11. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии

Тема урока, повторение определения геометрической прогрессии и формулы общего члена

На уроке повторяется определение геометрической прогрессии, формула общего члена, выводится формула суммы членов конечной геометрической прогрессиии решаются типовые задачи.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число , называют геометрической прогрессией. При этом число называют знаменателем прогрессии.

Математическая запись.

- геометрическая прогрессия, ее члены , при этом:

Иная запись: , т.е. не зависит от . - формула –го члена геометрической прогрессии,

; , , т.е. геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию натурального аргумента.

Формула суммы

Выведем далее формулу суммы конечного числа членов геометрической прогрессии.

Дано: - геометрическая прогрессия.

Найти: .

Решение: .

Умножим обе части этого равенства на :

.

И вычтем из первого равенства второе:

,

 ,

.

В полученной формуле , рассмотрим частный случай .

Геометрическая прогрессия  имеет nравных членов, поэтому ее сумма .

Итак, , при ; при .

Решение задач

Далее рассмотрим  типовые задачи, для решения которых понадобится формула суммы членов геометрической прогрессии: .

1. Дано: - геометрическая прогрессия, ; .

Найти: .

Решение:

;

.

Ответ: .

2. Дано: - геометрическая прогрессия, ; .

Найти: .

Решение:

;

.

Ответ: .

3.  «Легенда об изобретателе шахмат».

Дано: - геометрическая прогрессия, ; .

Найти:

Решение:

;

.

Ответ: .

А теперь легенда. Восточный правитель захотел наградить мудреца за то, что он научил правителя играть в шахматы. Мудрец попросил на первую клетку шахматной доски положить одно зернышко пшеницы, а на каждую следующую в 2 раза больше зерен, чем на предыдущую. Шахматная доска имеет 64 клетки, поэтому общее количество зерен на доске – это сумма 64 членов геометрической прогрессии, у которой ; . Мы только что нашли, что .Оказалось, что это число настолько огромно, что у правителя не нашлось столько пшеницы. Возрастающая геометрическая прогрессия возрастает очень быстро и сумма даже не очень большого числа членов – огромное число.

1. Дано: - геометрическая прогрессия, ; ; .

Найти: .

Решение:

; ; ; ; ;

.

Ответ: ; .

2. Найдите сумму .

Решение:

Данная сумма является суммой геометрической прогрессии, действительно, , отношение не зависит от , т.е. это геометрическая прогрессия. В этой прогрессии ; ; , тогда ; .

Ответ: .

3. Докажите тождество .

Доказательство: При , тождество справедливо. При , имеем геометрическую прогрессию  (; ; ). В предыдущей задаче мы вычислили , тогда . Тождество доказано.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 502 - 505.