02. Нахождение области определения и области значений числовой функции

Повторение основных определений

Понятие функции одно из важнейших в математике. Именно функции описывают реальную жизнь: полет ракеты или  самолета, движение поезда, изменение прибыли предприятия и т.д. Свойства функции связывают воедино, казалось бы, разрозненные методы решения уравнений, неравенств, систем.

Функцией называется закон, по которому каждому элементуставится в соответствие единственный элемент

Множество всех допустимых значений аргументаназывается областью определения функции и обозначается

Область определения функции – важнейшая характеристика функции. Если при задании функции множествоне задано, то область определения считается естественной, т.е. совпадающей с областью определения выражения

Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называют  областью значений функции и обозначается

Смысл выражения «область значений функции,, есть множество» состоит в следующем:

1. Любому элементусоответствует единственный элемент;

2. Любое значениедостигается хотя бы при одном значении

Связь между основными характеристиками функции

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Функцию характеризуют область определения, область значений и график.

Опишем связь между этими основными характеристиками функции.

– проекция графика функциина ось ОХ является областью определения функции.

,

Любая вертикальная прямая,, пересекает график функции только в одной точке. Это следует из определения функции.

Рис. 1. Геометрический смысл области определения функции.

– проекция графика функциина ось ОY является областью значений функции.     

Горизонтальная прямая,, пересекает график функции хотя бы в одной точке. Значение функциидостигается при

Обсуждение определения функции

По определению функции должно выполняться условие единственности: каждому элементуставится в соответствие единственный элемент

Почему выдвигается такое требование? Поясним это на примере графика пути в школу.

По оси абсцисс задано время, по оси ординат – расстояние. График иллюстрирует путь в школу, пребывание в школеи обратный путь домойВ каждый момент времени t ученик находился на фиксированном расстоянии S от дома (в данный момент времени невозможно одновременно быть на расстоянии 1 км и 3 км от дома). Но на расстоянииот дома ученик был и в момент времени, и в момент времени

Вывод: каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции и каждому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.

Решение задачи на понимание основных понятий

Задана функция,Найдите множество всех значений параметра, при каждом из которых уравнениеимеет хотя бы одно решение.

Из смысла понятийиследует, что

1. Если значение функции равнои, то это значение достигается хотя бы при одном значении;
2. Если значение функции равнои, то это значение не достигается ни при одном значении

Ответ:

5. Решение задач на нахождение области определения и области значений функции

1. Дана функцияНайдите область определения и область значений заданной функции.

Решение. Поскольку выражениеимеет смысл при всех значениях переменной, то

Т.к., тоСм. Рис. 4.

Ответ: 

1. Дана функцияНайдите множество всех значений параметра, при каждом из которых уравнениеимеет

а. Хотя бы одно решение;
б. Одно решение;
в. Два различных решения.

Решение.

Задача решается графически  (см. Рис. 5) и учитывается условие:

Ответ:
а. или;
б.;
в.

3. Дана функцияНайдите область определения и область значений заданной функции.

Решение. См. Рис. 6.

Рассмотрим функциюУсловие существования квадратного корня:Следовательно,

С другой стороны,, откуда следует, что

Ответ:

Итог урока

На уроке были подробно рассмотрены определения области определения и области значений функции и решены соответствующие задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник)

Рекомендованное домашнее задание

1. № 4, 9, 12 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 8.127 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).