Классы
Предметы

Изменение площадей и объёмов

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Изменение площадей и объёмов

На этом уроке вы узнаете, как изменяются площадь и объем фигур при увеличении или уменьшении сторон фигур, решите задачи и рассмотрите примеры, которые помогут вам лучше понять тему, при помощи ваших наблюдений сможете вывести правила, которые в дальнейшем упростят решение похожих задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Измерение» и «Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур»

Задача № 1 на изменение площади

Для начала давайте рассмотрим задачу и решим ее двумя способами: математически и графически.

Задача 1

Если каждую сторону прямоугольника увеличить в два раза, то во сколько раз увеличится его площадь (рис. 1)?

Изменение площади прямоугольника

Рис. 1. Изменение площади прямоугольника

Ответ: площадь увеличится в четыре раза.

Формулировка правила

Изменение площади фигуры при увеличении

Рис. 2. Изменение площади фигуры при увеличении

Тогда по аналогии, если стороны увеличить в три раза, то площадь увеличится в девять раз, если в четыре, то в шестнадцать. Верна ли эта закономерность для других фигур? Давайте проверим.

Таким образом, исходя из наблюдений, мы можем утверждать, что если у фигуры увеличить все стороны в  раз, то площадь увеличится в  (или ) раз (рис. 2).

Аналогичная ситуация будет и в случае, если вы уменьшаете стороны фигуры. Например, если вы уменьшите стороны фигуры в два раза, то площадь соответственно уменьшится в четыре раза.

Пример № 1 на применение сформулированного правила

Чтобы замостить улицу А, потребовалось 1000 кирпичей (рис. 3). Улица В по всем измерениям больше в 2 раза улицы А. Сколько кирпичей нужно, для того чтобы замостить улицу В?

Решение:

Иллюстрация к примеру № 1

Рис. 3. Иллюстрация к примеру № 1

Ответ: 4000 кирпичей

Пример № 2 на применение сформулированного правила

В семье живут отец и сын. Отец крупнее сына в два раза по всем измерениям (по высоте, ширине и т. д.). Если сыну на рубашку требуется 1,5  ткани, то сколько ткани потребуется отцу? (см.рис.№4)

Иллюстрация к примеру № 2

Рис. 4. Иллюстрация к примеру № 2

Решение:

Ответ: 6  ткани.

Пример № 1 изменения объема и формулировка правила

Теперь возникает вопрос: а как насчет объемных тел, что происходит при увеличении или уменьшении всех их сторон? Давайте возьмем куб и увеличим все его измерения в два раза. Тогда его объем изменится в 8 раз, как на рисунке 5.

Увеличение куба

Рис. 5. Увеличение куба

Тогда мы можем утверждать: если все измерения фигуры увеличились в  раз, то объем фигуры увеличится в  раз

Задача № 1 на изменение объема

Одного куска мыла семье хватает на месяц. На сколько времени им хватит куска мыла, которое будет вдвое больше по всем измерениям, чем исходный кусок (рис. 6)?

Иллюстрация к задаче № 1

Рис. 6. Иллюстрация к задаче № 1

Решение:

Ответ: 8 месяцев.

Скоро вы узнаете из уроков физики, что при одинаковой плотности вещества его масса пропорциональна его объему (если объем увеличится в  раз, то и масса увеличится в  раз). Давайте решим еще одну задачу.

Задача № 2 на изменение объема

В зоопарке есть два слона, один из которых превосходит другого по всем измерениям ровно в 2 раза. Для того чтобы прокормить первого, необходим 1 кг корма. Сколько килограммов корма нужно для второго слона (рис. 6)?

Иллюстрация к задаче № 2

Рис. 7. Иллюстрация к задаче № 2

Решение:

Ответ: 8 кг.

Повторение пройденного на уроке

Мы изучили, как изменяются площадь и объем фигуры при увеличении или уменьшении ее сторон.

 

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс. Учебник. – 2014.
  2. Никольский С.М., Потапов М.К. Математика. 6 класс. Учебник. – М.: 2012. – 256 с.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. Если все стороны прямоугольника увеличили в пять раз, то во сколько раз увеличится его площадь?
  2. Если все измерения куба увеличили в три раза, то во сколько раз увеличится его объем?

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Mccme.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Kokch.kts.ru (Источник).
  3. Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).