02. Числовая окружность на координатной плоскости. Синус и косинус

Определение радиана

Мы уже знаем, что аргумент можно откладывать на числовой окружности. Рассмотрим круг и его основные части, которые нам будут нужны в дальнейшем.

Определение радиана. Углы могут измеряться разными единицами – градусами и радианами.

Радианом называется такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу (рис.1).

;

Ð.

, т.к. длина хорды меньше длины дуги .

Связь радиана и градуса

Связь радиана и градуса.

Окружность разделили на 360 равных частей и угол, равный одной части, приняли за угол в .

А сколько углов в 1рад можно получить в одной окружности?

Длина окружности , т.е. в окружности содержится  штук  радиусов .

;

 - связь градуса и радиана;

- иррациональное число.

Решение типовых задач

Типовые задачи.

1. Дано: . Перевести в рад.

;

.

a) Дано: . Перевести в рад.

;

.

2. Дано: 1рад. Перевести в градусы.

.

Формулы площади сектора и длины дуги

Через радианную меру угла удобно выражать площадь сектора круга и длину дуги окружности.

Имеем круг радиуса . Найти площадь сектора .

.

Длина дуги - .

Если , то .

Если окружность имеет , то, отложив длину дуги , мы получим центральный угол, который равен в радианном измерении.

Наша цель – тригонометрические функции. Аргументы тригонометрических функций откладывают либо на единичной окружности, либо на координатной прямой. Если окружность единичная, откладывать можно и числа, и углы.

Числовая окружность в координатной плоскости

Переходим к числовой окружности в координатной плоскости.

На окружности начало отсчета – т. А (рис.4).

Зададим . Отложим дугу , получим угол  и т.В.

 – уравнение окружности с центром в т. .

Если , то - уравнение единичной окружности с центром в т. .

Мы уже знаем, что любая точка на окружности описывает множество чисел, первое из них – число  либо угол . Важно уметь находить координаты этих точек.

Любая точка на координатной плоскости характеризуется двумя координатами - и .

;

.

Определение синуса и косинуса

Определение. Если т. В соответствует числу , а значит и углу , то ее абсциссу называют косинусом этого числа или этого угла, а ее ординату – синусом этого числа или этого угла.

;

.

Как вычислять эти значения?

Мы имеем уравнение единичной окружности .

И ранее были вычислены соответствующие значения для углов ; ; .

Примеры

Пример:

Вычислить значения и , если .

Решение:

;

.

Необходимо найти и .

Изобразим т. М на единичной окружности (рис.5). Спроектируем ее на координатные оси и получим точки и .

- координата т. ;

- координата т. .

Т.е. нам необходимо найти и .

Рассмотрим - прямоугольный (рис.6).

.

Но т. принадлежит отрицательной полуоси , поэтому ;

.

Ответ: ; .

Синусы и косинусы реперных точек

Найдем синусы и косинусы основных реперных точек. Реперные точки – это точки пересечения единичной окружности с осями координат (рис.7).

Т. А соответствует углу 0 рад.

По определению .

Значит ; .

Т. В соответствует углу ;

.

Значит ; .

Т. С соответствует углу ; .

Значит ; .

Т. D соответствует углу ; .

Значит ; .

Заключение

Мы ввели числовую окружность и поместили ее в координатную плоскость, решили типовые задачи, определили, что такое синус и косинус угла, выяснили, что если в числовой окружности , то дуга , соответствующая центральному углу , равна самому углу  в радианном измерении, .

Выяснили, что для любой точки ; , т.е. .

Вычислили и  для основных точек.

Изучение и  мы продолжим на следующих уроках.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

2. №№ 631; 634; 554; 561; 574; 578.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник). 

2. Задачи (Источник).

3. Задачи (Источник).