10. Числовые функции. Свойства функции

Введение

Урок посвящен повторению такого свойства функции, как монотонность . Что значит - функция является возрастающей (убывающей) на промежутке? Ответ на этот вопрос иллюстрируется конкретными примерами. На уроке рассматривается универсальный способ доказательства факта монотонности функции на некотором промежутке.

Определения возрастающей и убывающей функции

1. Что означает - числовая функция является возрастающей на промежутке? И что означает - функция является убывающей на промежутке? Определения.

Функция является возрастающей на промежутке , если для любых и из этого промежутка, таких что , функция в точке больше, чем функция в точке , т.е. если то .

Можно сказать иначе: функция является возрастающей, если большему соответствует больший .

Функция является убывающей на промежутке , если для любых и из этого промежутка таких, что , функция в точке меньше, чем функция в точке , т.е. если , то .

Можно сказать иначе: функция является убывающей, если большему соответствует меньший .

Примеры функций, монотонных на заданной области определения

2. Рассмотрим примеры числовых  функций, монотонных на заданной области определения.

Если , то .

Это утверждение справедливо для любых  и , принадлежащих области определения.

Если , то .

Это утверждение справедливо для любых  и , принадлежащих области определения.

Определение: Если функция  только возрастает или только убывает на данном промежутке, то говорят, что функция монотонна на этом множестве.

Доказательство монотонности функции

3. Как доказать, что числовая функция монотонна на данном множестве? Пример доказательства. Рассмотрим функцию с заданной областью определения: .

График этой функции - одна из ветвей гиперболы. Интуитивно ясно, что она монотонно убывает. Докажем этот факт.

Если одно число больше другого, то это означает, что их разность больше нуля. Поэтому сравнение чисел можно заменить сравнением их разности с нулем.

Дано:

Доказать: то , т.е.

Найдем разность: и .

Ясно, что ; .

Приведем дроби к общему знаменателю. Числитель полученной дроби меньше нуля, а знаменатель больше. Значит, вся дробь меньше нуля.

ч.т.д.

Рассмотренный способ доказательства является универсальным:

1) Найти ; .

2) Найти разность .

3) Сравнить полученное буквенное выражение с нулем.

Свойства и график функции

4. Свойства и график функции .

Свойства функции:

1. ;

2. ; ;  - не сущ.;

3. ;

4. На  функция возрастает;

5. На  функция возрастает;

6. На  функция постоянна. Ее значение равно 3.

Рассмотрим сопутствующие задачи:

Задача 1. Найти все значения параметра , при котором существует хотя бы одно решение уравнения: .

Нас просят найти те значения функции, которые достигаются хотя бы при одном значении аргумента.

Ясно, что .

Множество возможных значений параметра совпадает с областью значения функции.

Задача 2. Дано уравнение: . Найти число корней в зависимости от значений параметра .

Ответ:

1. При  уравнение имеет единственный корень.

2. При  уравнение имеет бесчисленное множество решений .