01. Основные понятия, разъясняющие примеры
14 мин
02. Нахождение области определения и области значений числовой функции
20 мин
03. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях
15 мин
04. Аналитический способ
22 мин
05. Графический и табличный способы
20 мин
06. Основные свойства числовых функций
20 мин
07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)
24 мин
08. Функции y = k/x, y=√x, y = |x|
20 мин
09. Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c
25 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
18 мин
11. Исследование функций на чётность
16 мин
12. Степенная функция с чётным показателем степени y = x²ⁿ, её свойства и график
16 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
17 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
19 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
22 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
19 мин
17. Задачи на степенные функции y = x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
22 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
14 мин
19. Основные правила преобразования графиков функций
23 мин
20. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m > 0
11 мин
21. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m < 0
16 мин
22. Графическое решение уравнений, неравенств
15 мин
04. Аналитический способ
Видео доступно по абонементу
На этом уроке мы начнём изучать способы задания функций и начнём с изучения аналитического способа задания функции, то есть с помощью формул. Вначале вспомним определение функции и сформулируем главное правило, которому должен подчиняться аналитический закон. Рассмотрим несколько примеров аналитического задания функции. Повторим построение графиков и нахождения области определения и области значений аналитически заданной функции. В конце решим ряд задач на построение функций, в том числе и задачи с параметром.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции».
На уроке изучаются способы задания функции и рассматривается задание функции аналитическим способом, то есть с помощью формул.
Определение. Функцией называется закон (правило), по которому каждому элементу (числу) из множества ставится в соответствие единственный элемент (число) .
В определении: – независимая переменная (аргумент), - зависимая переменная (функция), множество – область определения, то есть множество всех допустимых значений аргумента.
Из определения ясно: чтобы задать функцию , надо задать закон или правило. Надо учесть единственное требование, которому должен удовлетворять этот закон : каждому должен соответствовать единственный элемент .
Линейная функция.
а. ;
б. .
Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.
Решение.
а. Строится график функции (см. pис. 1).
Ответ: , .
б. Строится график функции (см. pис. 2).
Ответ: .
Квадратичная функция.
а. ;
б. .
Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.
Решение.
а. Строим график функции (см. pис. 3).
Ответ: .
Чтение графика: если возрастает от до , то убывает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до .
б. Строим график функции (см. pис. 4).
Ответ: область определения – проекция на ось . Область значений – проекция на ось .
Чтение графика: если возрастает от до , то убывает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до .
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где , :
1. Имеет хотя бы одно решение;
2. Имеет одно решение;
3. Имеет два решения.
Решение.
Решить задачу с параметром означает рассмотреть все значения параметра и при каждом из них указать ответ.
Решение задачи выполняется по алгоритму.
, где
где и
1. Построить график функции, стоящей в левой части исходного уравнения , то есть график квадратичной функции , (см. pис. 4).
2. Рассечь график семейством прямых (см. pис. 5).
3. Найти точки пересечения и их количество.
4. Выписать ответ.
Ответ:
1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при (это следует из определения области значений, то есть каждое значение функции из области значений достигается хотя бы при одном значении аргумента);
2. Одно решение при ;
3. Два решения при .
Примечание. Данные задачи важны, так как встречаются на экзаменах в 9 и 11 классах.
Дана функция , где
Требуется:
1. Построить график функции;
2. Найти её области определения и значений.
Решение. График функции изображен на рис.6.
Ответ: область определения – проекция графика функции на ось ; область значений – проекция графика функции на ось .
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где :
1. имеет хотя бы одно решение;
2. имеет только одно решение;
3. имеет два решения.
Чтение графика: если возрастает от до , то возрастает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до ; если возрастает от до , то убывает от до .
Решение. Воспользуемся соответствующим алгоритмом (см. п. 3).
1. Построить график функции (см. pис. 6).
2. Рассечь график функции семейством прямых (см. pис. 7).
3. Найти точки пересечения и их количество.
4. Выписать ответ.
и , где и
Ответ:
1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при ;
2. Уравнение имеет только одно решение при , ;
3. Уравнение имеет два решения при .
На этом уроке повторили определение функции, рассмотрели аналитические способы задания функций ( с помощью одной или нескольких формул ). Этот способ задания функций будет использоваться и далее.
Список рекомендованной литературы
1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.
2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.
3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.
4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.
5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Полезные ссылки
1. Раздел College.ru по математике.
Проверь себя
1. № 14,15, 17 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 8.132 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).
"