04. Правильные и неправильные дроби

На этом уроке мы узнаем, что такое дробь и для чего она нужна. Научимся обозначать половину и представлять по-разному одно и то же количество. Также рассмотрим, всегда ли дробь меньше единицы, и узнаем, что такое правильные и неправильные дроби.

Определение дроби

Слово «дробь» старинное и означает «часть». Сейчас это слово осталось только у охотников (они стреляют дробью) и в математике. Понятно, что нас интересует не охотничья дробь, а математическая.

Для чего нужна дробь

Часто мы имеем дело с частями, с нецелыми количествами. Например, делим яблоко на три части (рис. 1). Взяли одну часть. Без дроби не обойтись. Одна часть – это (рис. 1). Взяли 2 части —  (рис. 2б.).

Не обязательно что-то резать на части. Пусть у нас есть 5 яблок (рис. 3).

Одно яблоко будет являться для этого количества, два яблока — от общего количества (рис. 4). 

Дробь, как и натуральное число, обозначает количество, только обычно нецелое.

Одно и то же количество можно обозначить разными дробями.

Обозначение половины

Давайте представим, как можно обозначить половину. Проще всего разрезать пополам и взять одну часть. Получим дробь , которая обозначает половину (рис.5).

Можно поделить на 4 части и взять две из них. Получим дробь . Очевидно, что она обозначает ровно столько же — половину (рис. 6).

Можно поделить на 10 частей и взять 5 из них. Дробь также будет означать половину.

Можно разделить на миллион частей и взять полмиллиона — 500 000. И это тоже половина

Зачем нужно представлять по-разному одно и тоже количество?

Зачем одно и то же количество обозначать разными дробями? Обычно это нужно, если есть несколько дробей и нам их требуется сравнить, сложить или ещё что-то с ними сделать.

Пример:

Маша съела торта, Потом принесли второй торт, и она съела другого(рис. 7). Какую часть торта всего Маша съела?

Надо найти сумму . Сделать это пока достаточно сложно. Нужно представить в виде эквивалентной дроби. Чтобы получить от торта нужно торт разделить на 3 части и взять 1 часть. Но точно так же, можно разделить на 6 частей и взять 2 части (рис. 8). и — это эквивалентные дроби.

Получаем, что от первого торта она съела , от второго — . Суммарно она съела торта.

А мы понимаем, что это , то есть половина торта (рис. 9).

Маша съела половину торта.

Всегда ли дробь меньше единицы?

Слово дробь, как мы уже говорили, изначально означала часть, то есть меньше целого. Отсюда и возникает вопрос, а всегда ли дробь меньше единицы. Давайте разберёмся.

Предположим, что мы хотим приготовить блины. По рецепту для изготовления блинов нужно несколько стаканов молока (рис. 12).

В магазине мы прикидываем, хватит ли нам одного литрового пакета молока.

Если требуется один стакан — это пакета. Понятно, что (рис. 13).

Если требуется 2 стакана молока — пакета (рис. 14). Это тоже меньше 1.

Если по рецепту требуется 5 стаканов молока, то это уже литра (рис. 15). Но, очевидно, это равно целому пакету молока.

По рецепту может потребоваться, например, 6 стаканов, литра (рис. 16). Но это уже на 1 стакан больше, чем целый пакет молока.

Дробью можно обозначать величину меньшую единицы, равную единице или больше единицы.

Правильные и неправильные дроби

Так как слово «дробь» обозначало часть, то есть меньше целого, то те дроби, которые обозначают количество, меньшее единицы, назвали правильными дробями, а остальные — неправильными.

То есть в примере с молоком, дроби и являются правильными, так как они меньше единицы.

А вот уже и — неправильные дроби.

Правильная дробь — это дробь, числитель которой меньше знаменателя.

Неправильная дробь — это дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю.

Понятно, что когда мы смотрим на дробь и видим, что числитель дроби меньше знаменателя, то такая дробь меньше единицы. Она называется правильной дробью.

Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна единице и уже называется неправильной.

Если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы и тоже неправильная.

Пример

Сравним три дроби:

— у неё числитель меньше знаменателя. Очевидно, это правильная дробь и она меньше единицы.

— неправильная дробь. У неё числитель равен знаменателю, и она равна единице.

— неправильная. У неё числитель больше знаменателя. Значит, сама она больше единицы.

Таким образом: 

Таким образом: 

Итак,

1. Если у дроби числитель меньше знаменателя, то дробь будет меньше единицы, и она называется правильной.

2. Если у дроби числитель и знаменатель равны, то дробь равна единице и называется неправильной.

3. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы и тоже называется неправильной.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «spacemath.xyz».

Проверь себя

• Определите, какие из данных дробей являются правильными, а какие неправильными: , , , .

• Сравните дроби: а) и ; б) и ; в) и .

• Запишите все правильные дроби со знаменателем 11.

• Запишите все неправильные дроби с числителем 11.