Классы
Предметы

Потенциальная энергия в поле тяготения. Вторая космическая скорость

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Потенциальная энергия в поле тяготения. Вторая космическая скорость

Мы живем на дне глубокого гравитационного «колодца». Изучением этого дна – поверхности Земного шара – заполнена вся история человечества. Но всегда находились отчаянные мечтатели – легенда об Икаре тому свидетельство – которым хотелось шагнуть не за горизонт, а ввысь. Трудами многочисленных ученых, начиная с безвестных халдейских звездочетов, через Птолемея и Коперника, Галилея и Кеплера, и, наконец, великого Ньютона, люди пришли к пониманию закономерностей движения в поле сил тяжести. А. Штернфельд, один из пионеров космонавтики, размышляя о возможности полета в космическом пространстве, ввел, независимо от К. Э. Циолковского, понятие первой космической скорости и предложил ее «в качестве единицы для сравнения космических скоростей, характеризующих данную планету». Далее он выстроил целую систему космических скоростей – своеобразную космическую лестницу. Давайте пройдем по нескольким ступеням этой лестницы.

1. Введение

Мы живем на дне глубокого гравитационного «колодца». Изучением этого дна – поверхности Земного шара – заполнена вся история человечества. Но всегда находились отчаянные мечтатели – легенда об Икаре тому свидетельство – которым хотелось шагнуть не за горизонт, а ввысь. Трудами многочисленных ученых, начиная с безвестных халдейских звездочетов, через Птолемея и Коперника, Галилея и Кеплера, и, наконец, великого Ньютона, люди пришли к пониманию закономерностей движения в поле сил тяжести. А. Штернфельд, один из пионеров космонавтики, размышляя о возможности полета в космическом пространстве, ввел, независимо от К. Э. Циолковского, понятие первой космической скорости и предложил ее «в качестве единицы для сравнения космических скоростей, характеризующих данную планету». Далее он выстроил целую систему космических скоростей – своеобразную космическую лестницу. Давайте пройдем по нескольким ступеням этой лестницы.

 

Предварительно получим простое, но очень важное соотношение для потенциальной энергии тела в центрально-симметричном гравитационном поле, т. е. таком поле, в котором величина силы тяжести зависит только от расстояния до центра тяготения. Именно таким является поле всех космических тел, которые приближенно можно считать сферическими, – планет, звезд и т. п.

Элементарная работа перемещения тела массой  в поле тяготения небесного тела массой  равна

,

где  – расстояние между центрами масс обоих тел,  – гравитационная постоянная. Изменение потенциальной энергии тела, когда его расстояние до центра тяготения меняется от  до , равно работе, совершаемой над телом при таком перемещении:

.

Это единственное место в конспекте, которое вам пока придется принять на веру, поскольку вы пока не обладаете достаточными математическими знаниями.

Подсчитаем минимальную энергию, требующуюся для выведения космического корабля на круговую орбиту радиусом  с поверхности планеты радиусом . В этом случае нам необходимо не только изменить потенциальную энергию корабля в поле тяготения, но и сообщить ему некоторую кинетическую энергию для обращения по круговой орбите. Скорость обращения находится из условия равенства ускорения свободного падения и центростремительного ускорения:

и составляет

.

Тогда минимальная кинетическая энергия, которую должны сообщить кораблю двигатели при взлете, равна

,

откуда находим взлетную скорость, позволяющую вывести корабль на круговую орбиту радиусом :

Возьмем вначале радиус орбиты . Тогда

,

где  – первая космическая скорость для рассматриваемой планеты.

Для Земли, которая, естественно, интересует нас прежде всего, .

Пусть теперь , т. е. корабль, стартуя с поверхности планеты, имеет такую скорость, что способен преодолеть узы тяготения планеты и удалиться от нее на произвольно большое расстояние. При этом корабль будет двигаться по параболической траектории. По этой причине такая скорость носит название параболической относительно данной планеты, или второй космической. Она равна

.

Для Земли .

Все эти рассуждения справедливы для изолированной планеты. Однако если планета входит в планетную систему, имеющую центральное светило – Солнце, то, освободившись от тяготения планеты, корабль отнюдь не избавится от притяжения Солнца. Теперь он станет обращаться по замкнутой траектории вокруг Солнца.

Движение тела вокруг Солнца

Рис. 1. Движение тела вокруг Солнца

Чтобы разорвать путы солнечного притяжения, мы должны сообщить кораблю параболическую скорость относительно Солнца (см. Рис. 1):

,

где  – масса Солнца,  – радиус орбиты планеты, которую мы для простоты считаем круговой,  – скорость орбитального движения планеты.

Для Земли  и .

Означает ли это, что мы обязаны разогнать корабль до скорости 42,1 км/с для того, чтобы он ушел произвольно далеко от Солнца? Конечно, нет, ведь мы можем использовать грандиозную катапульту, которой снабдила нас природа, – Землю, несущуюся по своей орбите со скоростью . Легко понять, что для Земли скорость, позволяющая, хотя бы в принципе, долететь до любого космического объекта, расположенного в плоскости орбиты Земли за пределами Солнечной системы, – третья космическая скорость – равна

.

Итак, сообщив кораблю скорость  у поверхности Земли, мы можем послать его к любой звезде, лежащей в плоскости обращения Земли. К любой, кроме ближайшей – Солнца! Это – один из парадоксов, отмеченных А. Штернфельдом.

Можно показать, что для того, чтобы корабль мог двигаться по направлению к центру Солнца, нужно полностью компенсировать орбитальное движение Земли. Тем самым, четвертая космическая скорость относительно Земли равна

.

Далее, следуя Штернфельду, можно ввести понятия пятой и шестой космических скоростей. Пятая позволяет достичь любого космического объекта, двигаясь в плоскости, перпендикулярной к плоскости орбиты Земли. Она определяется выражением

.

При шестой космической скорости так же, как и в случае третьей, полет происходит по параболе в плоскости орбиты Земли, но стартовать можно против направления орбитального движения, что позволяет лететь к избранному космическому объекту в произвольный момент времени. Эта скорость равна

.

А. Штернфельд считал, что эти скорости могут быть полезны при изучении комет.

И наконец, вернемся еще раз к выражению для параболической скорости относительно какого-либо гравитирующего тела сферической формы

.

Как мы видим, величина этой скорости зависит от массы тела  и от его радиуса , причем с уменьшением радиуса скорость увеличивается. В ньютоновской механике нет никаких ограничений для величины скорости, однако мы знаем, что такие ограничения возникают в специальной теории относительности: никакой материальный объект не может иметь скорость, большую скорости света в вакууме .

Для гравитирующего тела можно поставить вопрос: какой радиус должно иметь это тело для того, чтобы никакой материальный объект не мог удалиться от него на произвольно большое расстояние? Такой радиус называется гравитационным радиусом данного тела и определяется выражением

.

Оказывается, если по тем или иным причинам размер какого-либо тела становится меньше гравитационного радиуса, тело превращается в черную дыру. Тем читателям, кому захочется узнать побольше о свойствах этих образований, рекомендую прочитать прекрасную книгу выдающегося английского ученого С. Хокинга «От большого взрыва до черных дыр», вышедшую в издательстве «Мир» в 1990 году. Из предисловия к этой книге американского астрофизика К. Сагана и взят наш эпиграф.

 

Список литературы

  1. Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
  2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. – М.: Дрофа, 2006.
  3. О.Я. Савченко. Задачи по физике – М.: Наука, 1988.
  4. А. В. Пёрышкин, В. В. Крауклис. Курс физики т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.
  5. Туров В. «По ступеням космических скоростей» Квант. – 1992. – № 4. – С. 56-58.
  6. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, «Физика. Учебник для 9 класса средней школы». – М.: Просвещение, 1992.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Rutv.ru (Источник).
  2. Astronet.ru (Источник).
  3. Fxyz.ru (Источник).

 

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 3 ГИА и вопросам А4 ЕГЭ.

1. Вычислите первую и вторую космические скорости для взлёта с поверхности Юпитера. Данные о массе и радиусе Юпитера возьмите из справочника.

2. Попробуйте самостоятельно посчитать гравитационный радиус для Земли и оценить, какой при этом стала бы плотность земного вещества.

3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:

Список вопросов – ответов:

Вопрос: Почему так важно, в какой точке Земли и в какое время стартует ракета?

Ответ: Это важно потому, что, используя Землю как катапульту, можно сэкономить огромное количество топлива, необходимого для разгона корабля до первой космической скорости.

Вопрос: Существуют ли какие-либо другие способы использовать гравитационные поля планет для экономии топлива?

Ответ: Да, примером такого способа экономии является трюк, проделанный одним из американских лунных модулей. Для того чтобы поменять направление своей скорости, пользуясь двигателями, нужно затратить огромное количество топлива, однако, лунный модуль изменил направление своей скорости просто облетев Луну.

Вопрос: Можно ли применить похожие размышления для тел, которые хотят покинуть Галактику?

Ответ: Можно, однако эти размышления могут дать не совсем правильный результат, поскольку Галактику нельзя считать точечным источником гравитации, и, следовательно, поле гравитации нельзя считать сферически симметричным.

Вопрос: Существует ли какая-то наглядная механическая демонстрация того, как на космические тела действует сила гравитации?

Ответ: Да, для того чтобы продемонстрировать силу гравитации, возьмите тонкую эластичную пленку и натяните ее на какой-то каркас. Теперь, если вы поместите тяжелый шарик на поверхность этой мембраны, он ее продавит, и более мелкий шарик притянется к нему. Можете изготовить подобную установку и на собственном опыте увидите, что такое первая и вторая космические скорости.