Классы
Предметы

Действительные числа

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Действительные числа

На данном уроке мы с вами вспомним, что такое действительные числа, их определение и основные свойства.

Тема: Повторение курса алгебры 8-го класса

Урок: Действительные числа

1. Натуральные числа

Рассмотрим основные числовые множества. Первое из них – это множество натуральных чисел, которое на письме обозначается .

Если , значит,  – натуральное число. Таким образом, числа вида , т. е. числа для счета, – это натуральные числа.

2. Целые числа

Далее было придумано число , а также введены отрицательные числа (т. е. числа ). Рассмотрим числа  – это множество целых чисел, которое обозначается  .  Мы видим, что натуральные числа входят во множество целых чисел.

3. Рациональные числа

Далее появились дроби, например ;. В общем виде дробные числа обозначают  , где , а , причём . Множество таких чисел назвали множеством рациональных чисел и обозначили  буквой . После открытия множества рациональных чисел думали, что существует взаимооднозначное соответствие между точками координатной прямой  и множеством всех этих чисел. Для начала необходимо вспомнить, что такое координатная прямая. Это такая прямая, на которой выполнены следующие условия:

- есть направление

- выбрано начало отсчета

- есть масштаб

Рис. 1. График

Рис. 1. График

То есть, думали, что если есть число   , его можно отложить на координатной прямой, то эта точка А будет характеризовать это число; и наоборот, если у нас есть точка В, то мы измерим расстояние до неё от начала отсчёта , и оно окажется равным 2, т. е. оно тоже является рациональным числом. Таким образом мы с вами предположили, что между множеством рациональных чисел и множеством точек плоскости существует взаимоднозначное соответствие. Однако затем в Древней Греции построили треугольник с катетами 1 и 1, а по теореме Пифагора мы можем найти гипотенузу, которая равна .

Затем были построены предположения о том, является ли число  рациональным: если  – рациональное число, то наверное существует такая дробь, где , однако оказалось, что это не так. Давайте теперь вспомним это доказательство. Итак мы хотим доказать, что  не рациональное число, т. е. для него не существует дроби  , чтобы она была в точности равна длине гипотенузы . Гипотенуза существует, т. е. ее можно отложить на координатной прямой, однако числа такого нет. Вот это нам и нужно доказать.

4. Иррациональные числа

Доказательство

Для доказательства воспользуемся методом «от противного». 

Предположим, пусть  – рациональное число, т. е. найдется такая несократимая дробь , что она в точности равна . Но если бы она была сократимая, то мы бы могли её сократить.

Теперь предположим, что она существует и она не сократима , что  , вот подобрали такую дробь.

По методу «от противного» нам необходимо получить противоречие, и если мы получим это противоречие, значит, исходная предпосылка была неверна, и  не является рациональным числом. А значит,  назвали иррациональным, и все остальные числа, которые не являются рациональными, назвали иррациональными.

Итак, нам предстоит получить противоречие из нашего предположения, что  – рациональное число, т. е. дробь    существует. Если это правда, то . Слева и справа числа не отрицательные, поэтому их можно возвести в квадрат  Левая часть делится на 2 , а значит и правая часть уравнения делится на 2.  , а если  , значит и один из сомножителей делится на 2. Получается, что и . У нас есть , где , получается, что . Если , то тогда и , а значит , т. е. . Если  и , то получается, что  – сократимая дробь, а это противоречит поставленному условию, значит,  – не рациональное число, а иррациональное.

Таким образом мы выяснили, что помимо рациональных чисел существуют также иррациональные числа, т. е. такие, которые не являются рациональными и не могут быть записаны в виде дроби  , где , а , причём .

Важно помнить, что если к рациональному числу мы прибавим иррациональное, то полученное число будет также иррациональным, например, число  – это иррациональное число.

Если , то , если r – рациональное число, то их разность также будет рациональным числом, однако мы видим, что это не так, поскольку  – число иррациональное.

5. Действительные числа

Также существует ещё одно множество чисел, которое называется множеством действительных чисел и обозначается . Это множество состоит из суммы множеств рациональных и иррациональных чисел. . И только теперь мы установили взаимооднозначное соответствие между точками координатной прямой  и множеством действительных чисел, т. е. теперь каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой, и наоборот – каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число.

Итак, мы выяснили, что же такое множество действительных чисел и из чего оно состоит (из множеств рациональных и иррациональных чисел).

6. Решение типовых задач

Множество рациональных чисел – это множество дробей вида  , где , а , причём . Любая обыкновенная дробь может быть представлена в виде десятичной дроби, и наоборот.

Например

 (а)

Давайте теперь посмотрим, чем будет отличаться дробь . Эту дробь также можно представить в виде десятичной дроби, однако мы получим одну особенность: мы получим десятичную бесконечную, но периодическую дробь:  (цифра «(3)» в скобках означает, что она будет повторяться в периоде, т. е. до бесконечности). (б)

Таким образом мы видим, что каждую обычную правильную дробь мы можем представить в виде десятичной дроби (либо обычной дроби (вариант (а)), либо в виде бесконечной, но периодичной дроби (вариант (б))).

Мы можем вывести закономерность, что конечная десятичная дробь у нас получается в случае, если в знаменателе обычной дроби у нас стоит число, которое делится на 2 или на 5.

Например:

0,05

Если же в знаменателе будет стоять число, которое при разложении на множители будет иметь любое другое простое число (не 2 и не 5), то такая простая дробь при переходе в десятичную будет становиться бесконечной периодичной.

Мы видим, что перевод дроби из обычной в десятичную не сложен, однако иногда нам необходимо сделать обратную задачу, рассмотрим такой пример.

Задача

Дано:  

Задача: перевести данную десятичную периодическую дробь в вид обычной дроби.

Поскольку в условии нам дали бесконечную периодическую десятичную дробь, то по определению, мы можем её представить в виде обычной дроби.

Мы имеем бесконечный «хвост» у исходной дроби, для того чтобы упростить себе задачу переведения исходной десятичной дроби в обычную, давайте домножим её на 100.

 (а)

 (б)

Теперь вычтем из уравнения (б) уравнение (а)

Ответ:

Вывод

На данном уроке мы с вами вспомнили, какие множества чисел существуют, а также дали их определения. Научились преобразовывать обычные дроби в десятичные, и наоборот.

 

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Математика (Источник).
  2. ВикипедиЯ (Источник).
  3. Интернет-портал Testmath.com.ua (Источник).

 

Домашнее задание

  1. К какому множеству чисел относятся нижеприведенные числа: а) -3, 5,; б)   , ; в)
  2. Переведите в десятичные дроби:  ,  ,
  3. Переведите в обычные дроби:  ,  ,