05. Метод алгебраического сложения

На этом уроке мы продолжим изучение метод решения систем уравнений, а именно: метода алгебраического сложения. Вначале рассмотрим применение этого метода на примере линейных уравнений и его суть. Также вспомним, как уравнивать коэффициенты в уравнениях. И решим ряд задач на применение этого метода.

Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере линейных систем.

Пример 1.

Решить систему

Решение:

Если мы сложим эти два уравнения, то взаимно уничтожатся, и останется уравнение относительно

Если же вычтем из первого уравнения второе, взаимно уничтожатся и мы получим уравнение относительно В этом и заключается смысл метода алгебраического сложения.

Ответ: .

Мы решили систему и вспомнили метод алгебраического сложения. Повторим его суть: мы можем складывать и вычитать уравнения, но при этом необходимо обеспечить, чтобы получилось уравнение только с одним неизвестным.

Пример 2.

Решить систему

Решение:

Член  присутствует в обоих уравнениях, поэтому удобен метод алгебраического сложения. Вычтем из первого уравнения второе. 

Ответ: .

Таким образом, проанализировав систему уравнений, можно увидеть, что она удобна для метода алгебраического сложения, и применить его.

Рассмотрим ещё одну линейную систему.

Пример 3.

Решить систему

Решение:

Мы хотим избавиться от но в двух уравнениях коэффициенты при разные. Уравняем их, для этого умножим первое уравнение на второе – на

 Ответ: .

Пример 4.

Решить систему

Решение:

Уравняем коэффициенты при

 Можно сделать иначе – уравнять коэффициенты при

Ответ: .

Мы решили систему, дважды применив метод алгебраического сложения.

Метод алгебраического сложения применим и при решении нелинейных систем.

Пример 5.

Решить систему  

Решение:

Сложим эти уравнения, и мы избавимся от

Эту же систему можно решить, дважды применив метод алгебраического сложения. Сложим и вычтем из одного уравнения другое.

 Ответ: .

Пример 6.

Решить систему

Решение:

Ответ: .

Пример 7.

Решить систему

Решение:

Методом алгебраического сложения избавимся от члена Умножим первое уравнение на .

Первое уравнение остаётся без изменений, вместо второго записываем алгебраическую сумму.

Далее применяем метод подстановки.

или

Ответ:

Пример 8.

Решить систему

Решение:

Умножим второе уравнение на чтобы выделить полный квадрат.

Наша задача свелась к решению четырёх простейших систем.

Ответ:

Мы рассмотрели метод алгебраического сложения на примере решения линейных и нелинейных систем. На следующем уроке рассмотрим метод введения новых переменных.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Полезные ссылки

1. Интернет-проект «Задачи».

2. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ».

Проверь себя

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 125 – 127.