Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Разложение числа на множители

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Разложение числа на множители

Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Число как объект изучения (Теория чисел)»

Что значит разложить число на простые множители?

Определения:

Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.

Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

Разложить натуральное число на множители – значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

Замечания:

  • В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой – самому этому числу.
  • Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
  • Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.

Пример. Разложение числа 150 на простые множители

Разложим число 150 на множители. Например, 150 – это 15 умножить на 10.

15 – это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3.

10 – это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150.

 

Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 – это произведение чисел 5 и 30.

5 – число простое.

30 – это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3.

10 – число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом.

 

Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей.

Принято записывать множители в порядке возрастания.

Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей.

Пример. Разложение числа 216 на простые множители

При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:




Наименьшее простое число, на которое делится 216 – это 2.

Разделим 216 на 2. Получим 108.

Полученное число 108 делится на 2.

Выполним деление. Получим в результате 54.

Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2.

Выполнив деление, получим 27.

Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно

Не делится на 2. Следующее простое число – это 3.

Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое

Число, на которое делится 9, – это 3. Три – само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.

Связь между делимостью составного числа и его разложением на простые множители

  • Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
  • Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Рассмотрим примеры:

4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13.

 

1.                 

 

2.                 

.

 

11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550.

В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11.

 

11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка.

Пример

Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

 

 

Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a.

 

 

Результат деления a на b – это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел.

Итак, ответ: 30.

 

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
  4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Matematika-na.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Math-portal.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
  2. Другие задания: № 133, № 144.