Классы
Предметы

Дробные выражения

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Дробные выражения

На этом уроке мы узнаем, что называют дробными выражениями. С помощью приведенных в уроке задач мы научимся работать с дробными выражениями: упрощать их, а также находить значения этих выражений при данных значениях переменных.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Дробное выражение

Что же такое дробь? Например, дробь  – это деление числа 7 на число 12, записанное с помощью дробной черты.

 

 

 

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.

Примеры дробных выражений:

                                        

Дробь  также является дробным выражением.

Упрощение дробных выражений

У дробного выражения существуют эквивалентные, равные ему, выражения. Выбрать из всех эквивалентных выражений самое простое – значит упростить дробное выражение.

 

Пример

Упростить дробное выражение:

 

 

 

Решение

 

Выполним вычитание в числители и сложение в знаменателе:

 

 

 

Разделим числитель и знаменатель на 17:

 

 

 

Ответ: .

Задача 1

Упростите дробное выражение:

 

 

 

Решение

В числителе и знаменателе – смешанные дроби. Чтобы разделить одну смешанную дробь на другую, нужно обе записать как неправильные.

 

 

Получившееся дробное выражение эквивалентно произведению дробных выражений:

 

 

Сократим знаменатель первой дроби и числитель второй дроби на 3:

 

 

Ответ: .

Задача 2

Сложите дробные выражения:

 

 

Решение

1 способ

Приведем эти дробные выражения к одному знаменателю, для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

 

 

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

 

 

Сократим числитель и знаменатель на 7:

 

 

2 способ

Можно сразу избавиться от десятичных дробей в знаменателях, для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 10:

 

 

Далее приводим два дробных выражения к общему знаменателю:

 

 

Сократим числитель и знаменатель на 7:

 

 

Ответ: .

Задача 3

Упростите дробное выражение:

 

 

Решение

Преобразуем числитель и знаменатель в обыкновенные дроби:

 

 

Запишем получившееся выражение с помощью знака деления:

 

 

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:

 

 

Числитель первой дроби и знаменатель второй можно сократить на 5 и на 4:

 

 

Ответ: .

Задача 4

Упростите дробное выражение:

 

1.

 

Решение

Преобразуем числитель и знаменатель в обыкновенные дроби:

 

 

Запишем это дробное выражение с помощью знака деления, а далее заменим знак деления на знак умножения и перевернем вторую дробь:

 

 

Сократим числитель первой дроби и знаменатель второй на 3 и 7, а числитель второй дроби и знаменатель первой – на 5:

 

 

Сократим числитель и знаменатель на 2:

 

 

2)

 

Решение

Преобразуем числитель первого дробного выражения и знаменатель второго:

 

 

Распишем данные дробные выражения с помощью знака деления:

 

 

Заменим знаки деления на знаки умножения и перевернем соответствующие дроби:

 

 

Первое дробное выражение сократим на 9:

 

 

Приведем дробные выражения к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первого выражения умножим на 3, а числитель и знаменатель второго выражения умножим на 7:

 

 

Вычислим числители обеих дробей и сложим эти дроби:

 

 

Сократим полученную дробь на 2:

 

 

Ответ: 1. ; 2. .


Преобразование «многоэтажных» дробей

Существует очень простой алгоритм, который позволяет за одно действие разобрать «многоэтажную» дробь и получить обычную «двухэтажную».

Необходимо после знака равно начертить дробную черту и для каждого элемента из «многоэтажной» дроби найти его место в новой дроби. Для этого нужно рассмотреть каждое число в исходной дроби.

 

Если число находилось в исходной дроби нечетное число раз в знаменателе, то в новой дроби оно окажется в знаменателе; если число находилось в исходной дроби четное число раз в знаменателе или не находилось в знаменателе вообще, то в новой дроби оно окажется в числителе.

 

Рассмотрим примеры.

Упростите дробные выражения.

 

1.

 

Рассмотрим каждое число данного дробного выражения:

Число 5 (в данном выражении две пятерки, их рассматриваем отдельно) находится в числителе дроби  и в числителе всего исходного дробного выражения. То есть не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 7 находится в знаменателе дроби  и в числителе всего исходного дробного выражения. То есть находится в знаменателе нечетное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 16 находится в числителе всего исходного дробного выражения. То есть не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 4 находится в числителе дроби  и в знаменателе всего исходного дробного выражения. То есть находится в знаменателе нечетное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 3 находится в знаменателе дроби  и в знаменателе всего исходного дробного выражения. То есть находится в знаменателе четное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 5 находится в знаменателе всего дробного выражения. То есть находится в знаменателе нечетное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.

 

Запишем полученное дробное выражение:

 

 

 

Сократим числитель и знаменатель на 5 и на 4:

 

 

 

2.

 

Рассмотрим каждое число данного дробного выражения:

Число 3 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 5 находится в знаменателе дроби , то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 7 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 6 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 8 находится в знаменателе дроби  и в знаменателе всего дробного выражения, то есть четное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 7 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 5 находится в знаменателе всего дробного выражения и в знаменателе выражения , то есть четное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 9 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.

 

Запишем полученное дробное выражение:

 

 

 

Сократим числитель и знаменатель на 5, 7, 2 и 3:

 

 

 

3.

 

Рассмотрим числа в каждом дробном выражении:

 

а) выражение

 

Число 5 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 7 находится в знаменателе дроби , то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 9 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 18 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.

 

б) выражение

Число 5 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 2 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 7 находится в знаменателе дроби  и в знаменателе всего дробного выражения, то есть четное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 3 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.

 

Запишем полученные дробные выражения:

 

 

 

Сократим числитель и знаменатель первого выражения на 9:

 

 

 

Приведем дробные выражения к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первого выражения умножим на 3, а числитель и знаменатель второго выражения умножим на 7:

 

 

 

Вычислим числители обеих дробей и сложим эти дроби:

 

 

 

Сократим полученную дробь на 2:

 

 

 

Ответ: 1. ;  2. ;  3. .


 

Задача 5 (дробные выражения с переменными)

Чтобы найти значение выражения с переменными, необходимо подставить в это выражение значения этих переменных. Но предварительно имеет смысл упростить выражение, если это возможно.

 

Найти значение выражения.

 

1. , при ;

 

Решение

Упростим данное выражение. Приведем слагаемые к общему знаменателю, для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:

 

 

Подставим в полученное выражение значение переменных:

 

 

2. , при ;

 

Решение

Упростим данное выражение. Приведем слагаемые к общему знаменателю, для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:

 

 

Так как , то:

 

Мы получили ответ, даже не подставив значения переменных.

 

Ответ: . 1; 2. 0.

 

Список литературы

            1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

            2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

            3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «School-assistant.ru» (Источник)

2. Интернет портал «School.xvatit.com» (Источник)

3. Видеохостинг «YouTube» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Задания 695 (ж, и), 698, 703 (в) (стр. 111–113) – Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6

2. Найдите значение выражения:

 

 

 

3. Найдите значение выражения

 

, при