8 (800) 775 4121
Назад
5 853
04 декабря 2023
ЕГЭ по математике: новое задание в профильном экзамене 2024 года
Статья 
Оглавление
В 2024 году в профильном экзамене по математике всего одно изменение. В первой части добавили задание 2 на векторы. Все новые задания в ЕГЭ по математике можно условно разделить на две группы: сложение векторов и координаты вектора. В этой статье рассмотрим теорию, необходимую для выполнения заданий первой группы, и основные прототипы — решение 7 заданий.
Теория
Начнём с основ. Напомним ключевые понятия, которые пригодятся для решения нового задания.
Вектор, или направленный отрезок, — отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом.
Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например АВ. Первая буква означает начало вектора, вторая — конец. Есть и альтернативный вариант обозначения вектора — одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например a.
Нулевой вектор — любая точка на плоскости. Такой вектор сонаправлен любому вектору.
Длина (модуль) ненулевого вектора АВ — это длина отрезка АВ. Обозначается |АВ|.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Если эти векторы направлены в одну сторону, то их называют сонаправленные, если в разные — противоположно направленные.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
От любой точки плоскости можно построить вектор, равный данному, притом только один.
Векторы a и b; e, d, f и g коллинеарны, что обозначается как:
-
a∥b
-
e∥d ∥f∥g
Векторы a и b; e и g; f и d сонаправлены, что обозначается как:
-
a⇈b
-
e⇈g
-
f⇈d
Противоположно направленные векторы:
-
e ↑↓d
-
f ↑↓g
Равные векторы:
-
a=b
-
e=g
Для того чтобы сложить два вектора, следует от конца первого вектора построить вектор, равный второму вектору; вектор суммы будет направлен от начала первого к концу второго.
Если же два вектора выходят из одной точки, то вектор суммы будет диагональю параллелограмма, построенного на этих двух векторах (следствие правила треугольника).
Вычесть векторы можно при помощи правила суммы, то есть воспользоваться тем, что для любых векторов a и b справедливо равенство a-b=a+-b. Вектор (-b) — вектор, противоположно направленный вектору b и равный ему по длине.
Есть и другой вариант — правило разности: если два вектора выходят из одной точки, вектор их разности имеет начало в конце вектора, который вычитаем, и направлен в конец того вектора, из которого вычитаем (следствие правила треугольника).
Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна k∙a, причём векторы a и b сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k< 0.
Практические примеры
Теперь у нас достаточно знаний для решения первой группы заданий. Приступим!
Пример 1
Решение
Длина вектора AС равна диагонали данного параллелограмма.
AС=25
Ответ: 25.
Пример 2
Решение
Векторы BA и BD выходят из одной точки. Значит, их разность находим как вектор, направленный из конца вектора, который вычитаем, к тому, из которого вычитаем.
Ответ: 24.
Пример 3
Решение
Ответ: 17.
Пример 4
Решение
Наша задача сводится к тому, чтобы найти длину отрезка ВС.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, значит, ∠ВОС=90°.
Ромб — это параллелограмм, поэтому не забываем также, что диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Пусть BD = 16, AC = 12.
Рассмотрим треугольник ВОС, прямоугольный.
Найдём ВС по теореме Пифагора:
Ответ: 10.
Пример 5
Решение
Ответ: 7.
Пример 6
Решение
Из условия задачи АС = 3, СВ = 4.
Найдём гипотенузу треугольника по теореме Пифагора.
Ответ: 2,4.
Пример 7
Решение
Ответ: 4,5.
Понимаем, самостоятельно разобраться в новой теме и подготовиться к профильному ЕГЭ по математике сложно. Надёжнее и проще сделать это при помощи профессионалов. Например, с помощью экспертов Домашней школе «ИнтернетУрок».
Начни подготовку заранее!
