04. Определение и свойства арифметической прогрессии, формула её n-го члена

Определение арифметической прогрессии

Вспомним, что числовая последовательность – частный случай функции, функции, определенной на множестве натуральных чисел. Арифметическая прогрессия – частный случай числовой последовательности.

Рассмотрим примеры, дающие представление об арифметической прогрессии.

1. Задана последовательность чисел:

Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член больше предыдущего на 4 (обозначим это число буквой d), т.е.

 Данную последовательность можно задать рекуррентно:Заметим, что эта последовательность является возрастающей  () .

2. Задана последовательность чисел:

 В этой последовательности все числа равны между собой,

3. Задана последовательность чисел:

Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член меньше предыдущего на 2. Чтобы получить последующий член надо к предыдущему прибавить число (-2), т.е.

 Данную последовательность можно задать рекуррентно:Заметим, что эта последовательность является убывающей () .

Дадим определение  арифметической прогрессии.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью. 

Арифметическая прогрессия обозначается следующим образом:

Арифметическая прогрессия может быть задана рекуррентно:

Непосредственно из определения арифметической прогрессии следуют такие свойства:

• если, то арифметическая прогрессия- возрастающая;

• если, то арифметическая прогрессия- убывающая.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует истинность равенств:
Тогда;  и т.д. Значит,

Т.е., зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию считают заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулуназывают формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать с помощью метода математической индукции.

Дано:,

Доказать: (1)

Доказательство.

Формула (1) верна при n=1. Действительно,

Предположим, что формула (1) верна при n=k, т.е.

Докажем, что формула (1) верна и при n=k+1, т.е.

Из условия и предположения получаем:

Согласно принципу математической индукции формула (1) верна для любого натурального числа.

Исследование арифметической прогрессии

Из формулы n-го члена арифметической прогрессии следует, чтоЭто означает, что арифметическая прогрессия зависит от n, т.е. является функцией натурального аргумента.

Вывод: арифметическая прогрессия – это линейная функция натурального аргумента, где

Если, то линейная функция возрастает и арифметическая прогрессия- возрастающая; если, то линейная функция убывает и  арифметическая прогрессия- убывающая.

Примеры

Пример 1.

Дано:

Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии

Доказать:- возрастающая.

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение.
Тогда, т.е.

Поскольку, заданная арифметическая прогрессия – возрастающая.

Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функциии отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 1).

Пример 2.

Дано:.

Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение.

Тогдадля любого натурального числа.

Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функциии отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис.  2).

Пример 3.

Дано:

Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии

Доказать:- убывающая.

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение.

Тогда, т.е.

Поскольку, заданная арифметическая прогрессия – убывающая.

Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функциии отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 3).

Пример 4.

Дано:

Найти:; наименьший положительный член.

Решение.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Тогда, т.е.

Чтобы найти наименьший положительный член, надо опять воспользоваться формулой  n-го члена арифметической прогрессии.Тогда, и значит

Наименьший положительный член прогрессии

Ответ:;- наименьший положительный член.

Пример 5.

Дано:,

Найти:

Решение.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Тогда,,

Ответ:

Итог урока

На уроке мы познакомились с арифметической прогрессией и ее свойствами. вывели формулу n-го члена арифметической прогрессии. На следующем уроке рассмотрим формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

2. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник)

Рекомендованное домашнее задание

1. № 346, 348, 354, 360 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.83 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).