03. Линейные неравенства и их системы; модуль

Первая часть урока посвящена повторению материала, необходимого для решения неравенств, содержащих знак модуля. На конкретных примерах разбирается решение линейного и двойного неравенства. Затем обсуждается определение модуля и его геометрический смысл. Вторая часть урока посвящена разбору двух способов решения линейного неравенства, осложненного наличием модуля.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства».

Линейное неравенство. Общий вид линейных неравенств: . Рассмотрим решение конкретного неравенства: . Частным решением неравенства, а его можно подобрать, является такое значение которое удовлетворяет исходному неравенству. Например, число При его подстановке получаем верное числовое неравенство. И таких частных решений мы можем подобрать много. Но нужно найти все решения, то есть найти общее решение неравенства.

Общее линейное неравенство решается довольно просто.

Ранее мы рассматривали метод интервалов. Он применим и к такому неравенству. Введем функцию . Построим график этой функции. Очевидно, что график проходит через точки (); () (рис. 1).

Мы видим наглядно, что при всех значениях аргумента от до корня функция отрицательна. Здесь график находится под осью Х.

А при всех значениях аргумента от корня до функция положительная. Здесь график находится над осью Х.

Таким образом, интервалы знакопостоянства присутствуют и здесь. Значит, и такие неравенства можно решать методом интервалов.

Двойное неравенство можно рассматривать как систему, состоящую из двух неравенств.

Это знак эквивалентности, или равносильности. Он означает, что выполняются только такие действия, которые не искажают множество решений.

В неравенствах бесчисленное множество решений. Нельзя не потерять ни одного корня, ни одного решения, нельзя и приобрести какого-то решения. Поэтому допускаются только эквивалентные преобразования.

Эквивалентные, или равносильные преобразования.

Над осью – решение первого неравенства. Это луч от до Под осью – решение второго неравенства. Это луч от до .

Решить систему – означает найти все которые одновременно удовлетворяют и первому неравенству, и второму. А это те над которыми штриховка в обе стороны (рис. 2).

Ответ: .

Или ответ: .

и не входят в решения неравенства. Поэтому скобка круглая.

Решим неравенство вторым способом. Перенесем «» в обе части неравенства, сменив знак.

Получилось то же самое решение.

Модулем числа называется само число если оно больше либо равно Либо противоположное ему число если оно меньше

Иногда определение дают иначе. Модуль равен для положительных чисел и для нуля. И модуль равен когда под модулем стоит отрицательное число либо

Пример.

Модулем называется само число, если оно не отрицательное, и противоположное число, если оно отрицательное.

Геометрически (рис. 3)  – это расстояние от точки с координатой до

 – это расстояние от точки с координатой до

 – это расстояние от точки с координатой до

 – это расстояние от точки с координатой до т. е. это расстояние от точки до

 – это расстояние от точки до

 1 способ. Применим общий приём освобождения от модуля на основе его определения.

Чтобы освободиться от модуля, нужно рассмотреть два случая.

Случай 2

Если под модулем стоит неотрицательное число, то модуль можно просто отбросить.

Ответ: (рис. 4).

Случай 2

Если под модулем стоит число отрицательное, то нужно отбросить модуль, поставить знак минус перед всем подмодульным выражением.

Ответ: (рис. 5).

Решение первой системы и решение второй системы нужно объединить.

 Ответ: (рис. 6).

2 способ. Используем геометрический смысл модуля.

Что такое модуль ? Это расстояние между точками с координатами и Согласно условию неравенства, это расстояние не должно превышать (рис. 7).

Поставим на числовой оси точку Отступим от неё на вправо и влево по оси. Справа получим точку ; слева точку .

Итак, геометрический смысл неравенства: найти те значения которые отстоят от не больше, чем на То есть, можно записать

Решим двойное неравенство. Перенесем «» с противоположным знаком вправо и влево.

Решим противоположную задачу.

Что такое модуль ? Это расстояние между точками с координатами и Согласно условию неравенства, это расстояние должно превышать или быть равно

Поставим на числовой оси точку Отложим в одну сторону и в другую сторону. Где же те значения которые отстоят от на расстояние или далее?

На расстоянии находятся точки и На большем расстоянии находятся точки левее и правее (рис. 8).

Итак, ответ: .

Список литературы

1. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. – 2010.

2. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010.

3. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

4. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Задачник – 2008.

5. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра, 9 класс – 2009.

6. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

Проверь себя

1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010. 1.17 – 1.19, 1.22