01. Числовая окружность

Тема урока, введение

Наша ближайшая цель – определить тригонометрические функции:  синус, косинус, тангенс, котангенс - ; ; ; ; .

Числовая окружность

Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.

Такая окружность называется числовой или единичной, т.к. для удобства берут окружность с .

Например, дана точка .

Отметим ее на координатной прямой

и на числовой окружности.

.

При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки – положительное направление, по часовой стрелке – отрицательное.

Типовые задачи – нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.

Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу  соответствует точка с координатой .

Каждая точка   с координатой характеризуется только одним числом – расстоянием от 0 до , взятым со знаком плюс или минус.

На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.

Например, есть точка на координатной окружности (рис.2), длина дуги  равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.

.

Дана окружность, длина окружности .

Если , то  – длина единичной окружности.

Если мы прибавим , получим ту же точку , еще  – тоже попадем в т. , отнимем  – тоже т. .

Рассмотрим точку : длина дуги , тогда числа  характеризуют т. на числовой окружности.

Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности – точка , а точке соответствует бесчисленное множество точек вида , или ; ; ; .

Для числовой окружности верно следующее:

Если т. числовой окружности соответствует числу , то она соответствует и числу вида , , или ; ; ;

, .

Можно делать сколько угодно полных оборотов вокруг числовой окружности в положительном или отрицательном направлении – точка одна и та же. Поэтому тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.

Например, дана точка . Каковы числа, которым она соответствует?

Измеряем дугу .

; - множество всех чисел, соответствующих точке .

Основные точки окружности

Рассмотрим основные точки на числовой окружности.

- длина всей окружности.

; .

; .

; или .

Т.е. запись множества координат может быть различной.

Примеры

Рассмотрим типовые задачи на числовую окружность.

1. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Выделяем целую часть:

.

Необходимо найти т. на числовой окружности. ; ;

, тогда , .

.

В это множество входит и точка .

2. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

.

Необходимо найти т.. .

; . т. также принадлежит этому множеству.

Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что можно для каждого числа найти единственную точку, и можно для каждой точки найти множество чисел, которые характеризуются данной точкой.

Пример.

Разделим дугу  на три равные части и отметим точки и .

Найдем все координаты этих точек.

;

; ;

; .

Заключение

Итак, наша цель – определение тригонометрических функций. Для этого нам необходимо научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи – найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.

Список рекомендованной  литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

2. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.