Классы
Предметы

Делители и кратные

На уроке мы узнаем, что такое множители, делители и кратные. Научимся раскладывать числа на простые и составные множители, находить делители. Решим несколько тематических задач, чтобы закрепить изученный материал.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Число как объект изучения (Теория чисел)»

Множитель и делитель

Одно и то же количество можно записать разными способами:

Числа 3 и 5 перемножены и дают число 15.

Поэтому они называются множителями числа 15.

Но на них можно и поделить. Поэтому они же называются делителями числа 15.

Множитель и делитель – это одно и то же. Чтобы делиться на что-то, нужно иметь это в качестве множителя. 15 делится на 5, потому что у него уже есть множитель 5.

Сколько же у числа множителей (делителей)?

Любое число можно представить вот так:

То есть у любого числа есть множитель 1 и само это число.

То же самое можно сказать так: любое число делится на 1 и на себя.

Или: любое число имеет делителем единицу и само себя.

А что можно сказать про саму единицу и ее делители? Она тоже делится на единицу и на саму себя. Но это одно и то же. То есть у нее всего один делитель – сама единица.

Простые и составные числа

Число 30 можно представить в виде:

Число 15 тоже можно разложить:

Числа 2, 3, 5 уже не раскладываются дальше.

Такие числа называются простыми.

Числа, которые можно разложить, называются составными.

30, 15 – это составные числа.

Каким числом является единица? На первый взгляд, она является простым числом. Но все простые числа имеют два делителя – единицу и само себя. А единица имеет только один. То есть у нее делителей еще меньше, чем у простого числа. Поэтому решили ее не считать ни простым, ни тем более составным.

А первое простое число – это 2.

Разложение на простые множители

Любое число можно разложить на простые множители:

Можно раскладывать в другом порядке:

Получим точно такое разложение, может быть, множители будут идти в другом порядке, но это не влияет на произведение.

Любое число можно единственным способом разложить на простые множители. Это свойство часто называют «основная теорема арифметики».

Итак, любое число можно разложить на простые множители. Все эти простые множители являются делителями.

1 и само число тоже являются делителями.

Вспомним разложение числа 30.

Но из чисел 3 и 5 можно собрать число 15. Оно тоже является множителем (делителем), только не простым, а составным.

Так же можно собрать делители:

Таким образом, у числа есть делители:

- 1;

- все простые множители;

- все комбинации простых множителей.

Можно взять все множители, тогда получится исходное число, оно тоже является делителем.

Итак, делителем является число, которое входит в разложение как множитель. На него можно разделить.

Задание 1

Сейчас самостоятельно найдите все делители чисел: 70, 44, 225.

Проверим.

Разложим 70 на простые множители:

Делители:

Ответ: , , , , , , .

Ответ: , , , , ,

Ответ :, , , , , , , ,

Задача 1

Чтобы проверить, является ли одно число делителем другого, не обязательно раскладывать на множители.

Можно просто попробовать одно поделить на другое.

Проверим, является ли число 12 делителем числа 2940.

Ответ: да.

Заодно мы нашли еще один делитель (множитель): 245.

Оба они не являются простыми. Их можно разложить. Но задача этого не требовала.

Кратное

Числа 3 и 5 называются множителями (делителями) числа 15.

А само число 15 называют кратным для числа 3 и кратным для числа 5.

Любое число, куда 3 входит как множитель, будет называться кратным числу 3.

Например, , поэтому 51 кратно трем.

Это же самое можно сказать иначе: 51 делится на три, поэтому 51 кратно трем.

Конечно, 51 кратно и 17.

Как получить для числа какое-нибудь кратное?

Нужно просто его умножить на любое число.

Умножим 12 на 3. Получим кратное для 12 и, конечно, для трех.

Сколько существует кратных для числа 13?

Мы можем умножать 13 на любые числа и получать новые кратные. Их бесконечно много.

Чтобы проверить, что одно число является кратным для другого, нужно узнать, является ли второе делителем первого. Это мы уже научились делать.

Задание 2

Есть число 14 586 237.

Ответим на несколько вопросов:

1. Какой наименьший делитель у этого числа?

Единица. Делитель единица есть у любого числа. Он и есть наименьший.

2. Какой наибольший делитель у этого числа?

Само число и есть наибольший делитель.

3. Каково наименьшее кратное у этого числа? Понятно, что число делится само на себя. Не существует числа меньше, которое было бы кратным нашему числу. Само число и есть наименьшее кратное для себя.

4. Каково наибольшее кратное у этого числа? Существует бесконечно много кратных для любого числа. Самого большого не существует.

Задача 2

Напоследок решим самостоятельно задачу и проверим.

На сколько равных по числу команд можно разделить класс, в котором учится 24 человека?

Проверяем:

Нужно понять, на что делится число 24, то есть найти все делители.

Разложим 24 на множители:

Для получения составных множителей сначала рассмотрим варианты из двух простых множителей:

Потом из трех:

Итак, получили делители: 2, 3, 4, 6, 8, 12.

На такое количество команд и можно разделить класс.

Есть еще делитель 1. Разделить на одну команду – значит взять туда весь класс. Непонятно, с кем она будет соревноваться.

Еще есть делитель 24.

Если разделить на 24, то в каждой команде получится по одному человеку. Сам смысл слова «команда» подразумевает, что в ней совместная деятельность.

Поэтому в качестве ответа оставим 2, 3, 4, 6, 8, 12.

Ответ: 2, 3, 4, 6, 8, 12.

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Школьный помощник» (Источник)

2. Интернет портал «Математика онлайн» (Источник)

3. Интернет портал «Гипермаркет знаний» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Папа и Денис решили измерить шагами расстояние от дома до речки. Сначала его измерял папа, а затем с той же точки и по той же тропинке пошел Денис. На каком расстоянии от точки старта их следы совпали в первый раз, если шаг папы равен 90 см, а шаг Дениса – 70 см?

2. Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Можно ли, не раскрывая пачек, взять 8 печений? 16 печений? 24 печенья? А 18 печений?

3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 27.