01. Числовая последовательность и способы её задания

Повторение. Числовая функция

Пусть  – числовое множество.

Числовой функцией  называется закон, по которому каждому элементу из  сопоставляется единственное число.

Множество  – это область определения.

Числовая последовательность

Числовая последовательность – это числовая функция (), которая определена на множестве натуральных чисел ().

Областью определения является множество натуральных чисел ().

Обозначают члены последовательности так:

; ; ; ;

Числовая последовательность – это частный случай функции. Как и любая функция, последовательность может задаваться различными способами.

Способы задания числовой последовательности:

1. Аналитический (при помощи формулы)

2. Словесный

3. Рекуррентный

Аналитический способ задания числовой последовательности

Последовательность задана аналитически, если указана формула для вычисления ее -го члена.

, где

Рассмотрим примеры:

1. , это аналитическое задание последовательности чисел: ; ; ; ; ; Указав конкретное значение , нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером.

Построим график данной последовательности. Согласно определению графика функции, графиком данной последовательности является множество всех точек , где  (см. Рис. 1). Все эти точки лежат на правой ветви гиперболы .

Функция  при  убывает, следовательно, числовая последовательность  также убывает.

2.

Выпишем несколько членов данной числовой последовательности:

; ; ;

График данной последовательности – это множество точек с координатами , где  (см. Рис. 2). Все эти точки лежат на ломаной .

Числовая последовательность убывает при , возрастает при .

Словесный способ задания числовой последовательности

Словесный способ задания числовой последовательности используется, когда правило задания последовательности описано словами, не указывая формулы.

Пример

Дано:  – это -я цифра после запятой в десятичной записи числа .

 ; ; ; ; ;

Рекуррентный способ задания числовой последовательности

Последовательность задана рекуррентно, если указано правило, по которому -й член вычисляется по предыдущим членам.

Пример:

; ; , где

В данном примере задана возможность получения любого -го члена последовательности:

; ; ; ; ;

Задача 1

В числовой последовательности ; ; , где , найти 7 член.

Решение

Для того чтобы найти 7 член данной последовательности, необходимо знать 5 и 6 член. В предыдущем примере мы нашли 3, 4 и 5 член, следовательно, можно найти 6, а далее и 7 член.

; ; ; .

Ответ: .

Задача 2

Дано: .

Найти: .

Решение

Подставляем  в формулу для -го члена последовательности :

Ответ: .

Задача 3

Дано: .

Найти: является ли число  некоторым членом заданной последовательности?

Решение

Приравниваем формулу для -го члена последовательности  к числу , получим уравнение относительно . Если  будет натуральным числом, то число  является членом заданной последовательности.

;

;

 ;

 .

Следовательно: .

Ответ: число  является 5 членом заданной последовательности.

Задача 4

Укажите формулу общего члена последовательности, которая задана несколькими членами: 1; 4; 9; 16; 25.

Решение

Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

;

;

;

;

.

Видно, что члены последовательности представляют собой квадраты последовательных натуральных чисел. Таким образом, делаем вывод, что: , где .

Ответ: , где .

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Сурвило Г.С. Алгебра 9 кл. С углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2006.

2. Ма­ка­ры­чев Ю.Н., Мин­дюк Н.Г., Неш­ков, К.И. Ал­геб­ра для 9 клас­са с углубл. изуч. ма­те­ма­ти­ки. – М.: Мне­мо­зи­на, 2003.

3. Морд­ко­вич А.Г. Ал­геб­ра 9  класс, учеб­ник  для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­ждений. – М.: Мне­мо­зи­на, 2002.

Домашнее задание

1. Упражнения 1, 7 (в-е), 8, (глава 11,§1 стр. 219) – Виленкин Н.Я., Сурвило Г.С. Алгебра 9 кл.

2. Найти 15 член последовательности, заданной формулой -го члена: , .

3. Последовательность задана при помощи рекуррентного соотношения, , . Выписать несколько первых членов этой последовательности.

4. Проверить, являются ли числа  и   членами последовательности .