07. Функция y = sin x, её свойства и график

Тема урока, введение

Мы рассмотрели функцию числового аргумента , либо углового аргумента. От переобозначения смысл не меняется. Переобозначим .

. Каждому значению независимой переменной ставится в соответствие только одно значение зависимой переменной.

Функция и ее график

Рассмотрим свойства функции , для этого построим график.

По оси oу функция будет меняться только в пределах от  до .

Отметим основные точки:

Почему график функции ведет себя таким образом? Рассмотрим единичную окружность в координатной плоскости.

Вспомним закон, по которому каждому значению аргумента мы ставим в соответствие .

.

Начнем увеличивать угол. Отметим углы , , .

Если т. скользит по единичной окружности и угол увеличивается, то ордината тоже увеличивается от 0 до 1.

Если точка скользит по окружности от  до , ордината уменьшается от 1 до 0. Это же видим на графике.

Итак, если , функция возрастает; а если , то функция убывает;

Далее, сославшись на нечетность функции, можно график симметрично отобразить относительно начала координат.

Но посмотрим, например, что происходит с функцией, когда . Функция уменьшается от до .

Получим значения функции для некоторых точек: , , .

Отметим их на графике (рис.1) и вспомним, как вычисляется синус.

Чтобы найти значение функции для , рассмотрим - прямоугольный.

;

.

Найдем значение функции для , для этого рассмотрим прямоугольный треугольник:

Гипотенуза равна 1. Углы равны, значит треугольник равнобедренный и катеты тоже равны. Обозначим катеты .

По теореме Пифагора .

;

;

.

Найдем значение функции для . Рассмотрим - прямоугольный (рис.4).

.

Нам известно , вычислим по теореме Пифагора.

;

;

.

Отметим полученные значения на графике и получим плавную кривую – синусоиду.

Свойства функции

Мы рассмотрели график функции , изобразили ее график, объяснили его построение и с его помощью перечислим основные свойства функции.

1. Область определения

.

2. Множество значений

.

Рассмотрим примеры на использование множества значений.

Решить уравнение .

Уравнение не имеет решений, т.к. .

.

Найти все ,при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Уравнение имеет хотя бы одно решение при .

3. – минимальный период, т.е. , .

Таким образом, изучить свойства синуса достаточно на любом отрезке длиной в период–для синуса .

4. Функция - нечетная, , .

График функции симметричен относительно начала координат, например точка  переходит в точку (рис.1).

Можно построить график на участке от 0 до  (половина периода), и симметрично отобразив относительно т. О (0;0), получить график на промежутке от  до , т.е. на участке длиной в период.

5. Если возрастает от 0 до , то возрастает от 0 до 1; если возрастает от  до , то убывает от 1 до 0.

6. - непрерывная функция, т.е. можно построить график, не отрывая карандаша от бумаги.

Заключение

Мы рассмотрели функцию  и ее важнейшие свойства.

Список рекомендованной  литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

2. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№653, 654, 655, 656.