10. Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена

Тема урока, введение

На уроке дается определение геометрической прогрессии, выводится формула общего члена, решаются типовые задачи.

Определение геометрической прогрессии

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

Математическая запись. - геометрическая прогрессия, ее члены, при этом:

Иная запись:
,
т.е.не зависит от

Рассмотрим примеры геометрических прогрессий:

1., здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 2; полученная последовательность при этом возрастает

2., здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на; полученная последовательность при этом убывает

3.

Формула общего члена

Теперь выведем формулу n–го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию, при этом

Тогда,
,
,
. . . . . . . . . . .

Докажем полученную формулу методом полной математической индукции.

Дано:- геометрическая прогрессия,

Доказать:

Доказательство.

1. Проверим справедливость формулы для:

2. Предположим, что формула справедлива для:

3. Докажем, что из справедливости формулы для n=k следует справедливость формулы для:

Вывод:  формула верна для всех

Построение графиков

Рассмотрим геометрическую прогрессию как функцию натурального аргумента и построим ее график.

Обозначим, тогда

,  это показательная функция натурального аргумента.

Рассмотрим примеры.

1.  

Перейдя к функции, имеем

Составим таблицу значений функции.

И построим ее график.

, поэтому график – это только отдельные точки, которые лежат на показательной кривой.

2. ;

Перейдя к функции, имеем

Составим таблицу значений функции.

И построим ее график.

Снова график – это отдельные точки, лежащие на показательной кривой.

Из графиков видно, что если геометрическая прогрессия возрастает, то возрастает очень быстро, а если убывает, то убывает тоже быстро (как показательная функция).

Решение задач

Далее рассмотрим типовые задачи, для решения которых понадобится формула общего члена геометрической прогрессии:

1. Дано:- геометрическая прогрессия,Найти:

Решение:

Ответ:

2. Дано:- геометрическая прогрессия,Проверить, является ли число 1536 членом этой прогрессии, если да, найти его номер.

Решение:

Ответ:

3. Дано:- геометрическая прогрессия,Найти:

Решение:

Ответ:

4. Дано:- геометрическая прогрессия,Найти:

Решение:

Ответ:или

Если известны два члена геометрической прогрессииили, то справедлива формула:

Действительно,

Рассмотрим еще одну задачу.

5. Дано:- геометрическая прогрессия, Найти:

Решение:

Ответ: 

Методические замечания

1. В видео уроке на доске график на рисунке 2 подписанвместо

2. Не рассмотрена очень полезная для решения задач формула, которая была добавлена в конце конспекта и на использование формулы приведен соответствующий пример.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на  ресурсы интернет

1. Задачи (Источник).
2. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 485, 486, 488, 490, 497.