11. Чётные и нечётные функции

Введение

Какую функцию называют четной?  А  какую нечетной?  Что такое функция общего вида? Как определить вид функции?  Развернутый ответ на эти вопросы иллюстрируется  исследованием на четность (нечетность) различных функций. Особое внимание уделено степенной функции, .

Какую функцию называют четной? Определение и свойство графика четной функции

1. Какую функцию называют четной?  Определение и свойство графика четной функции.

Функцию  называют четной, если выполнены два условия:

1) Область определения симметрична относительно .

2) Для любого  справедливо .

Разберем данное определение.

1) Первое условие означает: если отрезок , то и отрезок .

Заметим, что если  не симметрична, то функция является функцией общего вида.

2)  Второе условие означает: если точка с координатами  принадлежит графику функции, то и точка с координатами  тоже принадлежит графику функции.

Заметим, что точки и  симметричны относительно оси .

Следствие:  График четной функции симметричен относительно оси .

Обратно:  Если график функции не симметричен относительно оси , то это график функции, которая не обладает свойством четности.

Какую функцию называют нечетной? Определение и свойство графика нечетной функции

2. Какую функцию называют нечетной?  Определение и свойство графика нечетной функции.

Функцию  называют нечетной, если выполнены два условия:

1) Область определения симметрична относительно .

2) Для любого  справедливо .

Разберем  данное определение на примере конкретной  нечетной функции: .

1) Если точка с координатами  лежит  на графике, то и точка с координатами  тоже лежит.

.

2) Если точка с координатами  лежит  на графике функции, то и точка с координатами  тоже лежит.

Заметим, что точки и  симметричны относительно  начала координат.

Следствие:  График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Обратно:  Если график функции не симметричен относительно точки , то это график функции, которая не обладает свойством нечетности.

Исследование на четность и нечетность степенных функций вида y = xn

3. Исследование на четность и нечетность степенной функции .

Функции ; ; ; ; .

Функция  - это  нечетная функция.

Она удовлетворяет требованиям определения нечетной функции.

Область определения симметрична относительно .

.

График симметричен относительно .

Функция  - это функция общего вида.

Ее график не симметричен относительно и оси .

Функции и .

Область определения симметрична относительно .

График этих функций симметричен относительно оси .

Функция - это функция общего вида.

Ее график не симметричен относительно и оси .

Функция  - это  нечетная функция.

Она удовлетворяет требованиям определения нечетной функции.

Область определения симметрична относительно 

График симметричен относительно 0(0;0).

Вывод

1) Функции вида  (показатель степени – четное число) являются четными функциями.

2) Функции вида  (показатель степени – нечетное число) являются нечетными функциями.

Исследование на четность и нечетность степенной функции y = x-n

4. Исследование на четность и нечетность степенной функции  .

Функции: ; ; ;

Очевидно, что естественная область определения этих функции . Значит, область определения симметрична относительно  (хотя сама точка 0 не входит(!) в область определения этих функций).

Очевидно, что , значит, это функции нечетные. 

Ясно, что , значит, это функции четные.

Исследование  функций на четность/нечетность позволяет упростить построение графика.  В случае четности или нечетности функцию можно изучить на половине области определения,  а потом продлить по симметрии относительно:

Пример 1

5. Построить график функции .  

Является ли эта функция четной, нечетной или общего вида?

Строим график этой функции.

В силу симметричности графика функции относительно оси функция является четной.

Пример 2

6. Построить график функции .  

Является ли эта функция четной, нечетной или общего вида?

Строим график этой функции.

В силу симметричности графика функции относительно начала координат  функция является нечетной.

Замечание. Функция является нечетной,  несмотря на четность входящих в нее функций.

Исследовать функции на четность/нечетность

7. Исследовать функции  и на  четность/нечетность.

1) .

Область определения функции . Значит, она не симметрична относительно . Следовательно, это функция общего вида.

2) .

Область определения функции симметрична: .

Построим график.

, где .

График симметричен относительно начала координат. Значит, функция является нечетной.