Классы
Предметы

Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Часть 1. НОД (Слупко М.В.)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Часть 1. НОД (Слупко М.В.)

На этом уроке вы узнаете, что такое наибольший общий делитель (НОД), ознакомитесь с несколькими его свойствами, рассмотрите примеры и решите задачи для лучшего понимания темы.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Число как объект изучения (Теория чисел)»

Введение

То, что человек изучает, называют объектом изучения. Например, ученый изучает бактерии. Бактерии – это объект изучения, а микроскоп – инструмент.

Но иногда инструмент превращается в объект. Когда мы измеряем время, то часы – это наш инструмент. А когда мы разбираем сами часы и изучаем, как они устроены, – то часы – это уже объект.

Так и с числами. Когда мы используем числа для счета предметов, нумерации домов и тому подобного, то числа были инструментом исследований. Так и было до сих пор. Но тема «Делимость чисел» – это уже изучение того, как устроены сами числа. Именно сейчас у нас с вами происходит этот переход. Числа из инструмента превратились в объект исследования.

Главное свойство чисел

Как только мы приступаем к изучению устройства чисел, то сразу сталкиваемся с главным свойством чисел.

Возьмем число, например 220.

Оно делится на 10. Значит, его можно представить как произведение с множителем 10.

Число 22 снова можно представить как произведение, и 10 тоже.

Дальше ни один множитель не раскладывается. Можно их только записать в другом порядке.

Сами множители, числа, которые дальше не раскладываются, называются простыми множителями, простыми числами. Те, которые раскладываются, – составными числами.

Любое число можно записать как произведение таких простых множителей. И особенно важно, что такое разложение единственное. То есть не существует другого набора простых множителей, из которых можно было бы составить наше число 220.

Основная теорема арифметики

Любое число можно представить в виде произведения простых множителей (чисел), и это разложение, единственное.

Вся тема «Делимость чисел» является следствием из основной теоремы арифметики. И признаки делимости на разные числа, и простые и составные числа, и наибольший общий делитель, и наименьшее общее кратное. На этом уроке мы подробно остановимся на изучении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Наибольший общий делитель (НОД)

Пример 1

Рассмотрим два числа: 30 и 70.

Что мы можем сказать об этих числах?

Во-первых, можно сказать, что одно больше другого. .

Теперь поговорим об устройстве этих чисел: оба числа делятся на 10.

Десять является общим делителем этих двух чисел.

Еще они делятся на 5, на 2. Такие делители называются общими, они являются делителями и первого, и второго чисел.

Попробуем выяснить, сколько всего есть общих делителей и какой из них наибольший.

Для этого перепишем оба числа как произведение их простых множителей.

Множители – это и есть делители. Какие здесь общие?

Очевидно, 2 и 5. А наибольший – это составной,

Для такого самого большого общего делителя, наибольшего, мы используем такое обозначение:

Всегда ли есть общие делители? Да, так как каждое число делится на 1. Это такой простой факт, что мы эту единицу даже не пишем в разложении. То есть единица всегда является общим делителем для двух чисел.

Числа, у которых общим делителем является только единица, являются взаимнопростыми числами.

Как найти самый большой общий делитель, наибольший? Мы это уже делали. Нужно составить максимальный делитель из простых общих делителей каждого числа.

Пример 2

Найти

Разложим оба числа на множители:

Соберем НОД:

Пример 3

Аналогично поступаем, если у нас три или больше чисел.

Найти

Примеры для самостоятельного решения

Самостоятельно вычислите:

1. 

2. 

3. 

4. 

Проверка:

1) 

2) 

Такие числа мы называем взаимно простыми.

При этом сами числа по отдельности могут быть составными, как в нашем примере.

3) 

4) 

Существует способ нахождения НОДа больших чисел без разложения. Он называется алгоритмом Евклида. Вы можете подробно с ним ознакомиться в уроке, перейдя по ссылке.

Для чего нужен НОД?

Сократить дробь .

Разложим числитель и знаменатель на простые множители (мы это уже делали).

Общими множителями являются 3 и 52. На них мы и сокращаем, то есть на 75. Но это и есть НОД двух этих чисел.

Сократить дробь .

То есть у этих чисел нет других общих делителей. Значит, дробь нельзя сократить, она несократима.

Более подробно о сокращении дробей речь пойдет на следующих уроках.


Размен денег и НОД

Часто возникает задача сдачи и размена денег.

Представим упрощенную ситуацию:

Существует только два вида монет – 10 и 15 рублей:

Может ли покупатель заплатить, а продавец дать сдачу, если покупка стоит 54 рубля?

Пусть покупатель дал  10-рублевых монет и  15-рублевых, а продавец дал ему сдачу:  и  монет.

Но тогда сумма будет делиться на , а значит, она не может быть равна 54. То есть, если НОД всех номиналов монет и купюр больше единицы, то всегда может получиться такая сумма, которую будет не заплатить.

То есть, когда государство думает о том, какие монеты выпустить, они подбирают их так, чтобы НОД был равен единице.

Можно ответить и на другой вопрос, бывают ли «лишние» монеты, без которых можно обойтись. Например, есть монеты 1, 2, 3, 5, 10 копеек.

Понятно, так как там есть 1, то можно составить любую сумму. Но нельзя ли обойтись без каких-нибудь монет? Нам достаточно такого набора, чтобы НОД был равен единице. Вариантов много, можно выбрать любой. В самом деле, если у нас будут только 3 и 10 копеек, то всегда можно сделать 1 копейку, как .

Монет на самом деле больше, потому что государство решает задачу не только возможности расчета, но и удобства.

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт  math-prosto.ru (Источник)

2. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

 

Домашнее задание

1. Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша – на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая?

2. Найти .