01. Основные понятия, разъясняющие примеры
14 мин
02. Нахождение области определения и области значений числовой функции
20 мин
03. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях
15 мин
04. Аналитический способ
22 мин
05. Графический и табличный способы
20 мин
06. Основные свойства числовых функций
20 мин
07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)
24 мин
08. Функции y = k/x, y=√x, y = |x|
20 мин
09. Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c
25 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
18 мин
11. Исследование функций на чётность
16 мин
12. Степенная функция с чётным показателем степени y = x²ⁿ, её свойства и график
16 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
17 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
19 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
22 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
19 мин
17. Задачи на степенные функции y = x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
22 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
14 мин
19. Основные правила преобразования графиков функций
23 мин
20. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m > 0
11 мин
21. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m < 0
16 мин
22. Графическое решение уравнений, неравенств
15 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
Видео доступно по абонементу
На данном уроке вы ознакомитесь с понятием кубического корня из действительного числа, также вы узнаете, что такое функция . Мы изучим различные основные её свойства и рассмотрим график. Также решим типовые примеры по данной теме.
Практическая задача
Необходимо сконструировать кубический резервуар, объём которого равен (м³). Как отмерить величину ребра?
Решение:
Предположим, что ребро куба имеет длину (м). В этом случае объём будет равен (м³). Получается, что необходимо подобрать такое число куб которого равен ().
Например: если объём равен м³, то длина рёбра будет равна м ().
На основании этого примера можно сделать вывод, что необходимо уметь находить число, если известен его куб.
На данном этапе эту задачу можно сравнить с квадратным корнем. И нахождение искомого числа будет происходить по аналогии.
Определение:
Число называется кубическим корнем или корнем третьей степени числа если выполняется соотношение . Это можно записать как , в этом случае – подкоренное выражение, – показатель корня.
Таким образом, выражения эквивалентны, то есть выражают одну и ту же зависимость между действительными числами и
Например:
Кубический корень из существует для любого действительного числа
Как и в случае квадратного корня, при извлечении кубического корня из рационального числа часто будет появляться иррациональный результат.
Доказательство иррациональности ∛5Построим доказательство методом от противного. Предположим, что – рациональное число, то есть его можно представить в виде , где чисто целое, – натуральное. Причём – это несократимая обыкновенная дробь. Тогда по определению: , откуда следует, что . Последнее равенство означает, что пятёрка является делителем числа , то есть натуральное число делится на пять без остатка. Однако это возможно тогда и только тогда, когда пятёрка является делителем самого числа то есть , где – некоторое натуральное число.
Подставим значение из последнего равенства в начальное:
Последнее равенство означает, что двадцать пять является делителем числа и тем более, что делится на пять, тогда и число делится без остатка на пять.
Таким образом, мы получили, что и делятся на пять, а это значит, что – сократимая дробь, так как и числитель и знаменатель можно сократить на пять, но это противоречит нашему предположению. Значит, – иррациональное число.
Результат возведения в куб отрицательного числа будет числом отрицательным, следовательно, и корень кубический из отрицательного числа будет отрицательным числом.
Доказать:
Доказательство:
Пусть , , тогда, по определению кубического корня, , . Отсюда следует, что или . Из последнего равенства следует, что , а значит, справедливо исходное тождество .
Задача о проектировании кубического резервуара
Необходимо автоматизировать процесс сварки. На вход поступает число – объём куба – автомат должен сам посчитать длину ребра.
Как научить автомат извлекать корень кубический из любого действительного числа? Для этого введём понятие функции, область определения которой – все действительные числа.
Рассмотрим функцию , выясним её свойства и постоим график.
1. Область определения функции – множество действительных чисел ().
2. Данная функция является нечётной.
3. Функция возрастает на луче от нуля до плюс бесконечности ( при ).
Доказательство
Возьмём два значения аргумента, расположенные следующим образом: . Необходимо доказать: .
Построим доказательство методом от противного. Предположим, что , тогда, по свойству числовых неравенств, при возведении левую и правую часть в куб знак неравенства сохраняется . Таким образом, , что противоречит условию задачи. Исходя из этого, можно сделать вывод, что наше предположение неверно и .
В силу нечётности функции, свойство можно обобщить на всю область определения ( при ).
4. Функция не ограничена сверху на луче от нуля до плюс бесконечности ()
Доказательство
Дано: .
Доказать: .
Построим доказательство методом от противного. Предположим, что существует такое положительное число что для любого выполняется неравенство . Возьмём на луче от нуля до плюс бесконечности некую точку . Тогда значение функции в этой точке будет равно , а это больше Значит, мы нашли точку, такую, что что противоречит нашему предположению.
Функция монотонно возрастает на всей области определения и не ограничена ни сверху, ни снизу.
Не ограничена сверху при , не ограничена снизу при .
Доказывается это аналогично приведённым доказательствам для положительной полуоси
5. Функция ограничена снизу ()
Построим график функции на луче от нуля до плюс бесконечности (). Для этого сперва составим таблицу значений:
Построим четыре точки на координатной плоскости, координаты которых возьмём из таблицы. По данным точкам можно построить некоторую линию, которую можно построить, учитывая возрастающий характер функции и её неограниченность сверху. Воспользовавшись нечётностью функции, добавим к приведённой линии ветвь, симметричную ей относительно начала координат (рис. 1).
С помощью этого графика и уже установленных свойств функции легко определить оставшиеся свойства функции.
6. Функция непрерывна на всей числовой прямой.
7. Область значений функции – это все действительные числа ().
8. Функция выпукла вниз на луче и выпукла вверх на луче .
Задача
Имеется помещение кубической формы, в которое необходимо подобрать подходящий обогреватель. Теплоизоляция стен имеет фиксированную теплопроводность для всех возможных размеров помещений.
Решение
Пусть длина, ширина и высота равны так как в кубе все эти величины равны. Количество теплоты, потребляемое помещением в единице времени от обогревателя, пропорционально объёму помещения, то есть равно , где – некоторый коэффициент пропорциональности. Количество теплоты, отдаваемое сквозь стены в окружающее пространство, пропорционально площади стен, то есть равно , где – некоторый коэффициент пропорциональности. Конкретный смысл и значение этих коэффициентов нас интересовать не будут. Обозначим как отношение потребляемого и отдаваемого количества теплоты:. Поскольку , где – объём помещения, то имеем: . Без вреда для понимания решения задачи мы можем принять . Тогда мы имеем в точности нашу изучаемую функцию. Таким образом, мощность нагревателя зависит от объёма помещения как корень кубический из этого объёма. Это может быть полезно при проектировании систем обогрева.
Задача
Решить уравнение .
Воспользуемся графическим способом решения: построим графики функций и (рис. 2).
Найдём точки пересечения двух графиков. Как видно из рисунка, графики пересекаются лишь в одной точке с координатами .
Ответ: исходное уравнение имеет один корень .
Задача
Построить график функции .
Решение
Для того чтобы решить данную задачу, вспомним тему «Преобразование графиков функций».
Вначале построим график функции , затем сместим этот график параллельным переносом влево на единицу (), затем сместим параллельным переносом график вниз на две единицы (). Таким образом, мы получили график требуемой функции (рис. 3).
Выводы
На данном уроке мы ознакомились с понятием кубического корня из действительного числа и изучили соответствующую функцию.
Список литературы
Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – изд. 5. – М.: Просвещение, 2010.
Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Проверь себя
Что такое кубический корень?
Чем отличается чётная функция от нечётной?
Доказать, что функция не ограничена сверху при .
На одном рисунке построить графики двух функций и . Сделать выводы.
Решить уравнение .
Полезные ссылки
"