Классы
Предметы

Длина окружности. Площадь круга (Слупко М.В.)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Длина окружности. Площадь круга (Слупко М.В.)

На этом уроке мы узнаем, что отношение длины окружности к ее диаметру постоянно и равно числу, которое называют  (Пи), а также запишем формулы для нахождения длины окружности и площади круга, поймем, как они связаны, и решим несколько задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Измерение» и «Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур»

Введение

Длина границы фигуры называется периметром. Для чего его нужно знать?

Например, чтобы посчитать, сколько нужно материала на строительство забора, нужно знать его длину – а это и есть периметр. (См. Рис. 1.)

Длина забора и есть периметр

Рис. 1. Длина забора и есть периметр

Для многоугольников задача нахождения периметра решается просто – это сумма длин всех сторон. (См. Рис. 2.)

Периметр произвольного многоугольника

Рис. 2. Периметр произвольного многоугольника

Если многоугольник правильный, то задача еще проще – длину стороны умножить на количество сторон. (См. Рис. 3.)

Периметры правильных многоугольников

Рис. 3. Периметры правильных многоугольников

А как найти периметр круга? Границей круга является окружность. Поэтому периметр круга обычно называют длиной окружности: обозначают . (См. Рис. 4.)

Длина окружности

Рис. 4. Длина окружности

Мы знаем, как рисуется окружность. Понятно, что окружность однозначно задается длиной веревки, то есть радиусом. (См. Рис. 5.)

Как рисуется окружность

Рис. 5. Как рисуется окружность

Значит, длина окружности должна быть связана с длиной диаметра. Как? Измерим.

Длина окружности и число Пи ()

Возьмем два предмета: кружку и тарелку. Нам нужно измерить диаметр и длину окружности каждого.

Получаем: (см. Рис. 6.)

Кружка:  см,

Тарелка:  см,

Измерения кружки и тарелки

Рис. 6. Измерения кружки и тарелки

Можно заметить, что в обоих случаях длина окружности чуть более чем в  раза больше, чем длина диаметра: кружка: ; тарелка: . Но, может быть, дело в том, что мы взяли такие небольшие предметы? Возьмем большую окружность.

Мы знаем, что наша планета Земля – почти шар, а значит, экватор можно считать очень большой окружностью. (См. Рис. 7.)

Планета Земля

Рис. 7. Планета Земля

Измерить ее радиус и длину мы не можем, но можем найти в Интернете: диаметр – около  км, длина экватора – около  км. Разделим длину окружности (экватора) на

диаметр: .

То есть, независимо от окружности, отношение ее длины к диаметру будет одинаковым: .

По нашим «грубым» оценкам получается чуть больше . Можно ли посчитать точно? Можно, но записать обыкновенной дробью (или конечной десятичной) это отношение нельзя. Такие числа называются иррациональными.

Для точного же значения этого числа договорились использоваться знак : . Это буква греческого алфавита и она закрепилась за этим числом, так как именно древние греки долго занимались вопросом отношения длины окружности к ее диаметру.

Итак,  обозначает точное значение. Мы с вами посчитали до одного знака после запятой: .

Вот еще более точное приближение, чем сделали мы с вами: .

На практике обычно берут не больше двух знаков после запятой: .

Итак, если разделить длину окружности на диаметр, получим число : .

Но тогда можно выразить длину окружности: . Эта формула так и называется: «формула длины окружности».

То есть теперь не обязательно измерять длину окружности. Можно измерить диаметр и найти длину окружности по формуле.

Иррациональные числа

Тот факт, что мы какое-то число не можем записать конечным набором из  цифр, не должен нас удивлять.

Проведем аналогию с алфавитом. Мы очень многие вещи можем записать буквами.

Например, Маша в лесу прокричала: «АУ!». (См. Рис. 8.)

Маша в лесу

Рис. 8. Маша в лесу

Если записать этот звук буквами, то все понятно. Мы можем даже менять длительность. Но попробуем записать буквами скрип тормозов автомобиля. Никаких букв нам не хватит.

Вот и десятичная запись. Ее не хватит на все случаи. Многие числа записать не получится.

Даже число  не получится записать только цифрами. При делении столбиком ответ записывается бесконечным число троек: . Но точное значение у этого числа, конечно же, есть. Мы его так и обозначаем . Нам, кроме цифр, понадобилась еще дробная черта.

У числа  тоже есть точно значение, мы его так и записываем: .

Но, в отличие от невозможности записать скрип тормозов буквами, число  мы можем записать с помощью десятичной записи, хоть и не точно, но как угодно близко:  или  или . А точно никогда и не надо. Ведь в реальности нет ничего абсолютно круглого или абсолютно точных измерений.

Пример

Арена цирка имеет форму круга и во всех цирка мира имеет одинаковый диаметр примерно  метров. (См. Рис. 9.) Значит, и длина окружности любой арены одинакова. Какова она?

Диаметр цирковой арены

Рис. 9. Диаметр цирковой арены

Решение

Подставим в формулу длины окружности приближенное значение  и диаметр:  м.

Ответ:  метр.

Формула длины окружности

Так как диаметр равен двум радиусам (см. Рис. 10), то формулу длины окружности можно переписать в таком виде:

Диаметр равен двум радиусам

Рис. 10. Диаметр равен двум радиусам

В таком виде мы ее будем использовать даже чаще.

 

Задача про увеличение длины экватора

Следующую задачу интересно будет задать своим друзьям или кому-то из взрослых. Очень часто на нее дают неправильный ответ. Но мы-то, конечно, в ней ошибаться не будем.

Представим, что экватор Земли – это металлический обруч. Мы его распили и вставили туда один дополнительный метр. И равномерно распределили по всей длине. Получился зазор. (См. Рис. 11.)

Зазор между окружностями

Рис. 11. Зазор между окружностями

Вопрос: насколько большой этот зазор? Может ли туда, например, пролезть кошка?

Если не задумываться над пропорциональностью длины окружности и радиуса, то кажется, что этот зазор будет очень мал, его даже не будет видно. Ведь мы этот дополнительный метр распределили по всей длине экватора, а это  км.

Но посчитаем.

Итак, экватор Земли равен , а радиус – .

Увеличим экватор на  м, обозначим его , и найдем радиус новой окружности :

Радиус новой окружности больше старого примерно на  см. Но это ведь и есть тот самый зазор между двумя окружностями. Конечно, кошка в такой зазор пролезть сможет.

В реальности эту задачу можно применить вот в какой ситуации. Есть достаточно длинная кольцевая дорога, например вокруг стадиона. Вы идете по внешнему тротуару. (См. Рис. 12.) Вопрос: если перейдете дорогу и пойдете по внутреннему тротуару, то насколько это сократит вам дорогу?

Дорога вокруг стадиона

Рис. 12. Дорога вокруг стадиона

Если ширина дороги  метров, то, переходя дорогу, вы уменьшаете радиус на  метров, значит, длина всей дороги уменьшается на .

Площадь круга

Обсудим теперь вторую важную характеристику круга – его площадь.

Из двух окружностей, площадь больше у той, у которой больше радиус (диаметр). (См. Рис. 13.)

Зависимость площади круга от ее радиуса (диаметра)

Рис. 13. Зависимость площади круга от ее радиуса (диаметра)

То есть площадь связана с радиусом прямой зависимостью. А точно эта зависимость выражается формулой: .

Формула площади круга

Для начала нам нужно понять, чему равна площадь треугольника . Пусть есть треугольник с нижней стороной  (будем называть ее основанием) и высотой . Построим вокруг прямоугольник:  (См. Рис. 14.)

Построенный прямоугольник

Рис. 14. Построенный прямоугольник

Прямоугольник делится на две части высотой . Каждая часть делится ровно пополам. Одна половина всегда относится к треугольнику. То есть площадь треугольника – это половина площади прямоугольника: .

Теперь посмотрим на площадь правильного n-угольника. Он разбивается на  равных треугольников. Площадь каждого равна: . (См. Рис. 15.)

Разбиение многоугольника на треугольники

Рис. 15. Разбиение многоугольника на треугольники

Площадь всего n-угольника в  раз больше:

Но что такое ? Это периметр. Мы умножаем длину стороны на их количество.

Тогда формула приобретает вид: . То есть площадь не зависит от количества вершин.

Теперь если внутри окружности мы будем вписывать многоугольники с все большим количеством вершин, то площадь такого многоугольника будет все ближе к площади круга, высота  будет превращаться в радиус окружности, а периметр многоугольника – в длину окружности. (См. Рис. 16.)

Многоугольник стремится к окружности

Рис. 16. Многоугольник стремится к окружности

Тогда формула площади многоугольника превратится в формулу площади круга: .

Примеры

Эта формула позволяет нам находить площадь, если известен радиус (диаметр). И наоборот.

Задача 1. Найти площадь арены цирка. (См. Рис. 17.)

Площадь арены цирка

Рис. 17. Площадь арены цирка

Решение

Как мы помним, диаметр арены  м. Значит, радиус:  м.

Найдем площадь: 

Ответ: .

Задача 2. Если велосипедное колесо делает  оборотов (), то велосипед проезжает  метра ( м). (См. Рис. 18.) Найти площадь велосипедного колеса.

 Иллюстрация к задаче

Рис. 18. Иллюстрация к задаче

Решение

Площадь круга выражается формулой .

Чтобы найти площадь, нужен радиус. Его можно выразить из формулы длины окружности: . Но длина окружности тоже не известна.

Но расстояние, которое проехал велосипед, легко посчитать по формуле: , из которой мы и выразим длину окружности колеса .

Итак, найдем длину окружности (обода колеса): м.

Найдем радиус колеса:  м см.

Осталось найти площадь: .

Ответ: .

Заключение

Кратко повторим:

1. Отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех окружностей. Это число мы обозначаем : . Отношение длины окружности к радиусу в два раза больше: .

2. Выражая из этих отношений длину окружности, мы получаем формулу длины окружности. То есть, чтобы узнать длину окружности, не обязательно ее измерять. Можно измерить радиус или диаметр, а длину окружности найти по формуле: .

3. Диаметр и длина окружности несоизмеримы. Это означает, что число  нельзя представить в виде обыкновенной дроби или конечной десятичной. Но его можно записать сколь угодно близко такими дробями:  или  или .

4. Площадь окружности пропорциональна квадрату радиуса окружности: . Коэффициентом пропорциональности является число . Чтобы узнать площадь круга, достаточно знать ее радиус. Если радиус окружности изменить в несколько раз, то площадь измениться в квадрате. Например, если радиус увеличить в  раз, то площадь увеличится в  раз.

 

Список литературы

  1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. –– М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.
  2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. – М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. – М.: 2010; Ч. 2 – 128 с.
  3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Yaklass.ru (Источник).
  2. Math-prosto.ru (Источник).
  3. School-assistant.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Чему равен диаметр окружности, если ее длина равна см?
  2. Чему равен радиус круга, если его площадь равна ?
  3. Найдите диаметр, длину окружности и площадь круга, если радиус равен  см.