Классы
Предметы

Механическая работа. Мощность (Побединский Д.М.)

На данном уроке, тема которого: «Механическая работа. Мощность», мы поговорим о работе: четко определим понятие работы в физике, решим несколько задач по данной теме урока, а также поговорим о том, что такое мощность.

Введение

Тема урока – работа. Мы часто используем это понятие. Например, рабочий устал, потому что проделал большую работу: перенес 200 кирпичей с первого этажа на второй (см. рис. 1).

Рис. 1. Совершение работы

Мы знаем, почему он устал: он в это время прикладывал к кирпичам силу. Но только ли в силе дело? Наверняка, если бы он переносил кирпичи на третий этаж, он бы выполнил бόльшую работу, а если он бы толкал неподвижную стену, никакой работы выполнено бы не было, хотя рабочий бы устал. Значит, дело не только в силе, перемещение тоже играет роль. Сегодня мы четко определим понятие работы в физике.

Оно близко к бытовому понятию работы, но нужно понимать важный момент.

Понятие «работа»

В бытовом представлении работу выполняет человек, двигатель или другой субъект. В физике определение должно быть четким: субъект работы – сила. Поэтому работа, выполненная при действии нескольких сил, равна сумме работ, выполненных каждой силой по отдельности.

Как мы увидели на примере, работа тем больше, чем больше приложенная сила и чем больше пройденный путь. И сила, и перемещение – векторы, они имеют направления. Рассмотрим пока случай, когда направления векторов силы и перемещения совпадают (см. рис. 2), работа в физике определяется именно так:

т. е. как физическая величина, пропорциональная силе и перемещению.

Рис. 2. Направления векторов силы и перемещения совпадают

Соответственно, единицей работы является произведение единицы силы на единицу пути, т. е. . У этой единицы есть собственное наименование – джоуль (Дж).

Пример 1. Перемещение и сила совпадают

Рассмотрим такой пример: с крыши дома высотой  упал камень массой . Вычислите работу, которую выполнила сила тяжести (см. рис. 3).

Рис. 3. Падение камня с крыши дома

Работа – это сила, умноженная на перемещение. Сила тяжести, действовавшая на камень, равна , перемещение равно  (камень упал с крыши на землю), работа равна  (см. рис. 4).

Рис. 4. Определение работы

Важно заметить, что нам безразлично, придавала ли данная сила ускорение телу. Рассмотрим ту же задачу, но с условием, что камень не падает, а осторожно, с постоянной скоростью опускается на веревке. Сила тяжести будет та же, как и перемещение, поэтому работа будет та же,  (см. рис. 5).

Рис. 5. Камень опускают с крыши дома

Нам важно лишь то, как сила участвует в движении, в какой степени она на него влияет. Но не всегда сила направлена туда же, куда и перемещение. Рассмотрим нашу задачу с новым условием: камень опускают по наклонной траектории под углом  к вертикали (см. рис. 6).

Рис. 6. Камень опускают по наклонной траектории

На перемещение  влияет только та составляющая силы тяжести, которая направлена вдоль перемещения, т. е. проекция силы тяжести на направление перемещения (см. рис. 7).

Рис. 7. Составляющая силы тяжести

Из прямоугольного треугольника проекция силы тяжести равна  и работа равна  (см. рис. 8).

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

Поскольку перемещение увеличилось, , окончательно работа равна:

Мы получили формулу для работы в общем виде , где косинус угла между силой и перемещением показывает степень участия силы в данном перемещении, насколько сила выполняет работу по перемещению тела в данном направлении. Работа – это скалярное произведение силы и перемещения.

Формула  показывает частный случай: сила и перемещение сонаправлены (см. рис. 9), т. е. угол между ними равен 0 и .

Рис. 9. Сила и перемещение сонаправлены

Пример 2. Сила и перемещение разнонаправлены

Вернемся к задаче о камне и рассмотрим другой частный случай, когда сила и перемещение направлены в противоположные стороны. Найдем теперь работу силы натяжения веревки, на которой камень спускают вертикально (см. рис. 10).

Рис. 10. Найдем силу натяжения веревки

Находим работу по той же формуле . Перемещение равно все той же высоте дома. Сила натяжения веревки по модулю равна .

 

Почему

Откуда мы взяли, что ? Задача на движение тела, на которое действуют силы. Нам не важны размеры камня, поэтому можем считать его материальной точкой и применить второй закон Ньютона. По условию камень опускается равномерно, ускорение равно нулю, значит, и равнодействующая действующих на него сил равна нулю, т. е. сила натяжения компенсирует силу тяжести,  (см. рис. 11).

 

Рис. 11. Сила натяжения компенсирует силу тяжести

 

Угол между противоположно направленными векторами  и  равен 180°. Теперь у нас все есть для нахождения работы:

Результат согласуется с нашими представлениями: когда сила и перемещение направлены противоположно, мы получили отрицательную работу, и действительно, сила не способствует движению, а противодействует ему. Сила натяжения веревки «тащит» камень вверх, а он опускается вниз.

 

О выборе системы координат

Посмотрим, влияет ли на знак работы выбор системы координат. У нас есть тело, которое поднимается, т. е. движется вверх. Рассмотрим работу силы тяжести. Сила тяжести направлена вниз.

Попробуем направить ось координат вверх и вниз (см. рис. 12).

 

Рис. 12. Выбор направления оси y

 

В первом случае перемещение положительно, сила отрицательна. Работа будет равна:

 

 

Во втором случае перемещение отрицательно, сила положительна. Работа будет равна:

 

 

Таким образом, если сила выполняет отрицательную работу в данном направлении, то это происходит независимо от выбора системы координат, поэтому выбор делаем, как удобнее для решения задачи.

 

Об отрицательной работе

Отрицательные числа – это модель. В природе нет отрицательного количества. Есть количество, к примеру, 5 монет. -5 монет может значить, что эти же 5 монет забрали от начального количества. В физике мы часто сталкиваемся с векторными величинами: скорость, перемещение, сила и т. д. Их проекции на оси координат могут быть отрицательными. Если проекция скорости равна -5 м/с, это значит, что тело движется со скорость 5 м/с против направления оси координат (см. рис. 13).

 

Рис. 13. Направление скорости против оси координат

Знак показывает направление относительно выбранной оси координат.

Что значит отрицательная работа? Работа не вектор, у нее нет направления и ее нельзя рассматривать в проекции на оси координат. Что тогда значит минус? Работа – это произведение двух векторов, силы и перемещения, и знак работы тоже показывает направление одного вектора относительно другого, без привязки к оси координат.

 

Пример 3. Сила и перемещение перпендикулярны

Рассмотрим еще один случай: камень не опускали, а переместили горизонтально на расстояние  (см. рис. 14).

Рис. 14. Сила натяжения нити работу не совершает

Тогда работа силы натяжения нити равна , сила натяжения работу не совершает. Совершает работу сила тяги , под действием которой груз будет перемещаться горизонтально, эта сила совершит работу по перемещению груза (см. рис. 15).

Рис. 15. Сила, которая совершает работу

Здесь результат тоже логичен: проекция силы натяжения на горизонтальное направление равна нулю, поэтому эта сила не влияет на движение тела в данном направлении и, соответственно, не совершает работы по перемещению в данном направлении.

 

Противоречие жизненному опыту

Кажется, что это не согласуется с нашим жизненным опытом. Если груз тяжелый и нести его далеко, то человек устает, а мы утверждаем, что работы по перемещению груза он не совершает. Дело в том, что чувство усталости не всегда определяется работой как физической величиной, человек устает от длительного напряжения мышц, расхода химической энергии, накопления продуктов обмена.

То же самое мы наблюдаем в случае с человеком, толкающим неподвижную стену или держащим кирпич на вытянутой руке (см. рис. 16).

 

Рис. 16. Работа не совершается

Человек устанет, в случае с кирпичом даже очень быстро, но работа будет совершена нулевая: и стена, и кирпич неподвижны, перемещение равно нулю.

 

Как видим, во всех случаях справедливо одно общее выражение:

Задача 1

Какую работу надо совершить, чтобы заставить поезд массой 800 т: а) увеличить свою скорость от 36 до 54 ; б) остановиться при начальной скорости 72 ?

Задача на работу. Работу будет совершать сила тяги поезда  (см. рис. 17).

Рис. 17. Сила тяги совершает работу

Пользуемся определением работы, это скалярное произведение суммы и перемещения:

Тело движется с ускорением под действием силы тяги, применим второй закон Ньютона (сразу учтем, что сила тяжести и сила реакции опоры компенсируются) (см. рис. 18).

Рис. 18. Применяем второй закон Ньютона

Тело движется с ускорением, изменяет скорость с  до, применим уравнения кинематики для равноускоренного движения. По определению ускорение равно:

Путь при равноускоренном движении равен:

Выберем систему координат. Удобно направить ось х в направлении движения поезда (см. рис. 19).

Рис. 19. Выбор направления оси х

Тогда проекции скоростей и перемещения будут положительны, проекция ускорения определяется разностью , сила сонаправлена с ускорением.

Получим систему уравнений, которую остается только решить, а это задача математическая:

Решив систему уравнений, получаем ответ:

Вычислим для двух случаев, заданных в условии. Поезд разгоняется от 36 км/ч до 54 км/ч. В СИ значения скорости будут равны 10 м/с и 15 м/с. Масса равна 800 т или .

Поезд тормозит от 72 км/ч до 0 км/ч. В СИ начальная скорость равна 20 м/с.

Ответ: 50 (МДж); -160 (МДж).

 

В первом случае скорость увеличивалась, значит, ускорение и сила были сонаправлены со скоростью и перемещением (см. рис. 20).

Рис. 20. Ускорение и сила сонаправлены со скоростью и перемещением

Сила сонаправлена с перемещением, работа в этом случае положительна, что мы и получили. Во втором случае скорость уменьшалась, значит, ускорение и сила направлены противоположно скорости и перемещению. Сила направлена противоположно перемещению, работа отрицательна (см. рис. 21).

Рис. 21. Сила направлена противоположно перемещению

Мы все сделали правильно.

На следующем уроке разберем это более подробно, но можем заметить, что  и  – это кинетическая энергия, т. е. работа была затрачена на изменение кинетической энергии.

 

Рассмотрим еще несколько примеров того, как силы выполняют работу.

Нет специфических правил для каждой силы, они все подчиняются одному выражению . В каждом случае для нахождения работы мы должны узнать силу, перемещение и их направления. Мы лишь можем заметить тенденции, что чаще всего (но не всегда) работа силы тяги положительна, потому что в большинстве случаев тело движется туда, куда мы его тянем (см. рис. 22).

Рис. 22. Работа силы тяги

Чаще всего (но не всегда) работа силы трения отрицательна, т. к. она направлена против направления движения скользящего тела (см. рис. 23).

Рис. 23 . Работа силы трения

Чаще всего (но не всегда) тела движутся вдоль поверхности, в то время как сила реакции опоры направлена перпендикулярно ей, поэтому работа силы реакции опоры равна нулю. Но это лишь тенденции, которые говорят, как бывает чаще всего, мы же подчиняем все случаи одному закону  и находим однозначный ответ на вопрос.

Задача 2

Лифт начинает движение вниз и через 3 с достигает скорости 1,5 м/с. Найти работу силы реакции опоры по перемещению груза за это время, если масса груза в лифте равна 140 кг.

В задаче описан груз, который движется под действием силы тяжести и силы реакции опоры. Рассмотрим силу реакции опоры. Работа находится как скалярное произведение  (см. рис. 24).

Рис. 24. Нахождение работы

Тело движется с ускорением под действием разных сил, этот процесс подчиняется второму закону Ньютона и описывается формулами кинематики.

Сразу учтем, что , тогда по определению ускорение равно:

Путь при равноускоренном движении равен:

Направим ось координат у вдоль движения лифта, вертикально вниз (см. рис. 25).

Рис. 25. Выбор направления оси y

Тогда в проекции на ось у получим:

Вычислим:

Ответ: -3 (кДж).

Задача решена.

Мощность

Когда мы оцениваем качество работника (или механизма, или двигателя), нам мало руководствоваться только тем, какую работу он выполнил. Нас еще интересует, как быстро он ее выполняет. Можно совершить работу за час и быть молодцом, а можно потратить на ту же работу целый день: работа выполнена, результат тот же, но медленно. Для характеристики быстроты или скорости выполнения работы вводится величина мощность. Мы уже сталкивались с величинами, характеризующими быстроту (скоростью, ускорением), поэтому знаем, что быстрота изменения какой-либо величины – это изменение величины, деленное на промежуток времени, на протяжении которого величина изменялась.

 Так же и мощность – это работа, деленная на время ее выполнения: 

Единица мощности называется ватт (Вт).

 

Почему иногда совершается небольшая работа при большой мощности

Не всегда большая мощность означает, что выполняется большая работа. Например, мощность разряда молнии огромна, она может достигать 200 ГВт, не каждая электростанция развивает такую мощность. Совершённая при этом работа может пойти на нагревание и ионизацию воздуха, на вспышку света, на выведения из строя электросети, если ударит в линию электропередач, и т. д. Вычислим ее, если длительность разряда молнии равна около 0,001 с, и получим около : такую работу совершат два электрических чайника за полсуток. Напротив, если кипятильник малой мощности, например 700 Вт, будет работать неделю, работа совершится в разы бόльшая, чем при разряде молнии. Мы используем оба понятия: и работу, и мощность, они оба нужны, чтобы описывать тот или иной процесс.

Это как с механической скоростью движения: рекорд скорости футбольного мяча –200 км/ч. Вертолет на такой скорости за двое суток пересечет всю Россию с запада на восток. Скорость большая, но мяч на такой скорости движется доли секунды и успевает лишь долететь до ворот на несколько десятков метров.

Задача 3

Какую среднюю мощность развивает сила тяжести в процессе падения кота массой 2 кг с дерева высотой 3 м?

Задача на мощность, используем определение мощности как скорости совершения работы:

Работа – это сила, умноженная на перемещение:

(в нашем случае сила тяжести  направлена вниз, перемещается кот тоже вниз).

Для задач на движение мы можем также применять законы кинематики. За время падения кот, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, пройдет путь:

Направим ось у вертикально вниз вдоль перемещения кота (см. рис. 26).

Рис. 26. Выбор направления оси y

Тогда в проекции на ось у запишем систему уравнений, которую остается только решить:

Ответ: 77,5 (Вт).

На этом наш урок окончен. Спасибо за внимание!

 

Список литературы

1.    Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика: 10 класс, Учеб. для общеобразоват. учреждений. Базовый и профильный уровни – 19-е издание – М.: Просвещение, 2010. 

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1 Сайт «Санкт-Петербургская школа» 

2. Класс!ная физика   

3. Портал «EDUCON.BY Математика и Физика»        

 

Домашнее задание

1. Дайте определение работы в механике.

2. В каких единицах измеряется работа?

3. Определите мощность электрического чайника, если за 50 с работы он совершает работу по нагреванию воды 110 кДж.