06. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Повторение. Опорные факты

Функцию , где , называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа , называется арифметической прогрессией, число называется ее разностью: ,,

В арифметической прогрессии действуют определенные закономерности. Они выражены в следующих  важных формулах.

Формула -го члена арифметической прогрессии:

,

Первая формула суммы первых членов арифметической прогрессии:

 .

Вторая формула суммы первых членов арифметической прогрессии:

.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Доказать, что каждый  член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов.

Доказательство.

Из определения арифметической прогрессии следует, что

 .

Значит, , , причем это свойство справедливо для всех

Таким образом, если мы имеем арифметическую прогрессию, то в ней справедливо доказанное характеристическое свойство.

Справедливо обратное утверждение, а именно: если в последовательности () каждый  член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов, то последовательность () – арифметическая прогрессия.

Действительно, из равенства , получаем  или , и т.д.

Т.е.

Следовательно, разность между предыдущим и последующим членами остается постоянной, а это означает, что последовательность () – арифметическая прогрессия.

Мы доказали, что если последовательность является арифметической прогрессией, то справедливо характеристическое свойство, т.е. каждый  член, начиная со второго есть среднее арифметическое соседних членов.

Доказали обратное утверждение: если каждый член последовательности, начиная со второго,  есть среднее арифметическое соседних членов, то такая последовательность является арифметической прогрессией.

,

Таким образом,  доказана следующая теорема:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Эта теорема называется  характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Решение задач на доказанное свойство

1. При некотором значении числа , ,  являются последовательными членами конечной арифметической прогрессии.

Найдите значения , , , .

Дано: {, , } – арифметическая прогрессия.

Найти: , , , .

Решение.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: , .

;

;

;

;

;

.

Ответ: ; ; ; .

2. Даны три функции , , .

Найдите значение , при  котором числа , , в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Дано: , , . 

Найти: при котором , , - арифметическая прогрессия. 

Решение:

Применим характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность , , - арифметическая прогрессия, если , средний член, есть среднее арифметическое соседних, т.е.  .

;

;

;

;

;

.

Ответ: ; , , .

Задача решена.

3. Дано: числа , , удовлетворяют условиям , , , .

Доказать: числа , ,  в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся характеристическим свойством.

Три числа в указанном порядке будут образовывать арифметическую прогрессию, если .

 .

Все преобразования равносильные, эквивалентные, если а, в, с ненулевые числа.

Таким образом, мы доказали, что характеристическое свойство имеет место, значит, три числа , , образуют арифметическую прогрессию.

Что и требовалось доказать.

Еще одно свойство арифметической прогрессии

Дано: () – арифметическая прогрессия, .

Доказать: , если  (1)

Доказательство.

Воспользуемся формулой -го члена арифметической прогрессии

.

, , ,

Имеем следующую цепочку равносильных преобразований:

.

Последнее равенство верно в силу условия. Но из этого верного равенства в силу равносильности можно получить исходное первое равенство.

Значит, свойство доказано.

Решение задач на доказанное свойство

1. Дано: - арифметическая прогрессия, .

Найти: .

Решение:

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии:

. 

Ответ: .

2. Дано: - арифметическая прогрессия, .

Найти: , .

Решение.

Воспользуемся доказанным свойством: , т.к. .

Ответ: .

Итог урока

Итак, мы изучили характеристическое свойство арифметической прогрессии, решили несколько задач  с применением указанного свойства. Следующий урок посвятим решению типовых задач на арифметическую прогрессию.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 376, 378, 444 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.89 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).