Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram, наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета) могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Мы знаем о проблеме и уже занимаемся её решением.
Классы
Предметы

Отрицательные числа. Противоположные числа (Слупко М.В.)

На этом уроке мы познакомимся с новым видом чисел – отрицательными числами. Также мы поговорим о том, какие числа называются противоположными, и объединим натуральные, противоположные им и ноль в множество целых чисел.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Часть 1. Натуральные числа. Целые числа»

 

Введение

Рассмотрим такой пример. Нужно последовательно посчитать: .

Можно переставить вперед числа, которые необходимо складывать, а затем выполнить вычитание оставшихся: .

Но это не всегда удобно. Например, мы можем вычислять остаток вещей на каком-нибудь складе и нам необходимо знать промежуточный результат.

Можно выполнять действия и подряд: .

Мы знаем, что , значит, результатом будет вычитание из  числа . Это значит, что надо вычесть , но пока не из чего. Когда будет из чего вычесть, вычтем:

.

Но мы можем «схитрить» и обозначить . Таким образом, мы введем новый объект – отрицательные числа.

Такую операцию мы уже проделывали – в природе, например, числа «» тоже не существовало, но мы ввели такой объект, чтобы облегчить запись действий.

Примеры появления отрицательных чисел

Представьте, что нам на спортивном складе поручили выдавать и принимать мячи. Нам нужно вести учет. Можно писать словами:

Выдал , Принял , Выдал , Принял , … (См. Рис. 1.)

Учет

Рис. 1. Учет

Согласитесь, если выдавать и принимать за день нужно много раз, то запись не очень удобная.

Можно разделить лист на две колонки, одна – Принял, другая – Выдал. (См. Рис. 2.)

Упрощенная запись

Рис. 2. Упрощенная запись

Запись стала короче. Но вот проблема: как понять, сколько мячей взяли (или отдали) в какой-то конкретный момент времени?

Можно использовать для записи следующее соображение: когда мы выдаем со склада мячи, то их количество на складе уменьшается, а когда принимаем, то увеличивается.

Но как записать «выдал  мяча»? Можно ввести такой объект: .

Это объект позволяет нам сделать математическую запись движения мячей в том порядке, как это происходило:

Рассмотрим еще один пример.

На счету вашего телефона  рублей. Вы вышли в Интернет, и это стоило  рублей. Получился долг  рублей. Оператор мог так и записать: «клиент должен  рублей». Вы положили  рублей. Оператор вычел долг. Получилось на счету  рублей.

Но удобно записывать и операции и деньги на счету с помощью знаков «» и «». (См. Рис. 3.)

Удобная запись

Рис. 3. Удобная запись

Отрицательное число

Отрицательное число мы вводим, чтобы записать результат вычитания из меньшего числа большего: .

Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию: .

Чтобы отрицательные числа отличать от положительных чисел, с которыми мы имели дело раньше, перед ним договорились ставить знак минус: .

Можно было бы обойтись без них? Да можно. В каждой конкретной ситуации мы бы использовали слова «назад», «в долг» и так далее. Но они, эти слова, были бы разные.

А так у нас появляется универсальный удобный инструмент. Один для всех таких случаев.

Можем провести аналогию с автомобилем. Он состоит из большого количества деталей, многие из которых в отдельности не нужны, но все вместе позволяют ездить. Так же и отрицательные числа – инструмент, который вместе с другими математическими инструментами позволяет облегчить вычисления и упростить решение и запись многих задач.

Итак, мы ввели новый объект – отрицательные числа. Для чего их используют в жизни?

Для начала вспомним роли положительных чисел:

Количество: например  дерева,  литра молока. (См. Рис. 4.)

Количество

Рис. 4. Количество

Упорядочивание: например, дома нумеруются положительными числами. (См. Рис. 5.)

Упорядочивание

Рис. 5. Упорядочивание

Имя: например, номер футболиста. (См. Рис. 6.)

Число в качестве имени

Рис. 6. Число в качестве имени

Теперь посмотрим на функции отрицательных чисел:

Обозначение недостающего количества. Количество отрицательным не бывает. Но отрицательное число используют, чтобы показать, что количество отнимают. Например, мы может вылить из бутылки  и записать это как . (См. Рис. 7.)

Обозначение недостающего количества

Рис. 7. Обозначение недостающего количества

Упорядочивание. Иногда при нумерации выбран ноль и нужно пронумеровать объекты в обе стороны от нуля. Например, этажи, расположенные ниже -го, в подвале. (См. Рис. 8.) Или температура, которая ниже выбранного нуля. (См. Рис. 9.)

Этаж, расположенный ниже -го, в подвале

Рис. 8. Этаж, расположенный ниже -го, в подвале

Отрицательные числа на шкале термометра

Рис. 9. Отрицательные числа на шкале термометра

Но все-таки основное предназначение отрицательных чисел – это инструмент для упрощения математических расчетов.

Но чтобы отрицательные числа стали таким удобным инструментом, нужно:

  • Чтобы у них было строгое определение.
  • Свойства отрицательных чисел должны согласовываться со свойствами уже изученных положительных чисел и со здравым смыслом (например, мы знаем, что если взять со склада  мяча и положить на склад  мяча, то общее количество мячей на складе не изменится. Значит,  должно равняться ). Нам нужно уметь складывать, умножать, делить эти числа, нужно уметь сравнивать, какое больше, какое меньше. И тому подобное.

Температурная шкала

Отрицательная температура – это та, которая ниже нуля, ниже нулевой температуры. Но что такое нулевая температура? Чтобы измерять, записывать температуру нужно выбрать единицу измерения и точку отсчета. И то и другое является договоренностью. Мы используем шкалу Цельсия по имени ученого, который ее предложил. (См. Рис. 10.)

Андерс Цельсий

Рис. 10. Андерс Цельсий

В качестве точки отсчета здесь выбрана температура замерзания воды. Все, что ниже, обозначается отрицательным значением. (См. Рис. 11.)

температура замерзания воды

Рис. 11.  – температура замерзания воды

Но понятно, что если взять другую точку отсчета, другой ноль, то отрицательная температура по Цельсию может быть положительной в этой другой шкале. Так и происходит. В физике широко используется шкала Кельвина. Она похожа на шкалу Цельсия, только в качестве нуля выбрано значение самой низкой возможной температуры (ниже не бывает). Это значению называют «абсолютный ноль». По Цельсию это примерно . (См. Рис. 12.)

Две шкалы

Рис. 12. Две шкалы

То есть, в шкале Кельвина вообще нет отрицательных значений.

Так, наши летние .

А морозные .

То есть отрицательная температура – это условность, договоренность людей так ее называть.

Ноль

Начнем с нуля. Ноль занимает особенное положение среди чисел.

  1. Если к любому числу добавить ноль, то число не изменится: .
  2. Если от числа отнять равное ему, то получим ноль: .

Как мы уже обсудили, мы для своего удобства вычитание семи можем обозначить как отрицательное число. Так как оно означает вычитание, то и оставляем знак «» как его признак. Назовем новое число

То есть, «» – это такое число, которое в сумме с  дает ноль: . Причем в любом порядке . Это определение отрицательного (или противоположного) числа.

Противоположные числа

Для каждого числа, которое мы изучали раньше, введем новое число, отрицательное, признаком которого является знак минус перед ним. То есть для каждого прежнего числа появился его отрицательный близнец. Такие близнецы назовем противоположными числами. (См. Рис. 13.)

Противоположные числа

Рис. 13. Противоположные числа

Итак, определение: противоположными числами называются два числа, сумма которых равна нулю.

Внешне они отличаются только знаком «».

Знак минус перед переменной

Если перед переменной стоит знак «», например , что это означает? Это не значит, что данная величина отрицательна. Знак минус означает, что данная величина противоположна числу : . Какое из этих чисел положительное, какое отрицательное, мы не знаем.

Если , то .

Если  (отрицательное число), то  (положительное число).

Какое число противоположно нулю? Мы это уже знаем.

Если ноль прибавить к любому числу, в том числе и к нулю, то исходное число не изменится. То есть сумма двух нулей равна нулю: . Но числа, сумма которых равна нулю, противоположны. Таким образом, ноль противоположен сам себе.

Задание

Итак, мы с вами дали определение отрицательных чисел, выяснили, зачем они нужны.

Теперь немного времени уделим технике. Пока нам нужно научиться для любого числа находить ему противоположное:

Обозначения

В последней части урока поговорим о новых названиях и обозначениях множеств, которые появляются после введения отрицательных чисел.

  1. У чисел, использующихся для счета предметов, есть свое название – натуральные числа:
  2. Для отрицательных чисел, противоположных натуральным, не стали придумывать отдельного названия. Но если их рассмотреть вместе с натуральными числам и нулем, то их уже называют специальным термином – целые числа. То есть целые числа – это все натуральные, все противоположные натуральным и ноль:

Множество натуральных чисел обозначают буквой : .

Множество целых чисел обозначают буквой : .

Чем множество целых чисел «лучше» множества натуральных? Для натуральных чисел было верно, что сумма двух натуральных тоже натуральное: .

С вычитанием так уже было не всегда: .

Расширение множества натуральных чисел до целых решило эту проблему: разность двух любых целых чисел – целое число.

Тот факт, что часть целых чисел является натуральными, обозначают так: .

И говорят: множество  включено в , или  является подмножеством .

Не путайте знак включения  со знаком принадлежности . Принадлежать множеству может его элемент, но не подмножество. Например:

Заключение

Итак, кратко повторим:

Для каждого положительного числа есть одно отрицательное число, которое отличается только знаком:  и ,  и . Такие числа мы называем противоположными. Противоположные числа в сумме равны нулю: . Ноль противоположен сам себе: . Натуральные числа, противоположные им и ноль назвали целыми числами: . Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: .

 

Список литературы

  1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.
  2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. – М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. – М.: 2010; Ч. 2 – 128 с.  
  3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Yaklass.ru (Источник).
  2. Math-prosto.ru (Источник).
  3. Cleverstudents.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Если , то значение выражения .
  2. Найдите , если .
  3. Приведите примеры: а) целых чисел; б) натуральных чисел; в) отрицательных чисел, не являющихся целыми; г) положительных чисел, не являющихся натуральными; д) двух противоположных целых чисел; е) двух целых чисел, сумма которых равна ; равна .