06. Метод введения новых переменных

Тема урока, введение

На предыдущих уроках для решения систем уравнений применялись графический метод, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Сейчас будет рассмотрен метод введения новых переменных.

Пример на введение новых переменных

Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему. Рассмотрим в качестве примера систему, которая предлагалась на вступительном экзамене в 1979 г. в МГУ на механико-математический факультет.

Пример 1. Решить систему

Решение.

Полезно ввести новые переменные

Довольно сложная исходная система свелась к более простой. Это система двух линейных уравнений относительно a и b. Решим ее методом алгебраического сложения, вычтем из первого уравнения второе.

Мы ввели новые переменные и решили систему относительно этих переменных. Возвращаемся к старым переменным.

Мы получили вторую систему двух линейных уравнений относительно x и y.

Решим систему методом подстановки.

Ответ:

Основные сведения о квадратных уравнениях

Часто при замене переменных мы получаем квадратное уравнение. Напомним основные сведения о них:

Квадратное уравнение в общем виде:

Формула корней квадратного уравнения через дискриминант:

Если b – четное число, имеем формулу:

Напомним теорему Виета: Если

 корни квадратного уравнения

то

Верно и обратное: Если числа

удовлетворяют системе

 то они являются корнями квадратного уравнения

Напомним прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения. Умножим квадратное уравнение на

 Получим

Получили новое уравнение относительно новой переменной  

Мы получили приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами (если они были целыми в исходном уравнении).

Примеры приведенных квадратных уравнений с заменой переменных

Пример 2. Решить уравнение

Решение:

Это приведенное уравнение, коэффициенты – целые числа.

По теореме Виета

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение:

Получили приведенное квадратное уравнение относительно z.

По теореме Виета

Ответ:

Мы рассмотрели еще один прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения.

Решение систем уравнений

После сделанных напоминаний для квадратных уравнений решим систему:

Пример 4. Решить систему

Решение: Произведем замену:

Вернемся к исходной системе:

Ответ:

Пример 5. Решить систему:

Решение:

Введем новую переменную:

 Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной.

Исходная система свелась к совокупности двух систем:

Каждую систему решаем методом подстановки.

1.

2.

Находим y при известных x.

 Ответ:

Пример симметрической системы

Следующая система – симметрическая. Симметрической называется такая система, которая не изменится, если переменные поменять местами.

Решение: Произведем замену

Получаем систему:

Мы ввели новые переменные, и нашли их.

Вернемся к старым переменным. Получаем две системы:

1.

2.

нет решений.

Ответ:

Заметим, что решением симметрической системы являются симметричные пары чисел.

Заключение

Мы рассмотрели метод введения новых переменных. На следующем уроке рассмотрим системы повышенной сложности.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

2. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 128, 129.