числовое равенство, верно оно или нет? Нет, нельзя. Этот вопрос не имеет смысла. Мы не знаем, что кроется за переменной . Отметим, что вопрос об истинности здесь не уместен по другой причине, нежели с выражением. Там вообще не было никакого сообщения, а здесь оно есть, но есть неизвестная. Если сказать «белый кот», «У одного человека белый кот», то нельзя сказать ни про то, ни про другое, правда это или нет. По разным причинам. В первом случае нет сообщения, а во втором есть неизвестный. Если его заменять на конкретных людей, то утверждение будет становиться верным или нет.

Вернемся к уравнению. Вместо переменной  можно подставлять различные числа. Каждый раз уравнение будет превращаться в числовое равенство. Давайте подставим несколько чисел, например: 1, 2, 3, 4, 5. Получим пять числовых равенств.

Только одно из них оказалось верным. Число 3 превратило уравнение в верное числовое равенство. Это число 3 называется корнем уравнения (или другой термин-синоним – решение уравнения).

Неравенства

Поставим между двумя числовыми выражениями знак больше или меньше:

Такие утверждения называются числовыми неравенствами. Первое является верным, второе – неверным.

Для неравенства с переменными нет отдельного названия, как для уравнения. Оно так и называется неравенством, просто не является числовым. Вот пример такого неравенства: . Про него уже нельзя сказать, верное оно или нет. Если подставлять вместо  различные числа, то оно будет превращаться в числовое неравенство. Некоторые из них будут верными, некоторые нет.

Выводы

1) Математический язык – это уникальный, многогранный и в то же время простой язык, который состоит из математических терминов, чисел, букв, формул и различных выражений. Как и любой другой язык, он является средством общения, благодаря которому мы можем передать информацию, описать то или иное явление, закон или свойство.

2) Обычный язык и математический имеют много общего.

3) Математическая запись без знаков сравнения называется выражением. Выражение не является утверждением, не несет информации.

3) Если по обе стороны от знака равно стоят числовые выражения, то мы имеем числовое равенство. Про него можно сказать, верное оно или нет.

4) Если хотя бы одно из них содержит переменную, то мы имеем уравнение. Решениями (корнями уравнения) называются такие числа, которые (при подстановке вместо переменной) превращают его в верное числовое равенство.

5) Аналогично со знаками сравнения. Только речь идет уже о числовых неравенствах и неравенствах с переменной.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Виленкин Н. Я. Математика. 5 класс: учеб. Для учащихся общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 280 с. : ил. 
  2. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина.
  3. Истомина И.Б. Математика, 5 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Домашнее задание

  1. Виленкин Н. Я. Математика. 5 класс: учеб. Для учащихся общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 48-49 чит., ст. 49 № 297, 298.
  2. Укажите, чем схожи между собой русский и математический языки.
  3. Дайте определение понятиям: выражение, уравнение, корень уравнения, равенство, неравенство.
  4. *Представьте с помощью математического языка следующие фразы.
    а) У нас на даче каждый год урожая в десять раз больше, чем у других.
    б) Большой грузовик БеЛАЗ в семь раз больше, чем «Ока» (см. рис. 5).

    Рис. 5 Сравнение «Оки» и БеЛАЗа
    в) По результатам техники чтения Зайкина Катя читает 110 слов в минуту, а Пятков Миша 115.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Nashol.com (Источник).
  2. Интернет-портал Calc.ru (Источник).
  3. Интернет-портал Kakprosto.ru (Источник).