12. Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Тема урока, повторение

На уроке рассматривается характеристическое свойство геометрической прогрессии, решаются типовые задачи с использованием свойства.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число , называют геометрической прогрессией. При этом число называют знаменателем прогрессии.

Математическая запись.

- геометрическая прогрессия, ее члены , при этом:

Иная запись: , т.е. не зависит от . - формула –го члена геометрической прогрессии,

; , , т.е. геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию натурального аргумента.

Сумма первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

.

Характеристическое свойство

Рассмотрим характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Дано: - геометрическая прогрессия, , .

Доказать: , .

Доказательство: По определению геометрической прогрессии

;

; ; ; .

Верно и обратное утверждение.

Дано: - числовая последовательность , такая, что ,

Доказать: -  геометрическая прогрессия.

Доказательство: ;

Поделим обе части равенства на :

; ,

.

Т.е. - геометрическая прогрессия.

Таким образом, доказано характеристическое свойство геометрической прогрессии: , - геометрическая прогрессия.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Обе части равенства положительны, значит из обеих частей можно извлечь квадратный корень:

;

-  среднее геометрическое чисел  и .

Рассмотрим пример геометрической прогрессии с отрицательными членами: .

; .

; .

А теперь рассмотрим знакопеременную прогрессию: .

; .

; .

Доказанное характеристическое свойство выполняется и для первой прогрессии, и для второй.

Решение задач

Далее рассмотрим решение задач с использованием характеристического свойства.

, - геометрическая прогрессия.

1. Найдите те значения переменной , при которых числа , , являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Дано:

Найти: , такое, что  - геометрическая прогрессия.

Решение: - достаточное условие,

; , ;

Ответ: .

2. Дано: - геометрическая прогрессия, ; ; .

Найти: .

Решение:

, ; ; ;

;

;

;

; .

Проверим найденные значения: не подходит, т.к. ; ; а если , то ; ; , поэтому.

Ответ: , .

3. Дано: -  возрастающая геометрическая прогрессия.

Найти: , .

Решение:

; ; ;

.

Ответ: ; .

4. Дано: - геометрическая прогрессия;

Доказать: ,

Доказательство: 1-ый способ:

; ; ;

;

, равенство верно.

2-ой способ:

; ;

; , равенство верно.

5. Дано: - геометрическая прогрессия.

Доказать:

;

.

Доказательство: 

;

;

, т.е.утверждение верно.

6. Дано: - геометрическая прогрессия.

Доказать: , если .

Доказательство:

;

;

, т.е. утверждение верно.

7. Дано: - геометрическая прогрессия, .

Найти: ; .

Решение:

, ;

, .

Ответ: ; .

Итак, мы рассмотрели характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Следующий урок будет посвящен решению типовых задач на геометрическую прогрессию.

Методические замечания:

1. Если для некоторого утверждения справедливы прямая и обратная теоремы, то условие называется необходимым и достаточным, поэтому условие  является необходимым и достаточным условием геометрической прогрессии и должно называться именно так.

2. Для решения задач 5 – 7 не используется характеристическое свойство геометрической прогрессии, а только формула общего члена, поэтому эти задачи целесообразно было бы рассматривать в уроке, посвященном формуле общего члена геометрической прогрессии или при решении типовых задач, при этом утверждение задачи 6) можно было бы рассмотреть как свойство геометрической прогрессии.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 509, 513.