01. Основные понятия, разъясняющие примеры
14 мин
02. Нахождение области определения и области значений числовой функции
20 мин
03. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях
15 мин
04. Аналитический способ
22 мин
05. Графический и табличный способы
20 мин
06. Основные свойства числовых функций
20 мин
07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)
24 мин
08. Функции y = k/x, y=√x, y = |x|
20 мин
09. Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c
25 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
18 мин
11. Исследование функций на чётность
16 мин
12. Степенная функция с чётным показателем степени y = x²ⁿ, её свойства и график
16 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
17 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
19 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
22 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
19 мин
17. Задачи на степенные функции y = x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
22 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
14 мин
19. Основные правила преобразования графиков функций
23 мин
20. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m > 0
11 мин
21. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m < 0
16 мин
22. Графическое решение уравнений, неравенств
15 мин
05. Графический и табличный способы
Видео доступно по абонементу
На этом уроке мы рассмотрим графический и табличный способы задания функций. Вначале повторим определение функций и главное правило задания функции. Далее рассмотрим графическое и табличное задание функции на конкретных примерах и решим ряд связанных с этим задач. В том числе прямую и обратную задачи: построение графика для аналитически заданной функции и анализ графического задания функции.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции».
Раннее рассматривался аналитический способ задания функции, то есть с помощью формулы. На этом уроке рассматриваются иные способы задания функции, а именно графический и табличный.
Определение. Функцией называется закон (правило), по которому каждому допустимому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции .
Из определения функции следует требование к кривой (в координатной плоскости), которая задаёт графически функцию: любая вертикальная прямая , где – разрешённое значение аргумента, должна пересекать кривую в единственной точке.
Пояснение этого на примерах.
1. Какая кривая задаёт графически функцию?
а. Задан график окружности (см. рис. 1).
Вертикальная прямая пересекает кривую в двух точках. Требование нарушается. Следовательно, данная кривая не задаёт графически функцию.
б. Задан график верхней полуокружности (см. рис. 2).
Вертикальная прямая пересекает кривую в единственной точке. Следовательно, кривая задаёт функцию.
в. Задан график нижней полуокружности (см. рис. 3).
Вертикальная прямая пересекает кривую в единственной точке. Следовательно, кривая задаёт функцию.
2. По графическому заданию функций в случаях б. (см. рис. 2) и в. (см. рис. 3) получить их аналитическое задание, то есть задание формулой (для полуокружностей это возможно).
а. график окружности задаётся уравнением
;
б. график функции ;
в. график функции .
Задана таблица. Каковы области определения и значений?
|
|
|
|
|
| |
Графиком является совокупность точек координатной плоскости (см. pис. 4).
Ответ: Область определения ; область значений .
По графику функции задать функцию аналитически.
1. Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура на pис. 5? Задайте эту функцию аналитически.
Решение.
Любая вертикальная прямая пересекает ломаную в единственной точке. Отсюда можно сделать вывод, что каждому значению соответствует единственное значение . Следовательно, фигура на рисунке задаёт функцию.
Горизонтальная прямая задаётся уравнением , если . Составим уравнение прямой AB:
где .
Ответ: ломаная является графиком функции
2. Опишите аналитически кривые на рисунках
Заметим, что кривая на pис. 6 не задаёт функцию, а кривые на pис. 7, pис. 8 являются графическим заданием функций. Решение. Используется уравнение окружности. Уравнение задаёт окружность на pис. 9.
а. .
Из уравнения окружности в случае а) выразим :
.
Ответ: б) ; в) .
Для функции найти , построить график.
Решение.
.
Получилось уравнение полуокружности. График изображен на Рис. 10.
Ответ:
Найти коэффициент для функции , если её график проходит через точку . Построить график, указать области определения и значений.
Решение. Точка M лежит на графике функции, значит её координаты удовлетворяют уравнению функции:
.
График – гипербола (см. pис. 11).
Ответ: .
Найдите коэффициент для функции , если её график проходит через точку . Построить её график, указать и .
Решение. Точка M лежит на графике функции, значит её координаты удовлетворяют уравнению функции:
. График – парабола (см. pис. 12).
Ответ: .
Решить графически уравнение .
Решение. Рассмотрим систему
Две точки пересечения , (см. pис. 13).
Проверка: , .
Ответ:
Были рассмотрены графический и табличный способы задания функций. На следующем уроке будут рассматриваться свойства функций.
Список рекомендованной литературы
1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы). – М.: Просвещение, 1992.
2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики. – М.: Мнемозина, 2003.
3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса. – М.: Просвещение, 2002.
4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики). – М.: Просвещение, 1996.
5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей). – М.: Просвещение, 1983.
Полезные ссылки
1. Раздел College.ru по математике.
Проверь себя
1. № 18, 19, 20 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 8.135(а) (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).
"