Классы
Предметы

Скалярное произведение в координатах. Свойство скалярного произведения

На этом уроке мы выведем формулу, которая позволяет находить скалярное произведение векторов через их координаты, и рассмотрим свойства скалярного произведения.
Вначале сформулируем и докажем формулу для выражения скалярного произведения через координаты для неколлинеарных векторов. Далее рассмотрим скалярное произведение в координатах для коллинеарных векторов – сонаправленных и противоположно направленных. Рассмотрим следствия из полученной формулы в координатах о перпендикулярных векторах и о косинусе угла между ненулевыми векторами. Сформулируем и докажем свойства скалярного произведения: переместительный, распределительный и сочетательный законы и неотрицательность скалярного квадрата.
В конце урока решим несколько задач на использование свойств скалярного произведения и нахождения косинуса угла.

Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов

Урок: Скалярное произведение векторов в координатах

 

1. Тема урока, введение

Тема урока: «Скалярное произведение векторов в координатах. Свойства скалярного произведения». На этом уроке мы выведем формулу вычисления скалярного произведения через координаты векторов, рассмотрим свойства скалярного произведения и решим задачу на использование свойств скалярного произведения векторов.

2. Теорема о скалярном произведении векторов в координатах

Сформулируем и докажем центральную теорему урока.

Теорема. Скалярное произведение векторов  и  выражается формулой

Доказательство.

1. При  или  теорема очевидна.

2. Пусть  и  – ненулевые векторы. Тогда по теореме косинусов

Перейдем в этой формуле к координатам.

Уточним, что теорема доказана для случая неколлинеарных векторов, в доказательстве был использован треугольник, теорема косинусов, поэтому случай коллинеарных векторов тоже рассмотрим, при этом учтем, что угол между коллинеарными векторами может быть равен 180° или 0°.

3. Пусть

Подгоним это равенство под формулу, полученную при доказательстве теоремы.

Формула та же самая, если записать ее в координатах, то получим

4. Аналогично рассмотрим случай 

Вывод:  для всех векторов   и .

3. Следствия из теоремы

Сформулируем следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Ненулевые векторы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда  .

Действительно,  .

Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами  и  выражается формулой:

Действительно,

4. Свойства скалярного произведения векторов

Рассмотрим свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов  и любого числа k справедливы соотношения:

1. , причем  при  .

Доказательство.

Но  при  .

2.  (переместительный закон).

Доказательство (из определения).

3.  (распределительный закон).

Доказательство.

Для доказательства используем метод координат.

 , тогда

.

 

4.   (сочетательный закон).

Доказательство.

, значит,

Замечание. Распределительный закон справедлив и в случае нескольких слагаемых, например,

.

5. Задача на использование свойств скалярного произведения векторов

Задача. Вычислить скалярное произведение векторов  и  , если  и  .

Решение.

По свойствам скалярного произведения

Ответ: 13.

6. Заключение

Итак, мы вывели формулу вычисления скалярного произведения векторов через координаты векторов, доказали свойства скалярного произведения и решили задачу на вычисление скалярного произведения с использованием свойств скалярного произведения.

На следующем уроке мы рассмотрим решение задач на вычисление скалярного произведения.

 

Список литературы

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
  3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. E-science.ru (Источник).
  2. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1044, 1048.