04. Квадратные неравенства

На уроке рассматриваются квадратные неравенства. Для этого привлекается квадратичная функция. Её график может быть расположен тремя разными способами. Решение квадратного неравенства определяется по тому, каким образом располагается соответствующая квадратичная функция. Первая часть урока – это подробный разбор вариантов расположения параболы и соответствующих квадратных неравенств. Вторая часть посвящена решению задач.

Квадратные неравенства – это неравенства вида , где , а сам знак неравенства может быть любым:

Для простоты рассуждений будем считать, что и . Если это не так, то можно умножить обе части неравенства на . Решение квадратных неравенств основано на свойствах функции .

Графиком квадратичной функции является парабола. Если , то возможно три различных случая.

1. Первый случай расположения графика. Решение соответствующих  неравенств.

Парабола расположена целиком  выше оси значит, у квадратичной функции нет корней -  нет пересечений с т. е. ; ветви направлены вверх, значит, .

 Рассмотрим  функцию , у которой и .

 Пример 1. 

 Это так потому, что функция  при любом значении переменной Интервал знакопостоянства функции – все множество действительных чисел.

 Пример 2. 

нет решений.

 Заметим (!) Уравнение  не имеет корней, а неравенство имеет решение.

 Итак, в первом случае  при решении квадратного неравенства возможно два варианта:

1) Ни одного решения,  

2)  любое число,

1. Второй случай расположения графика. Решение соответствующих неравенств.

Парабола касается оси  в одной точке, значит, у квадратичной функции  один корень, т. е. ; ветви направлены вверх, значит, .

Рассмотрим  функцию: . Данная функция касается оси в одной точке: .

Пример 1.

Переменная х может принимать любые значения, кроме

 Пример 2. 

. 

Неравенство имеет единственное решение.

 Пример 3.

нет решений.

Неравенство не имеет решений.

1. Третий случай расположения графика. Решение соответствующих неравенств.

Парабола пересекает ось значит, у квадратичной функции два корня, т. е. ; и имеет место разложение на множители . Ветви направлены вверх, значит, .

Рассмотрим функцию: . По теореме Виета:   

Пример 1.

Вне интервала корней функция положительна.

 Пример 2.

На интервале корней функция отрицательна.

В третьем случае неравенство всегда имеет решение. Это решение либо:

1) совокупность двух лучей; 

2) промежуток между корнями. 

1. Решение задачи. Найти область определения функции .

Найти область определения функции – это значит найти множество всех значений переменной при которых данное выражение может быть вычислено.

В нашем примере в знаменателе дроби стоит корень. Ясно, что выражение, стоящее под знаком корня, должно быть больше

или .

1. Решение задачи. Являются ли неравенства и эквивалентными, или равносильными, неравенствами.

Равносильными неравенствами называются неравенства, которые имеют одно и то же множество решений. Начнём с решения первого неравенства.

1)

Решением первого неравенства является луч.

Второе неравенство является квадратным и его решением может быть либо совокупность двух лучей, либо интервал между корнями.

Очевидно, что множество решений этих двух неравенств не совпадает.

Проверим себя и решим второе неравенство.

2) или

Ответ: нет, не являются.

Список рекомендованной литературы. 

• Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010.

• Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010.

• Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010.

• Алгебра, 9 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) 2008.

• Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2009.

• Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010.

Проверь себя

• Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010, № 2.3; 2.11, № 2.12–2.14.