01. Основные понятия, разъясняющие примеры
14 мин
02. Нахождение области определения и области значений числовой функции
20 мин
03. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях
15 мин
04. Аналитический способ
22 мин
05. Графический и табличный способы
20 мин
06. Основные свойства числовых функций
20 мин
07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)
24 мин
08. Функции y = k/x, y=√x, y = |x|
20 мин
09. Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c
25 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
18 мин
11. Исследование функций на чётность
16 мин
12. Степенная функция с чётным показателем степени y = x²ⁿ, её свойства и график
16 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
17 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
19 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
22 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
19 мин
17. Задачи на степенные функции y = x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
22 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
14 мин
19. Основные правила преобразования графиков функций
23 мин
20. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m > 0
11 мин
21. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m < 0
16 мин
22. Графическое решение уравнений, неравенств
15 мин
11. Исследование функций на чётность
Видео доступно по абонементу
На этом уроке мы подробно рассмотрим исследование функции на чётность. Вначале вспомним определения чётных и нечётных функций и их важное свойство – симметричность. Далее сформулируем алгоритм исследования функции на чётность и покажем применение этого алгоритма для решения конкретных задач.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции».
Функция называется чётной, если для любого .
График чётной функции симметричен относительно оси Верно и обратное – если график функции симметричен относительно оси то функция чётная.
Функция , , называется нечётной, если для любого .
График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечётна.
Приведённые факты сформулируем более кратко и проиллюстрируем на графике.
,
для любого график симметричен относительно оси функция чётная (рис. 1).
для любого график симметричен относительно т. функция нечётная (рис. 2).
Этими опорными фактами мы будем пользоваться при определении чётности функции.
Из приведённых определений и свойств вытекает
Алгоритм исследования функции на чётность.
Исследовать на симметричность относительно нуля. Если не симметрична относительно нуля, это функция общего вида.
Найти .
Сравнить и :
если , то функция чётная;
если , то функция нечётная;
если хотя бы для одного
или , то это функция общего вида.
Рассмотрим конкретные примеры.
Исследовать функцию на чётность:
1) .
Решение: (рис. 3).
Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Область определения симметрична относительно нуля.
.
Ответ: функция чётная.
2) .
Решение: (рис. 4).
несимметрична относительно нуля, значит это функция общего вида.
Ответ: функция общего вида.
3) .
Решение:
, область определения симметрична относительно нуля.
.
Ответ: функция нечётная.
4) .
Решение: (рис. 5).
Область определения симметрична относительно нуля.
.
Ответ: функция нечётная.
5) .
Решение: .
Область определения симметрична относительно нуля (рис. 5).
.
Ответ: функция чётная.
6) .
Решение: . Область определения симметрична относительно нуля.
;
.
Мы видим, что для :
;
.
Функция не является ни чётной, ни нечётной, значит, это функция общего вида.
Ответ: функция общего вида.
7) .
Решение: (рис. 6).
Область определения несимметрична относительно нуля.
Ответ: функция общего вида.
8)
Решение: построим график функции (рис. 7).
График симметричен относительно оси функция чётная.
Эту же функцию можно задать как .
Ответ: функция чётная.
9) Постройте график функции и прочитайте его, если
Решение: построим график функции (рис. 8).
График симметричен относительно оси функция чётная.
Функция возрастает при и .
Функция убывает при и .
Мы вспомнили определения чётной и нечётной функций, их свойства, сформулировали алгоритм исследования функции на чётность и показали применение этого алгоритма для конкретных задач. На следующем уроке мы перейдем к исследованию степенных функций.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Полезные ссылки
2. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ».
Проверь себя
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 280–282, 295.
"