01. Основные понятия, разъясняющие примеры
14 мин
02. Нахождение области определения и области значений числовой функции
20 мин
03. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях
15 мин
04. Аналитический способ
22 мин
05. Графический и табличный способы
20 мин
06. Основные свойства числовых функций
20 мин
07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)
24 мин
08. Функции y = k/x, y=√x, y = |x|
20 мин
09. Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c
25 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
18 мин
11. Исследование функций на чётность
16 мин
12. Степенная функция с чётным показателем степени y = x²ⁿ, её свойства и график
16 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
17 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
19 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
22 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
19 мин
17. Задачи на степенные функции y = x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
22 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
14 мин
19. Основные правила преобразования графиков функций
23 мин
20. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m > 0
11 мин
21. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m < 0
16 мин
22. Графическое решение уравнений, неравенств
15 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
Видео доступно по абонементу
Тема урока, введение
В этом уроке будут даны строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрены их свойства, решены некоторые задачи.
Основные определения
Определение 1: Функцияназывается четной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство:
Определение 2: Функцияназывается нечетной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство:
Примеры:
1.- четная, т.к.
2.- нечетная, т.к.
3.- четная,
4.- нечетная,
Дадим развернутое определение четной функции.
Определение 3: Функциюназывают четной, если выполнены два условия для всех
1. Область определения симметрична относительно нуля, т.е.
2.
Из определения вытекает важное свойство четной функции:
График четной функции симметричен относительно оси y (Рис. 1).
Дадим развернутое определение нечетной функции.
Определение 4: Функциюназывают нечетной, если выполнены два условия для всех
1. Область определения симметрична относительно нуля, т.е.
2.
Из определения нечетной функции вытекает свойство: График нечетной функции симметричен относительно т. (0; 0) (Рис. 2).
Если функцияне является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.
Примеры
Примеры:
Пример 1. Определите вид функции
- четная функция, ее график симметричен относительно оси y.
Пример 2. Определите вид функции
В точкефункция не существует, а в точке- существует. Область определения несимметрична относительно нуля, значит- функция общего вида.
Пример 3.Определите вид функции
Обе точки выколотые, график и область определения симметричны относительно начала координат, функция четная.
Пример 4. Определите вид функции
- график и область определения симметричны относительно начала координат, функция нечетная.
Пример 5. Определите вид функции
В точке с абсциссой 2 функция не существует, в точке с абсциссой -2 существует. Область определения несимметрична относительно нуля, это функция общего вида.
Пример 6. Определите вид функции
Область определения симметрична относительно нуля, функция нечетная.
Примеры на исследование функции
Рассмотрим примеры на свойства четных и нечетных функций.
Пример 7: Исследовать на четность функцию
Решение:
Первый способ:
, функция четная.
Второй способ:
Возведем в квадрат обе части равенства. Тогда вместо уравнения получим систему:
Второе уравнение полученной системы – уравнение окружности с центром в т.(0; 0) радиусом 4. Но т.к.графиком уравненияявляется верхняя полуокружность (Рис. 9).
График симметричен относительно оси y, поэтому функция четная.
Ответ: Функция четная.
Пример 8. Известно, что функциячетная и убывает при
Определите характер монотонности функции при
Решение:
Нам известно, что функция убывает на лучеРаз она определена на лучеи является четной, то она определена и на луче
График четной функции симметричен относительно оси y, т.е. функция возрастает на луче
В качестве примера изобразим график функции(Рис. 10).
Ответ: Функция возрастает при
Пример 9. Дана функция, где
Задайтетак, чтобы функцияявлялась
а. четной
б. нечетной.
Решение:
Если функция четная, ее график симметричен относительно оси y, т.е. (Рис. 11).
Если функция нечетная, ее график симметричен относительно т. (0; 0), т.е.(Рис. 12).
Заключение, вывод
Мы рассмотрели определения и свойства четных и нечетных функций, решили некоторые типовые задачи На следующем уроке мы продолжим изучение свойств четных и нечетных функций.
Список рекомендованной литературы
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Интернет-проект «Задачи» (Источник).
2. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 275 – 278.
"